3.2.1讲义2024-2025学年北师大版数学八年级上册

3.2平面直角坐标系 第1课时 平面直角坐标系 旧知导入·温故 新知初探·知新 1.在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据. 2.在平面内确定物体的位置的方法有：行列定位法、经纬定位法、极坐标定位法、区域定位法、网格定位法. 1.在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系. 2.通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横 轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x 轴和 y 轴统称坐标轴，它们的公共原点 O 称为原点. 3.在平面直角坐标系中，两条坐标轴把坐标平面分成了四个部分．右上的部分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限． 坐标轴上的点不在任何一个象限内． 1 学科网（北京）股份有限公司 知识点1　能根据点的位置写出点的坐标 【例1】写出图中的多边形ABCDEF各顶点的坐标，并回答下列问题： （1）点B与点C的纵坐标相同，线段BC的位置有什么特点？ （2）线段CE位置有什么特点？ （3）坐标轴上点的坐标有什么特点？ 【解答关键】由点的位置确定点的坐标的方法： (1)定：根据各象限的符号特征确定点的横、纵坐标的符号； (2)求：求出点到两个坐标轴的距离，到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值； (3)写：按照先横后纵的原则，写出点的坐标． 【尝试解答】 知识点2 能根据点的坐标找到点的位置 【例2】在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点： A(－2，0)，B(2，5)，C(－，－3)． 【解答关键】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点的表示方法是解题的关键．根据平面直角坐标系中点的表示方法找出各点的位置即可． 【尝试解答】 知识点3 不同象限点的坐标的特征 【例3】已知P点坐标为（2a＋1，a−3） ①点P在x轴上，则a＝ ； ②点P在y轴上，则a＝ ； ③点P在第三象限内，则a的取值范围是 ； ④点P在第四象限内，则a的取值范围是 ． 【解答关键】根据点P位于不同的位置横纵坐标具有不同的特点，求出a的不同值即可． 【尝试解答】 【方法总结】 类型 坐标特征 各象限内的点 第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)； 第三象限(－，－)；第四象限(＋，－) 坐标轴上的点 x轴 纵坐标为0 y轴 横坐标为0 与坐标轴平行 的直线上的点 平行于x轴 纵坐标相同 平行于y轴 横坐标相同 坐标轴夹角 平分线上的点 第一、三象限 横、纵坐标相同 第二、四象限 横、纵坐标互为相反数 考点1 能根据点的位置写出点的坐标 1.（容易）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（　　） A、（4，−1） B、（−1，3） C、（−1，−1） D、以上都可以 2.（较易）已知点P(2k＋1，k－4)到两坐标轴的距离相等，那么k的值为__________． 考点2 能根据点的坐标找到点的位置 3. （较易）在平面直角坐标系中，若点M（1，x）与点N（1，3）之间的距离是5，则x的值是多少？ 4.（较易）如图，已知火车站的坐标为(2，2)，文化馆的坐标为(－1，3)． (1)请你根据以上信息，画出平面直角坐标系； (2)写出体育场、菜市场、超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B，公园C的坐标分别为(0，5)， (－2，－2)，(2，－2)，请在图中标出点A，B，C的位置． 考点3 不同象限点的坐标的特征 5. （较易）在平面直角坐标系内，已知点Q(m＋3，2m＋4)在y轴上，求m的值及点Q的坐标． 6. （较易）某星期日早晨，李明同学从家里出发，沿着(－2，－1)→(－1，－2)→(1，－2)→(2，－1)→(1，－1)→(1，3)→(－1，0)→(0，－1)→(－2，－1)的路线转了一下，在如图3－2－3所示的平面直角坐标系中连接他所经过的地点，你能得到什么图形？根据图形回答下列问题： (1)图形中哪些点在坐标轴上？它们的坐标有什么特征？ (2)学校与水果店所在的直线与y轴有什么位置关系？它们的横坐标有什么共同特点？ (3)商店和公园所在的直线与x轴有什么位置关系？它们的纵坐标有什么共同特点？ 【基础练】 1.（容易）若点A(m，n)在第二象限，那么点B(－m，|n|)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（容易）在以下四点中，哪一点与点(－3，4)所连的线段与x轴和y轴都不相交(　　) A．(－5，1) B．(3，－3) C．(2，2) D．(－2，－1) 3. （较易）坐标平面上有一点，且点到轴的距离为，点到轴的距离恰为到轴距离的倍．若点在第二象限，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 4.（较易）已知点A在x轴上，且OA＝3，则点A的坐标为__________． 5.（较易）若点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，且点P在y轴的左侧，则点P的坐标为________． 6. （较易）第二象限内的点P(x，y)满足|x|＝9，y2＝4，则点P的坐标是__________． 7. （较易）在平面直角坐标系中，一青蛙从点A(－1，0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A′处，则点A′的坐标为__________． 8. （较易）如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为(4，3)，如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是________________________． 