第四章 一次函数专题一变量与函数讲义2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 专题一变量与函数 【知识点】 1. 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2. 求函数自变量的取值范围，要注意以下几点： (1) 若函数的解析式是整式，自变量的取值范围是全体实数； (2) 若函数的解析式是分式，自变量的取值范围是使分母不等于0的一切实数： (3) 若函数的解析式是二次根式，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的一切实数； (4) 若函数的解析式含有以上几类式子时，则应分别求出各自的取值范围，再求出它们的公共部分. 3. 函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时，函数与之对应的唯一确定的值. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 题型1 函数概念的理解 【例 1】图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度 y(m)与旋转时间x( min)之间的关系如图②所示. (1) 根据图②填表: x( min) 0 3 6 8 12 y(m) (2) 变量y是x的函数吗? 为什么? (3) 根据图中的信息，请写出摩天轮的直径. ·举一反三。 1. 小红帮弟弟荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示. (1) 根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数? (2) 结合图象回答： ①当t=0.7s时，h的值是多少? 并说明它的实际意义. ②秋千摆动第一个来回需多少时间? 题型2 函数表示法 【例2】如图所示的各种表达方式中，能表示变量y是x的函数关系的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 举一反三。 2. (1) 在下列等式中, y是x的函数的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (2) 下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( ) 题型3 函数自变量的取值范围 【例3】求下列函数中自变量x的取值范围. (1)y=3x-2: (2)y=∫)- x; (3)y= +3; 举一反三。 3. 求下列各函数中自变量的取值范围. (1)y= -x;(2)y= =1,;(3)y=2=1,=2;(4)y= =/ₓ 题型4 求函数的值 【例4】(1) 已知点A(1, b)在函数 的图象上，求b的值； (2) 已知点 B(4, 2)在函数. 的图象上，试判断点( 是否在此函数的图象上. 举一反三。 4. 已知函数 (1) 当 时，求y的函数值；(2) 当x为何值时，函数值为2? 题型5 根据实际问题确定函数的图象 【例5】小欣同学骑车上学，路上要经过两座山梁，行走的路线如图所示，若上山的速度为 平路的速度为 下山的速度为 那么小欣同学骑车上学的路程s(m)与所用的时间t( min)的函数关系图象可能是( ) 举一反三。 5. 2021年5月 10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿. 接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成. 设从录入文稿开始所经过的时间为t，录入字数为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是 ( ) 题型6 探索变化规律问题 【例6】图中的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的. (1) 观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 图形的周长 (2) 推测第n个图形中正方形的个数为 (用含n的代数式表示)； (3) 这些图形中，任意一个图形周长y与它所含正方形个数x之间的函数关系式为 . 举一反三。 6. 根据图中的图形和所给表中的数据回答问题. 小梯形个数 1 2 3 4 5 图形的周长 5 8 11 14 17 (1) 设图形的周长为l，小梯形的个数为n，试写出l和n的函数关系式； (2) 求 时图形的周长. 题型7 列出实际问题中的函数解析式解决问题 【例7】如图①所示，在长方形ABCD中， 点P从点A出发,沿A→B→C→D路线运动,到点 D停止; 点P的速度为1cm/s, as时点P的速度变为bcm/s, 图②是点 P出发 xs后, 的面积 )与x(s)的函数关系图象. (1) 根据图②中提供的信息，求a，b及图②中c的值； (2)设点 P离开点A 的路程为y( cm)，请写出动点 P改变速度后y与出发后的运动时间x(s)的函数解析式； (3) 点P 出发后多久, △APD的面积S是长方形ABCD面积的( 举一反三。 7. 如图①所示，在长方形ABCD 中，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动. 在运动过程中， 的面积S与运动时间t的函数关系如图②所示. (1) 求长方形的长和宽； (2) 求m, a, b的值; (3) 当P点在AD边上时，求S与t的函数解析式. 83 题型8 从函数图象中获取有价值的信息 【例8】如图①所示，某容器由A，B，C三个长方体组成，其中A，B，C的底面积分别为 C的容积是容器容积的 (容器各面的厚度忽略不计).现以速度v(单位：( 均匀地向容器注水，直至注满为止. 图②是注水全过程中容器的水面高度h(单位：cm)与注水时间t(单位：s)的函数图象. (1) 求A的高度 及注水的速度 v： (2) 求注满容器所需时间及容器的高度. 举一反三· 8. 如图①所示，底面积为 的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”. 现向容器内匀速注水，注满为止. 在注水过程中，水面高度h( cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示. 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1) 圆柱形容器的高为 cm，匀速注水的水流速度为 (cm³/s; (2) 若“几何体”的下方圆柱的底面积为1 求“几何体”上方圆柱的高和底面积. 84 学科网（北京）股份有限公司 $$