不等式放缩技巧专题讲义-2025届高三数学一轮专题复习

不等式（六） 放缩成等差数列： 1、已知各项均为正数的数列的前项和为,且. 1）求证：； 2） 求证： 放缩成等比数列： 例1）已知数列满足 1）求数列的通项公式； 2）若数列滿足，证明：数列是等差数列； 3）证明：. 4、数列满足，，若数列满足， 1）求，，及；2）证明：； 3）求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$不等式(七) 叠乘放缩 例:已知函数F(x)= 2x-1 (1)求F(201) 2010 2011 2011 (2)已知数列a. 满足a.=2.a.=F(a.).求数列a.的通项公式 (3)求证:aaa。..a.>2n+1 裂项放缩: 171 3+52} -(n>2): (2n-D262(2n-1) 2 例.设数列a.的前n项和为S,已知a=1, (1)求a的值; (2)求数列a.的通项式: 有.1. (3)证明:对一切正整数n d 2 例、设数列ta.满足a.0,a=1,a.=(1-2n)a.a+a(n>2),数列fa的 前n项和为S, 1)求数列ta.)的通项公式;2)求证:当n>2时,”<S.<2; n+1 3)试探究:当n>2时,是否有一 6n (n+1)(2n+1) bx+3 的实数根。 (①求实数a.的值; ) 3+(-1)* 例已知数列{aj与b j满足:b a+a +b a=o,b= 2 ,neN'. 且a=2,a-4. (1)求a,a.,a的值; (2)设c=a+a,nEN,证明:c.{是等比数列;不等式（八） 三角放缩 例已知曲线Cn:x2-2x+y2=0(n=L,2,),从点P(-1,0) 向曲线C引斜率为k(k。>O)的切线ln,切点为P(myn) ()求数列(x}和y}的通项公式： (2)证明：xxx…21 -sin 1+ ”y 叠乘放缩和叠加放缩 3 例已知f(x)=x-sinx,数列{x}满足x,=三r,2x+1十cosx。-r=0.(neN* 4 ()判断并证明函数f(x)的单调性： 2数列满足，引S为的前项和，正明5<分 例已知函数(x)=r-b-21nx,f=0. (1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求的取值范围； (2)若函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率为0，且a1=f 已知a,=4,求证： a。-n+1 an≥2n+2 (3)在(2)的条件下，试比较山+山+山+L与的大小，并说明理由。 1+a11+a21+a31+an 例定义数列如下：a1=2,a1=an2-a,+l,n∈N',求证： 1)对于n∈N恒有a+1>an成立； 2)当n>2且neN'，有an1=anan-a,a,+1成立： 3》1-<1+L+…+1<1 22oo6<a.a, a306 例已知数列a}满足：a≥1，an1=a-(n-2)an+3 (1证明：an≥； (2)7=1+1 +…+、1 4*4+3+…+。中3求i证：无 佩：已知数列a满足a4=4+京d,ne 求证：n n+2 <a <n. 例：己知函数f(x)=x+2,数列x}(x,>0)的第一项x=1,以后各项按如下方式 取定：曲线y=f(x)在(x,f(xni)处的切线与经过(0,0)和(xn,f(xn)两点的 直线平行，求证：当n∈N时， ()x2+xn=3x2+2xn41 22sx≤ 例设数列{a}满足a,=0,a1=ca+1-c,n∈N, 其中c为实数。 (1)证明：an∈[0,1对任意n∈N成立的充分必要条件是 c∈[0,1 (2设0<e<写证明：a,23o: ③)设0<c<证明：G++>n+1 7、已知函数为常数，数列满足：，，． 1）当时，求数列的通项公式； 2）在（1）的条件下，证明对有：； 3）若，且对，有，证明： 【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. （Ⅰ）解:由,,可得, 又 当n=1时,,由,,得; 当n=2时,,可得. 当n=3时,,可得. （Ⅱ）证明:对任意, ,① ,② ,③ ②-③得 ④, 将④代入①,可得即(),又, 故,因此,所以是等比数列. （III）证明：由（II）可得， 于是，对任意，有 将以上各式相加，得 即， 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意， 对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意 3、设数列满足，（），数列的前n项和为， 1）求数列的通项公式；2）求证：当时，； 3）试探究：当时，是否有？说明理由 （1）∵ ∴（） ∴ ∴ （） 又也适合上式， ∴ （2）证明：∵ ∴ ∵当时， ∴＝ 又∵ ∴ ∴当时， (3)∵ ∴ ＝ 当时,要只需 即需，显然这在时成立 而,当时 显然 即当时也成立 综上所述：当时，有. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1、已知各项均为正数的数列的前项和为,且. 1）求证：； 2） 求证： 解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以， ， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 4、（06福建卷）已知数列满足 1）求数列的通项公式； 2）若数列滿足，证明：数列是等差数列； 3）证明：. （I）解： 是以为首项，2为公比的等比数列 即　 （II） 　　　　　　　　　　　　　① 　　　　　　② ②－①，得 即 　 ③－④，得　 即　是等差数列 （III）证明： 7、等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上. 1）求r的值； 2）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为, （2）当b=2时，, 则,所以 叠乘证明不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.解：（1）≥0，仅当时，，故在R上单调递增。 （2）为奇函数，, 由（1）知当时，,即也就是在上恒成立。 由已知得 所以 所以 = 6.解：(1)，． 要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0， 当在内恒成立； 当要使恒成立，则，解得， 当恒成立， 所以的取值范围为． （2）根据题意得：， 于是， 用数学归纳法证明如下： 当，不等式成立； 假设当时，不等式成立，即也成立， 当时，， 所以当，不等式也成立， 综上得对所有时，都有． (3) 由(2)得， 于是， 所以， 累乘得：， 所以 6、 定义数列如下：，求证： 1） 对于恒有成立； 2）当，有成立； 3） 分析：（1）用数学归纳法易证。 （2）由得： … … 以上各式两边分别相乘得： ，又 （3）要证不等式， 可先设法求和：，再进行适当的放缩。 又 原不等式得证。 本题的关键是根据题设条件裂项求和 学科网（北京）股份有限公司 $$