精品解析：云南省中央民族大学附属中学红河州实验学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

中央民大附中红河州实验学校2023--2024年高一上学期期中考试卷 数学 班级：___________姓名：___________ 一、单选题（本题共12小题，每小题只有一个正确答案，每题5分，满分60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知命题：有些无理数不是实数，则为（ ） A. 有些无理数是实数 B. 无理数都不是实数 C. 无理数不都是实数 D. 无理数都是实数 4. 给出下列结论: ①两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种;②若,则;③若,;④已知,则. 其中正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若函数的定义域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为6 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 幂函数在上为减函数，则的值为2 D. 若不等式的解集为或，则 11. 设是定义在上的奇函数且在上单调递减，，则（ ） A. 在上单调递减 B. C. 不等式的解集为 D. 的图象与轴只有2个公共点 三、填空题（本题共4小题，每题5分，满分15分） 12. 若幂函数的图象过点，则___________. 13. 已知，，若，则的最小值为____________． 14. 已知函数在上有定义，且.若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______. 四、解答题(本题共6题，除17题10分外其余小题每题12分，满分70分） 15. 已知函数． （1）求，； （2）若，求的值； （3）作出函数的图象． 16. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断当时函数的单调性，并用定义证明； （3）若定义域为，解不等式． 17. 已知函数在上有定义，且满足. （1）求函数的解析式； （2）若，对均有成立，求实数m的取值范围. 18. 已知幂函数（）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 19. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)． （1）求f(50)的值； （2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中央民大附中红河州实验学校2023--2024年高一上学期期中考试卷 数学 班级：___________姓名：___________ 一、单选题（本题共12小题，每小题只有一个正确答案，每题5分，满分60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义可直接得到结果. 【详解】由交集定义知：. 故选：C. 2. “”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可． 【详解】若，则，故充分性成立， 若，则或，故必要性不成立， “”是“”的充分不必要条件. 故选：． 3. 已知命题：有些无理数不是实数，则为（ ） A. 有些无理数是实数 B. 无理数都不是实数 C. 无理数不都是实数 D. 无理数都是实数 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得出答案. 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题． 因为命题：有些无理数不是实数， 所以为：无理数都是实数. 故选：D. 4. 给出下列结论: ①两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种;②若,则;③若,;④已知,则. 其中正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可 【详解】两个实数a,b之间,有且只有三种关系中的一种,所以①正确 ,则,即或,所以②错误 因为,所以,即,即,所以③正确 因为,所以,所以④正确. 即正确结论的个数为3 故选：C 5. 若函数的定义域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】依题意恒成立，分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围； 【详解】因为函数的定义域为，所以恒成立. 当时，有，显然恒成立， 当，则，解得， 综上可得. 故选：B 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答. 【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知1和3为方程的两个根，由韦达定理可得，，且，则不等式等价于，即，由此即可写出答案. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以1和3为方程的两个根， 由韦达定理有：， 所以，，且， 则，等价于，即， 故不等式的解集为. 故选：C. 8. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案. 【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减， 则，即，可得， 结合选项可知AB错误，CD正确. 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为6 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 幂函数在上为减函数，则的值为2 D. 若不等式的解集为或，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，运用对勾函数的性质即可判断，对B利用抽象函数定义域求法即可判断，对C利用幂函数的特点和单调性即可判断，对D利用一元二次不等式的解集和韦达定理即可判断. 【详解】对于A，令，则 ， 是对勾函数，且在内单调递增， 当时，， 所以的最小值为 ，故A错误； 对于B，，，则函数的定义域为，故B正确； 对于C， ，且，解得 ，故C错误； 对于D，依题意，方程 的两个解是 或 ，并且， 由韦达定理： ， ， ，D正确； 故选：BD. 11. 设是定义在上的奇函数且在上单调递减，，则（ ） A. 在上单调递减 B. C. 不等式的解集为 D. 的图象与轴只有2个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数特征，画出的大致图象，结合图象分析四个选项. 【详解】 对于A，因为是定义在上的奇函数且在上单调递减，， 根据奇函数特征，所以在上单调递减，，， 故A正确； 对于B，画出大致图象如图，根据图象可知，故B错误； 对于C，如图可知，不等式的解集为，故C正确； 对于D，的图象与轴只有3个公共点，分别是，，，故D错误， 故选：AC. 三、填空题（本题共4小题，每题5分，满分15分） 12. 若幂函数的图象过点，则___________. 【答案】27 【解析】 【分析】代入已知点坐标求出幂函数解析式即可求, 【详解】设代入，即，所以，所以. 故答案为：27. 13. 已知，，若，则的最小值为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】因为，，， 所以，当且仅当即时等号成立， 故答案为：8. 14. 已知函数在上有定义，且.若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，则可解出答案. 【详解】因为对任意给定的实数，恒有， 即成立， 所以函数在上单调递减，又， 所以不等式等价于 或， 等价于或， 解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题(本题共6题，除17题10分外其余小题每题12分，满分70分） 15. 已知函数． （1）求，； （2）若，求的值； （3）作出函数的图象． 【答案】（1）， （2）或或 （3）图象： 【解析】 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，画出函数图象即可； 【小问1详解】 因为 所以，， ． 【小问2详解】 当时，，， 当时，，， 当时，，， 综上所述，的值为或或． 【小问3详解】 函数的图象，如图所示： 【点睛】 16. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断当时函数的单调性，并用定义证明； （3）若定义域为，解不等式． 【答案】（1）奇函数，证明如下： 定义域为， 又， 为奇函数； （2）增函数，证明如下： 任取，则 ， ，即，，， ∴ ，， ， 即， 故在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）判断函数的奇偶性只要用定义的方法即可； （2）用定义法，作差即可； （3）解函数不等式，必须要用函数的基本性质即单调性和奇偶性. 【小问1详解】 函数为奇函数．证明略； 【小问2详解】 函数在为单调增函数．证明略； 【小问3详解】 由（1）、（2）可得， 则，解得：， 所以，原不等式的解集为. 17. 已知函数在上有定义，且满足. （1）求函数的解析式； （2）若，对均有成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式. (2)依题意，，设，则在区间内恒成立，用一次函数性质求解. 【小问1详解】 ， ∴， 又∵， ∴. 【小问2详解】 ，对均有成立， 在上单调递增，， 依题意有对均有成立， 即在时恒成立， ∴，解得，∴实数m的取值范围是. 18. 已知幂函数（）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解. （2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解. 【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且， 所以在区间为单调递增函数， 所以，解得， 由，。 又函数的图像关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 所以. （2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数， 所以不等式，等价于， 解得或， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)． （1）求f(50)的值； （2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？ 【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大． 【解析】 【分析】（1）由计算可得； （2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化为二次函数，由二次函数知识得最大值． 【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元， 所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5． （2）由题知， f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120 ＝－x＋4＋250， 依题意得 解得20≤x≤180， 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)． 令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]， y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282， 当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $