精品解析：河南省安阳市林州市晋豫名校联盟2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2025届高三年级10月份联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，为边上靠近点的三等分点，为线段（含端点）上一动点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 现有12个螺母，它们的质量从大到小依次构成等差数列，质量之和最大的3个螺母的质量是质量之和最小的3个螺母的质量的4倍，且这12个螺母的总质量为45克，要从这12个螺母中随机挑选个螺母组成一套螺母，且这套螺母的质量和不低于25克，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7 已知数列满足，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. D. 8. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C D. 10. 下列递推关系式或其通项公式可以使数列为周期数列的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知复数在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，且，则（ ） A. B. 与实部之和为 C. 为纯虚数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正数满足，则取得最小值时，________． 13. 设为数列的前项积，且，则________． 14. 已知公比为的等比数列满足，且，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知首项为3的数列的前项和为，且是公差为3的等差数列． （1）探究数列单调性； （2）求． 16. 已知中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 17 已知函数． （1）求的定义域； （2）若存在极大值，求的取值范围 18. 已知函数． （1）若，求的最小值； （2）设，数列的前项和为，证明：对． 19. 记共项的正项数列的前项和为．若正数满足，则称数列为“型求和数列”． （1）若为共5项的等差数列，且为“1型求和数列”，求； （2）设，已知正项数列为共项的“型求和数列”，且为共1项的“型求和数列”．设的前项和为． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的最小值的表达式（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级10月份联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集、补集运算计算即可求得结果，再用区间表示可得答案. 【详解】由可知， 又，故． 故选：D． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得复数，再平方，即可求解. 【详解】因为，故，故 故选：A. 3. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数图像性质比较与的大小关系即可. 【详解】根据题意，， ，， 所以. 故选：D 4. 已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 5. 在中，为边上靠近点的三等分点，为线段（含端点）上一动点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，运用平面向量的基本定理将用和线性表示，找到的数量关系即得. 【详解】 如图，当不重合时， ，即， 当重合时，此时，，则必有成立， 综上，都有成立，即只有B始终成立． 故选：B． 6. 现有12个螺母，它们的质量从大到小依次构成等差数列，质量之和最大的3个螺母的质量是质量之和最小的3个螺母的质量的4倍，且这12个螺母的总质量为45克，要从这12个螺母中随机挑选个螺母组成一套螺母，且这套螺母的质量和不低于25克，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题可设12个螺母的质量从大到小构成的等差数列为，根据等差数列的基本量计算得的值，从而可得前项和，由列不等式求解即可得结论. 【详解】设12个螺母的质量从大到小构成的等差数列为，公差为， 由题意可得， 即，解得， 则， 令，又，解得． 故选；C． 7. 已知数列满足，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据累加法可得数列通项公式，再根据裂项相消求和即可得答案. 【详解】由题意可得 ， 累加可得， ，所以， 故. 故选：D. 8. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得数列是首项为1，公比为9的等比数列，再根据相减法得数列的通项公式，从而由等比数列求和得所求. 【详解】由题意可得，则， 所以数列是首项为1，公比为9的等比数列，即， 时，即 且时，不满足上式， 故， 故． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式计算可判断A；根据余弦两角和差的公式计算可判断B，C；根据二倍角公式结合和差公式可判断D . 【详解】因为，故，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 10. 下列递推关系式或其通项公式可以使数列为周期数列的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的周期性对选项进行分析，从而确定正确答案. 详解】对于A：由选项知，又，计算得， 因此为周期数列，且周期为4，故A正确； 对于B：，，， ，…，不是周期数列，故B错误； 对于C：；；；；； ，…，，归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，故C正确； 对于D：是单调递增数列，不是周期数列，故D错误． 故选:AC 11. 已知复数在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，且，则（ ） A. B. 