9.（较易）在直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来． (1)(2，6)，(4，6)，(4，8)，(2，8)； (2)(3，0)，(3，3)，(3，6)； (3)(3，5)，(1，6)； (4)(3，5)，(5，6)； (5)(3，3)，(2，0)； (6)(3，3)，(4，0)． 【能力练】 10.（较难）长阳公园有四棵古树A，B，C，D，示意图如图所示． (1)请写出A，B，C，D四点的坐标； (2)为了更好地保护古树，公园决定将如图所示的四边形EFGH用围栏圈起来划为保护区，请你计算保护区的面积(单位：m)． 11.（较难）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．整点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且整点P只做向右或向上运动，则运动1秒后它可以到达(1，0)，(0，1)2个整点；运动2秒后它可以到达(2，0)，(1，1)，(0，2)3个整点；运动3秒后它可以到达(3，0)，(2，1)，(1，2)，(0，3)4个整点…… 请探索并回答下面问题： (1)当整点P从点O出发4秒后可以到达的整点共有________个； (2)在如图所示的直角坐标系中描出整点P从点O出发8秒后所能到达的整点，并观察这些整点，说出它们所在位置上有什么特点； (3)当整点P从点O出发________秒后可到达整点(13，5)的位置． 【素养练】 12.（较难）（阅读理解题）较难先阅读下面这段文字，再回答问题： 已知在平面直角坐标系内两点的坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则该两点间的距离公式为P1P2＝. 同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴或垂直于x轴时，两点间的距离公式可化简成|x2－x1|或|y2－y1|. (1)若已知两点A(2，3)，B(－1，－2)，试求A，B两点间的距离． (2)已知M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为−2，点N的纵坐标为3，则M，N两点间的距离为多少？ 【链接生活】 【数学原理】 直角坐标系——梦幻的结晶 直角坐标系，通常称为笛卡儿直角坐标系，它是以法国哲学家、数学家和解析几何的创始人笛卡儿的名字命名的．1619年冬天,笛卡儿在莱茵河畔的荷兰军队中服役.他仰望天空,想着自己随军奔波,给家里去信怎样报告自己所处的确切位置呢?他的上司出现在他面前,“你不是想用数学来解释自然界吗？”说着抽出两支箭，搭成一个“十”字，箭头一个朝上，一个朝右，他说：“假如把天空的一部分看成一平面，此平面就被十字箭分成四部分，向这两支箭上分别引垂直线段，就会得互两个数字”.笛卡儿还不十分清楚地问：“负数该怎样表示呢？”上司笑到：“两支箭交叉处定为零，向上、向右为正数，向下、向左不就是负数了吗？”笛卡儿高兴极了，不料却跌入河中，正在喊“救命”时，却被叫醒.笛卡儿回忆刚做过的梦,立刻拿出本子和笔,把梦画了出来:画一条横线标明为x轴,一条竖线标明为y轴,在交叉处定为原点，在两条轴上标出许多刻度,后来逐步完善,笛卡儿建立起了他的平面直角坐标系. 小明给右图建立平面直角坐标系，使医院的坐标为（0，0），火车站的坐标为（2，2）． 请说说体育场、文化宫、超市、宾馆、市场的坐标是什么？ 解：（1）体育场的坐标为（−2，5），文化宫的坐标为（−1，3），超市的坐标为（4，−1），宾馆的坐标为（4，4），市场的坐标为（6，5）； 【数学视角】 答案与解析 第三章 位置与坐标 3.2.1 平面直角坐标系 【典例示范】 例1 解：A(-2,0) ， B(0,-3) ， C(3,-3) ， D(4,0) ， E(3,3) ， F(0,3) (1) 线段BC平行于x轴(纵坐标相同的点的连线平行于x轴) ；  (2) 线段CE平行于y轴(横坐标相同的点的连线平行于y轴) ； (3)x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0. 例2 解：如图所示 例3 3，，a<，<a<3 【课堂反馈】 1. D 2. -5或1 3.解：∵点M（1，x）与点N（1，3）之间的距离是5， ∴|x−3|＝5， 解得x＝−2或8． 4.解：(1)如图： (2)体育场(－2，5)，菜市场(6，5)，超市(4，－1)． (3)如图所示． 5.解：因为点Q(m＋3，2m＋4)在y轴上， 所以m＋3＝0，解得m＝－3. 所以2m＋4＝－6＋4＝－2. 所以点Q的坐标为(0，－2)． 6.解：如图，连接他经过的地点，得到的图形像帆船． (1)点(－1，0)在x轴上，点(0，－1)在y轴上，它们的纵坐标或横坐标为0. (2)学校与水果店所在的直线与y轴平行，它们的横坐标相同． (3)商店和公园所在的直线与x轴平行，它们的纵坐标相同． 【绩优全练】 1. A 2.A 3.A 4.（3，0）或（-3，0） 5.P（-5，4）或（-5，-4） 6.（-9，2） 7.（1，2） 8.（4，2）或（-4，2）或（-4，3） 9.解：如图所示， 10.解：(1)A(10，10)，B(20，30)， C(40，40)，D(50，20)． (2)四边形EFGH各顶点坐标分别为E(0，10)，F(0，30)，G(50，50)，H(60，0)， 另外M(0，50)，N(60，50)， 则保护区的面积S＝S长方形MNHO－S△GMF－S△GNH－S△EHO＝60×50－×20×50－×10×50－×10×60＝3000－500－250－300＝1950(m2)． 11. 解：（1）出发4s后可以到达的点有（4，0），（1，3），（2，2），（3，1），（0，4）共5个； （2）如图，共有9个点，它们在同一直线上； （3）∵13＋5＝18， ∴整点P从点O出发18s后可到达整点（13，5）的位置． 12.解：（1）∵A（2，3），B（−1，−2）， ∴A，B两点间的距离为：=； （2）∵M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为−2，点N的纵坐标为3， 则M，N两点间的距离为3−（−2）＝5， 【数学视角】 $$