3.3轴对称与坐标变化讲义2024-2025学年北师大版数学八年级上册

3.3轴对称与坐标变化 旧知导入·温故 新知初探·知新 1.画平面直角坐标系的方法： （1）两条数轴必须垂直； （2）必须画出两条数轴的正方向； （3）一般情况下，在两条数轴上取相同的单位长度. 2.建立直角坐标系的思路： （1）选择适当的点作为坐标原点； （2）过原点分别作出横轴和纵轴； 确定正方向和单位长度. 1.关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数. 2.图形上各点的横坐标不变，纵坐标都乘-1，所得图形与原图形关于x轴对称，反之也成立；图形上各点的纵坐标不变，横坐标都乘-1，所得图形与原图形关于y轴对称，反之也成立. 5 学科网（北京）股份有限公司 知识点1　点关于坐标轴的对称问题 【例1】在平面直角坐标系中，将点A的横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到点A´，则点A与点A´的关系是( ) A． 关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．将点 A向轴负方向平移一个单位得点A´ 【解答关键】关于x轴对称的两个点，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数. 【尝试解答】 【例2】在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【解答关键】关于y轴对称的两个点，它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数．反之亦然． 【尝试解答】 知识点2 图形关于坐标轴的对称问题 【例3】已知点O(0，0)，D(4，2)，E(6，6)，C(2，4)． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上 各点并依次连接各点得到四边形OCED. (2)按要求绘制下列图形，并说明所得图形与四边形OCED有怎样的位置关系． ①各点横坐标不变，纵坐标都乘－1； ②各点纵坐标不变，横坐标都乘－1. 【解答关键】（1）根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后顺次连接即可； （2）①根据网格结构找出点C、E、D横坐标不变，纵坐标都乘以−1的对应点C1、E1、D1的位置，再与点O顺次连接即可； ②根据网格结构找出点C、E、D纵坐标不变，横坐标都乘以−1的对应点C2、E2、D2的位置，再与点O顺次连接即可． 【尝试解答】 【方法总结】 方法一　点关于坐标轴的对称问题 对称轴 点的坐标变化 文字表述 符号表示 横坐标 纵坐标 已知点的坐标 对称点的坐标 x轴 相同 互为 相反数 P(m，n) P′(m，－n) y轴 互为 相反数 相同 P(m，n) P″(－m，n) 简记 关于x轴对称：“横同纵反” 关于y轴对称：“纵同横反” 方法二　图形关于坐标轴的对称问题 (1)横坐标保持不变，纵坐标乘－1，所得图形与原图形关于x轴对称； (2)纵坐标保持不变，横坐标乘－1，所得图形与原图形关于y轴对称. 考点1 点关于坐标轴的对称问题 1.（较易）点P（-3，5）关于x轴的对称点P’的坐标是（ ） A．（3，5） B．（5，-3）, C．（3，-5） D．（-3，-5） 2.（较易）已知点M（a，2），B（3，b）关于y轴对称，则（a+b）2014的值（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 考点2 图形关于坐标轴的对称问题 3.（较难）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为 ． 4.（较易）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. （1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）求S△ABC. 【基础练】 1. (容易)平面直角坐标系内的点A(－1，2)与点B(－1，－2)关于(　　) A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 2. (容易)在平面直角坐标系中，一个多边形的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，则所得的多边形(　　) A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．与原多边形关于y轴对称 D．与原多边形关于x轴对称 3. （较易）如图，△OAB和△OCB关于x轴对称，△OCD和△OED关于y轴对称．若点E的坐标为(4，－6)，则点A的坐标为(　　) 4(较易)已知点A（-1，-3）和点B（3，m），且AB平行于x轴，则点B坐标为（ ） A．（3，-3） B．（3，3） C．（3，1） D．（3，-1） 5.(较易)已知点与点关于轴对称，则= . 6.(较易)如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是 . 7.(较易)若，则点M（a，b）关于x轴的对称点的坐标为 . 8.(较易)点关于轴对称的点的坐标再向下平移个单位的点的坐标是________． 【能力练】 9.(较易)在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是（−1，1），（0，0）和（1，0） （1）如图，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴； （2）在其他格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置坐标（写出2个即可）． 10.(较难)已知点、，试根据下列条件求出、的值． （1）、两点关于轴对称； （2）、两点关于轴对称； （3）轴； （4）、两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上． 11.(较易)如图，在平面直角坐标系中，O，A，B，C的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(4，4)和(2，4)．用线段依次连接起来形成一个图案. （1）纵坐标保持不变，横坐标分别加3，所得图案与原来的图案相比有什么变化？ （2）横坐标不变，纵坐标分别加3，所得图案与原来图案相比有什么变化？ （3）纵坐标保持不变，横坐标都乘−1，所得图形与原图形相比有什么变化？ 【素养练】 12.(较难)东60°的方向，离张庄4km，若以河的北岸为x轴，张庄在y轴的正半轴上建立如图所示的直角坐标系（单位：km）． （1）在直角坐标系中标出张庄、李村的位置，并写出其坐标； （2）若在河北岸边修一水泵站，分别向张庄、李村各铺一条水管，要使所用的水管最短，水泵站应修在什么地方？在图中标出其位置，并求出所用水管的长度（答案保留根号）． 【数学视角】 【链接生活】 【数学原理】 小敏发现，为了尽快找到所在城市，常常可以借助地图或者地球仪，如告诉对方这个城市的经度、纬度等;在城市中，可以告诉对方一个地点相对于另一个地点的方位和大致距离，这样可以在地图上快速找出这个地点.找出目标后，可以在地图上找出一条具体的行走路线.为了向他人说明，最关键的是需要说清楚各个关键点，如拐弯处，常听到说“往南走第三个红绿灯右拐”之类的;到了学校，要先确定教学楼的位置;到了教室内需要关注几排几座. 在直角坐标系中描出点（1，2）（2，6）（3，2）（4，6）（5，2），并将各点用线段依次连接起来，观察你认为它是一个什么图形？ 换1：利用图（2），将图（1）中的点A、B、C、D、E的纵坐标不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点A1、B1、C1、D1、E1按题目中的连接方式连接，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ 变换2：利用图（3），将图1中的点A，B，C，D，E的点横坐标不变，纵坐标都加上3，再将所得A2，B2，C2，D2，E2点按题目的要求连接，所得的图形与原图形比较有什么变化？ 答案与解析 第三章 位置与坐标 3.3 轴对称与坐标变化 【典例示范】 例1 A 例2 B 例3 解：(1)四边形OCED如图所示． (2)①四边形OC1E1D1如图所示． 四边形OC1E1D1与四边形OCED关于x轴对称． ②四边形OC2E2D2如图所示． 四边形OC2E2D2与四边形OCED关于y轴对称． 【课堂反馈】 1. D 2.C 3.（-2012，2） 4. 解：（1）如图所示， 由图可知，A1的坐标（−2，−3）； （2）S△ABC＝2×2−×1×1−×1×2−×1×2 ＝4−−1−1＝． 【绩优全练】 1. B 2.C 3.B 4.A 5. 6.-10 7.（3，2） 8.（-1，-1） 9.解：（1）如图所示：直线l为对称轴； （2） 如图所示：P（2，1），（0，−1）． 10.解：（1）A、B两点关于y轴对称， 故有b＝3，a＝4； （2）A、B两点关于x轴对称； 所以有a＝−4，b＝−3； （3）AB∥x轴， 即b＝3，a为≠−4的任意实数． （4）如图， 根据题意，a＋3＝0； b−4＝0； 所以a＝−3，b＝4． 11. 解：（1）向右平移3格； （2）向上平移3格； （3）两图形关于y轴对称． 12.解：（1）如图，张庄的位置在点A（0，1）处，李村的位置在点B（2，3）． （2）作出点A（0，1）关于x轴的对称点A1，其坐标为（0，−1）．连接BA1交x轴于点P，P点就是水泵站的位置， 如图，因为A点与A1点关于x轴对称， 所以AP＝A1P． 所以水管最短长度为PA＋PB＝PA1＋PB＝A1B． 在Rt△A1BC中，A1C＝4，BC＝2， 所以A1B＝． 即水管最短的长度为2km． 【数学视角】 解：如图所示： $$