14.3.2 公式法 课件 　2024-—2025学年人教版数学八年级上册

人教版·初中数学·八年级上册·第十四章 14.3.2 公式法 第2课时 运用完全平方公式因式分解 问题牵引 分解因式： (1) -9x2+4y2 (2) (x+3y)2-(x-3y)2 知识迁移 在括号里填上适当的式子，使等式成立： (1) (a+b)2= (2) (a-b)2= (3) a2+ +1=(a+1)2 (4) a2- +1=(a-1)2 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 2a 2a 思考:多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点? 你能将它们因式分解吗? 这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍,这恰是两个数的和或差的平方,我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式,利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解. 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 等号两边互换位置,就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 完全平方式: 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. a2 2 a b b2 ± . + . = （ a ± b)² a2 2 a b b2 ± . + . = （ a ± b)² 3、a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2、m²-6m+9=( )² - 2· ( )·( )+( )² =( )² 1、x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，你会吗？ m m - 3 3 x 2 m 3 观察 a2+2ab+b2=(a+b)2 , a2-2ab+b2=(a-b)2,选词填空 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 例5 因式分解： (1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2 范例解析 典例精析 例5 分解因式：（1）16x2+24x+9； 分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2； (首)²+2·首·尾+(尾)² （2）-x2+4xy-4y2. (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =- (x -2y)2. 思考：运用完全平方公式分解因式应注意什么？ (1)先找平方项，再运用公式; (2)若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，然后再考虑用完全平方公式. 范例解析 例6 因式分解： (1) 3ax2+6axy+3ay2 范例解析 (2)中,将a+b看作一个整体,设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. 例6 因式分解： (2) (a+b)2-12(a+b)+36 例6 把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ； 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）（a+b)2-12(a+b)+36. (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 小组讨论:多项式含有公因式的分解是应当怎样做? 对于一些平方项的底数是多项式的,又应当如何看待? 练习1 把下列完全平方公式分解因式： 1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)² =1. 本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确. 把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36， （2）4a2-4a+1. 解：（1）原式 =x2－2·x·6+（6）2 =（x－6）2 （2）原式=（2a）² － 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2. 2.多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是（ ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12 D 归纳小结 1．运用完全平方公式分解因式有什么条件？ 2．归纳因式分解的一般步骤? THANK YOU! 感谢聆听 $$