与实部之和为 C. 为纯虚数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据虚数的标准式，结合复数的运算律，逐项计算，可得答案. 【详解】对于A、B，设， 因为，即， 由题意可得①，②， 所以， 即，且，与①②联立可得或； 所以，故B错误，故A正确； 对C：，或，故C正确； 对D：，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正数满足，则取得最小值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用隐藏“1”的解题思路，可得答案. 【详解】由题意得，又， 所以 当且仅当时，取“=”． 故答案为：． 13. 设为数列的前项积，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，利用相除的方法求得，进而求得. 【详解】由题意可得，所以当时，有， 故由题意两式相除得， 因为，则， 因此当时，，即， 则， 也符合． 所以. 故答案为： 14. 已知公比为的等比数列满足，且，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断的符号和公比的关系，求得关于的表达式，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】由，得0时，时，， 由，得，所以， 令，则， 当时，3； 单调递增，所以， 当时，，故， 当时，，又，故； ，单调递减，又， 故，故， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在求解关于等比数列有关的取值范围时，通过构造函数并利用导数分析其单调性，找出函数的取值范围．这种方法可以有效地处理涉及不等式与单调性的范围问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知首项为3的数列的前项和为，且是公差为3的等差数列． （1）探究数列的单调性； （2）求． 【答案】（1）单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列性质可得数列通项公式，再计算即可得数列的单调性； （2）借助错位相减法求和即可得. 【小问1详解】 由题得数列是以为首项，3为公差的等差数列， 则，所以， 且， 故数列单调递增； 【小问2详解】 由题意可得， 则， 故 ， 故． 16. 已知中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得. （2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理及倍角公式得 ，得， 即，故. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 解得， 当且仅当时取等号， 的面积． 故面积的最大值为． 17 已知函数． （1）求的定义域； （2）若存在极大值，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数和分式分母的性质，建立不等式组，可得答案. （2）对函数解析式求导，选择分子部分构造函数，分情况讨论，结合导数与极值的关系，可得答案. 【小问1详解】 由有意义可得，所以． 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 由题意可得， 令函数， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 当时，， 当时，， 则有：①当，即时，0，即在上恒成立， 即在上单调递增，无极大值，不合题意，故舍去； ②当，即时，存在，使得， 此时，当时，， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以存在极大值，符合题意． 综上所述． 18. 已知函数． （1）若，求的最小值； （2）设，数列的前项和为，证明：对． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由求得的一个范围，利用构造函数法，结合导数来确定这个范围，从而求得的最小值. （2）根据（1）的结论，利用放缩法、累乘法等知识证得不等式成立. 【小问1详解】 由题意可得， 则为必要条件， 证明：当时，，即0， 令，当时， 单调递增， 成立， ． 【小问2详解】 由（1）知时等号成立，而，， 则，， ， 又因为， ， 故原不等式得证． 【点睛】思路点睛： 求导并分析单调性：对于小问1，首先对构造的函数求导，通过导数的符号变化来判断函数的单调性，并找到函数的最小值． 利用放缩法和累乘法证明：在小问2中，通过放缩法逐步构造不等式，再结合累乘法进行放大或缩小，最终得出目标不等式． 19. 记共项的正项数列的前项和为．若正数满足，则称数列为“型求和数列”． （1）若为共5项的等差数列，且为“1型求和数列”，求； （2）设，已知正项数列为共项的“型求和数列”，且为共1项的“型求和数列”．设的前项和为． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的最小值的表达式（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由为共5项的“1型求和数列”，可， 根据是等差数列，利用前n项和公式易求解得. （2）（ⅰ）本题为数列的新定义问题，分和两种情形对进行放缩 转化为、的关系，使结论得以证明. （ⅱ）将变形转化成、的关系，再利用（ⅰ）的结论即可求解. 【小问1详解】 ∵为共5项的等差数列，且为“1型求和数列”，∴ 设等差数列公差为． 则，即． 【小问2详解】 （ⅰ）由正项数列为共项的“型求和数列，得； 由为共1项的“型求和数列，则 不妨设为中的最小项． ①当时，易有； ②当时，由正项数列， 有， 而， 故，得证， 由①②可得，故不等式得证． 的最小值的表达式为． 当时，． 接下来证明． 由于， （ⅱ）由（2）（ⅰ）得，， 则， 等号当且仅当时成立，故的最小值的表达式为． 【点睛】本题为数列的新定义问题，解（证）题的关键，一是准确题中的新定义数列的含义；二是适时准确对进行放缩变形，转化为已知或所求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $