精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

塘沽一中教育集团2024-2025学年度第一学期期中检测试卷 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题共36分）和第Ⅱ卷（非选择题共84分）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、座位号填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一 、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 4. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，下列说法中正确的是（　　） A. 该函数图像的开口向下 B. 该函数图像的最大值是﹣7 C. 当x＜0时，y随x的增大而增大 D. 该函数图像与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点的两侧 9. 二次函数的自变量（表格中从左到右增大）与函数值的对应值如下表： 0 1 3 1 0 1 下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论： ①当时，小球运动到最大高度； ②当小球的运动高度为时，运动时间为或； ③小球运动中的最大高度为； ④小球从抛出到落地需要； 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 14. 抛物线的顶点坐标是______． 15. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面上升时，水面的宽度为________． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 17. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则代数式的值为_________． 18. 如图，已知正方形，，E为边上的一点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到．连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为________ 三、解答题（本大题共7个小题，共计66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，为格点． ①先将线段绕点逆时针旋转得到线段； ②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）； （2）在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为． ①先画格点，使，且； ②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心； ③请直接写出点的坐标为_____________． 21. 已知一元二次方程． （1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； （2）当时，请判别方程根的情况． 22. 如图，一张长为，宽为的矩形纸片 （1）如图①，将矩形纸片沿着对角线剪开，将绕点A逆时针旋转得到，使边和在同一直线上．连接，请写出的形状，并说明理由； （2）如图②，将绕点A顺时针旋转（转动的度数小于），边与边相交于点M．当旋转度数为时，求点E到的距离． 23. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 24. 已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中教育集团2024-2025学年度第一学期期中检测试卷 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题共36分）和第Ⅱ卷（非选择题共84分）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、座位号填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一 、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是一元二次方程，不符合题意； C. ，不是一个未知数，不符合题意； D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 3. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项系数、常数项分别是，， 故选：A． 4. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据一元二次方程有两根，，则，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， 故选：． 5. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 所得抛物线解析式为． 故选：C． 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， A. ，符合： B. ，不符合： C. ，不符合： D. ，不符合： 故选：A． 7. 据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，根据月平均增长率的增长规律列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为， 根据题意得，． 故选：B． 8. 已知二次函数，下列说法中正确的是（　　） A. 该函数图像的开口向下 B. 该函数图像的最大值是﹣7 C. 当x＜0时，y随x的增大而增大 D. 该函数图像与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点的两侧 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数化成顶点式：，然后根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：、由于中的，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意． 、由知，该函数图象的顶点坐标是，抛物线的开口方向是向上，有最小值故，本选项不符合题意． 、由知，该抛物线的对称轴是直线且抛物线开口方向向上，所以当时，随的增大而增大，故本选项不符合题意． 、由知，，则该抛物线与轴有两个不同的交点；设、是该抛物线与轴交点横坐标，则，所以两个不同的交点分布在坐标原点两侧，故本选项符合题意． 故选：． 【点睛】考查了二次函数图像的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 9. 二次函数的自变量（表格中从左到右增大）与函数值的对应值如下表： 0 1 3 1 0 1 下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，据此作答即可． 【详解】解：由表格可知对称轴为，开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴点，，离对称轴依次变近， ∴， 故选D． 10. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质、等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：由旋转可知，∠A=∠FDC，AC=CD， ∴∠A=∠ADC， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理判断． 11. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论： ①当时，小球运动到最大高度； ②当小球的运动高度为时，运动时间为或； ③小球运动中的最大高度为； ④小球从抛出到落地需要； 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质； 根据二次函数的图像和性质解答即可； 【详解】 当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故①③错误； 当小球的运动高度为时，有，解得或，故②正确； 小球从抛出到落地需要，故④正确． 故选：B． 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，则有；观察函数图象得到当时，函数值大于0，则，即；利用抛物线的对称性得到点关于对称轴对称的点坐标为：，然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线，然后依据函数图象进行判断即可． 本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故（1）正确． 由函数图象可知：函数图象与轴有两个交点， ∴，故（3）错误． ∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，即，即；故（2）正确； ∵抛物线的对称轴为，， ∴点关于对称轴对称的点坐标为：． ∵，在对称轴的左侧， ∴随的增大而增大， ∴，故（4）错误． 方程的两根为或， 如图，直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根， 依据函数图象可知：，故（5）正确． ∴正确的结论有：（1）（2）（5）共三个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与坐标轴交点问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 14. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，根据所给抛物线的解析式即可得，掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 15. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面上升时，水面的宽度为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点， 抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，和可求出为的一半，即米，抛物线顶点坐标为， 通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入点坐标到抛物线解析式得出：， 所以抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： ， 解得：， 所以水面的宽度为， 故答案为． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴实数的取值范围是且． 故答案为：且． 17. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则代数式的值为_________． 【答案】2020 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，代数式求值．将代数式变形为的形式是关键． 根据根与系数的关系得出，由解的意义得，再将变形为，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ∴ ． 故答案为：2020． 18. 如图，已知正方形，，E为边上的一点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到．连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为________ 【答案】50 【解析】 【分析】在上截取，连接，证明，确定点F的轨迹是射线，且是的角平分线，利用垂线段最短原理，勾股定理，正方形的性质解答即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵在正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长， 则 ∴， ∴射线是的角平分线， 故当时，取得最小值，且， ∴， ∴， ∵正方形的面积为S， ∴， 故S的最小值为50， 故答案为：50． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共计66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点，选取合适的方法求解是解题关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得：． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，为格点． ①先将线段绕点逆时针旋转得到线段； ②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）； （2）在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为． ①先画格点，使，且； ②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心； ③请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】（1） 所求图形，如图所示； （2） ①如图，点G为所求， ②如图，点P为所求． ③ 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，作对称中心． （1）根据网格特点即可作出线段，作出点A，D关于点B的对称点E，F，连接即可； （2）①将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作平行四边形，即可得到所求的点G； ②作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则点P为所求的对称中心； ③由图直接得到点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则，， 作平行四边形，则，， ∴，且， 即点G为所求． ②作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则，， ∴点P为所求的旋转中心． ③由题可得，点P的坐标为． 故答案为： 21. 已知一元二次方程． （1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； （2）当时，请判别方程根的情况． 【答案】（1），方程另外一个根为 （2）原方程有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点， （1）将和方程的一个根为代入方程求出c值，再解方程即可； （2）根据判断出的取值范围，进而进行判断即可； 熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键． 【小问1详解】 时，若方程的一个根为， 解得：， 得到方程为，解得或， ，方程另外一个根为； 【小问2详解】 ， ∴ ， 原方程有两个不相等的实数根． 22. 如图，一张长为，宽为的矩形纸片 （1）如图①，将矩形纸片沿着对角线剪开，将绕点A逆时针旋转得到，使边和在同一直线上．连接，请写出的形状，并说明理由； （2）如图②，将绕点A顺时针旋转（转动的度数小于），边与边相交于点M．当旋转度数为时，求点E到的距离． 【答案】（1） 是等腰直角三角形，理由如下： ∵旋转， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据旋转的性质得出，，然后结合图形及各角之间的关系即可得出结果； （2）过点E作于点H，根据矩形的性质确定，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，利用旋转的性质及图形确定，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点E作于点H， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∴． 当旋转度数为时，． 在中， ∵，， ∴． 由旋转可知， ∴． 在中，， ∴ ． 23. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； 【小问3详解】 ， 当时，有最大值． 24. 已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长交于点，利用勾股定理求出和，然后代入即可； （3）取的中点，连接、，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理可得，最后根据三角形三边关系定理即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交于点， ∵， ∴， ∵是等边三角形且边长为，等边的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【小问3详解】 取的中点，连接、， ∵是等边三角形且边长为，是等边三角形且边长为， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴在中，，当、、共线时取等号， ∴， ∴旋转过程中的取值范围是． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形三边关系定理．灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，二次函数的最大值为，最小值为 （3）①；②线段与二次函数的图象只有个交点时，的取值范围为或，有个交点时，的取值范围为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）将二次函数解析式化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，即当时，取最大值为，再结合，计算即可得出答案； （3）①表示出，分和计算即可得出的取值范围；②由得出，再利用分类讨论和数形结合的思想求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值为， ∵， ∴当时，取最小值，， ∴当时，二次函数的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 解：①由题意得：， 当时，，的长度随的增大而减小，满足题意， 当时，，的长度随的增大而增大，不满足题意， ∴， 解得：； ②∵， ∴， 解得：， 如图，当时，点在最高点，与图象有1个交点， ， 如图，当时，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点， ， 直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为， ∴时，与图象有个交点， ， 当时，与图象有1个交点， ， 综上所述，线段与二次函数的图象只有个交点时，的取值范围为或，有个交点时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，包括待定系数法二次函数的解析式、二次函数的最值问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $