江苏省九年级数学上学期期中押题试卷02（测试范围：苏科版九上全部内容）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中押题试卷02 满分：120分 测试范围：九上全部内容 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．一元二次方程经过配方可变形为　　 A． B． C． D． 3．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．在暑假到来之前，某机构向八年级学生推荐了，，三条游学线路，现对全年级学生喜欢哪一条游学线路做调查，以决定最终的游学线路，下面的统计量中最值得关注的是　　 A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 5．如图，中的半径为1，内接于．若，，则的长是　　 A． B． C． D． 6．如图，在扇形中，点在上，点在上，．若，，则的半径为　　 A．4 B．4.8 C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．方程的解为 　　． 8．小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，10．这六个分数的极差是 　　分． 9．若方程的两根为，，则　　． 10．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示： 项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果 成绩 90 80 90 若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 　　 11．在中，，，则其外接圆的半径是 　　． 12．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，为圆的直径，弦于点，，，则直径的长是 　　． 13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 　　． 14．如图，已知是的一条弦，直径与弦交于点，且，已知，，则点到的距离为 　　． 15．如图，点是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形，连接，，则　　． 16．如图，四边形的各边都与相切，若，则四边形的周长为 　　． 三、解答题（本大题共11小题，共88分）． 17．解下列方程： （1）； （2）． 18．如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 19．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于3，求的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系中，、、． （1）仅用无刻度的直尺，找出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心，并直接写出圆心的坐标为 　　； （2）点坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由． 21．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组（每组20人）进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图． 甲组成绩统计表 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）甲组成绩的中位数是 　　，乙组成绩的众数是 　　； （2）请求出乙组成绩的平均数； （3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定． 22．如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 23．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．求每辆型汽车进价是多少万元？ 24．如图，点，在上，连接、． （1）尺规作图：过圆上一点作切线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若延长线交切线于点，交于点，，，求长． 25．若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“优值”． （1）代数式的“优值”是 　　； （2）判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； （3）代数式存在两个“优值”且差为5，求的值． 26．已知，在中，，点，点在上，交于，交于，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于，连接，若，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，交于，连接，，延长交于，若，，求线段的长． 27．问题探究 （1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件、按如图1所示的方式放置，点到直线的距离，点到直线的距离，，是上一点，是上一点，在直线上找一点，使得最小．请你在直线上画出点的位置，并直接写出的最小值． 问题解决 （2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形，其中米，米，点、为花园的两个入口，米，米．若在区域内设计一个亭子（亭子大小忽略不计），满足，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点，使铺设小路和的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子到边的距离；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中押题试卷02 满分：120分 测试范围：九上全部内容 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．是代数式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； ．， ， ，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 2．一元二次方程经过配方可变形为　　 A． B． C． D． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 3．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据关于的方程有两个不相等的实数根．构建不等式求解． 【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根， △， ， ． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 4．在暑假到来之前，某机构向八年级学生推荐了，，三条游学线路，现对全年级学生喜欢哪一条游学线路做调查，以决定最终的游学线路，下面的统计量中最值得关注的是　　 A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【分析】全年级学生喜欢哪一条游学线路最值得关注的应该是喜欢哪条线路的人数最多，即众数． 【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故全年级学生喜欢的游学线路最值得关注的应该是统计调查数据的众数． 故选：． 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 5．如图，中的半径为1，内接于．若，，则的长是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，由三角形内角和可得出，再根据圆周角定理可得，可得出结论． 【解答】解：如图，连接，，过作于， 则， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理垂径定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．如图，在扇形中，点在上，点在上，．若，，则的半径为　　 A．4 B．4.8 C． D． 【分析】以点为圆心，以为半径画圆，延长交于点，连接，，则，为的直径，然后在△中，，，由勾股定理得，据此可得半径的长． 【解答】解：以点为圆心，以为半径画圆，延长交于点，连接，，如图所示： 在△中，，，， 由勾股定理得：， ， 为的直径， 点，，在同一条直线上， ， ， ， 在△中，，， 由勾股定理得：． ． 故选：． 【点评】此题主要考查了圆的有关概念，圆周角定理，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．方程的解为 　，　． 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 故答案为：，． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，10．这六个分数的极差是 　3　分． 【分析】根据极差的概念计算即可． 【解答】解：这组数据的最大值是10，最小值是7， 这六个分数的极差是：（分， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是极差的概念，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 9．若方程的两根为，，则　　． 【分析】由方程的两根为、，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得，，代入求解即可求得答案． 【解答】解：方程的两根为、， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，此题难度不大，解题的关键是掌握：若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，性质． 10．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示： 项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果 成绩 90 80 90 若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 　86　 【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【解答】解：该选手的综合成绩为：， 故答案为：86． 【点评】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 11．在中，，，则其外接圆的半径是 　　． 【分析】作的外接圆，作直径，过作交延长线于，连接，求出，得到是等腰直角三角形，因此，得到，由勾股定理求出，由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理得到，因此是等腰直角三角形，求出，即可得到外接圆的半径是． 【解答】解：作的外接圆，作直径，过作交延长线于，连接， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 是圆的直径， ， 是等腰直角三角形， ， 外接圆的半径是． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，关键是构造的外接圆，由勾股定理求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长． 12．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，为圆的直径，弦于点，，，则直径的长是 　20　． 【分析】由垂径定理，勾股定理，即可求解． 【解答】解：连接，设的半径是， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于的半径的方程． 13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 　6　． 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【解答】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故答案为：6． 【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 14．如图，已知是的一条弦，直径与弦交于点，且，已知，，则点到的距离为 　　． 【分析】作于，连接和，利用圆周角定理证明△△，有，即可求得，再由垂径定理求得和，最后由勾股定理即可求解． 【解答】解：作于，连接和，如图， ，， △△， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用圆周角定理证明相似，并构造直角三角形从而运用勾股定理解决问题． 15．如图，点是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形，连接，，则　105　． 【分析】连接，，，，利用正六边形的性质得到，，则为等边三角形，，，在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得的度数，则结论可得． 【解答】解：连接，，，，如图， 点是正六边形的中心， ，， 为等边三角形，， ，，在一条直线上，，． 以为边在正六边形的内部作正方形， ，， ，， ， ． 故答案为：105． 【点评】本题主要考查了正六边形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，连接正六边形的半径，证得，，在一条直线上是解题的关键． 16．如图，四边形的各边都与相切，若，则四边形的周长为 　24　． 【分析】由切线长定理推出，，，，即可得到，由，求出，得到，因此四边形的周长． 【解答】解：四边形的各边都与相切，切点分别是、、、， ，，，， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长． 故答案为：24． 【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，关键是由切线长定理推出． 三、解答题（本大题共11小题，共88分）． 17．解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用完全平方公式，直接开平方即可求得； （2）利用提取公因式即可求得答案； 【解答】解：（1）， ， ， 或， ，； （2）， ， 或， ，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 18．如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【分析】连接，，根据定理得出，由全等三角形的性质得出，进而可得出结论． 【解答】证明：连接，， 、， ． 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 19．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于3，求的取值范围． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用公式法解一元二次方程，可得出，根据方程有一根小于3，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【解答】解：（1）△， 原方程有两个实数根． （2）， ， ， ． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的应用是关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，、、． （1）仅用无刻度的直尺，找出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心，并直接写出圆心的坐标为 　　； （2）点坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）利用网格画出线段和线段的垂直平分线，交点即为点，根据图形即可得出点的坐标． （2）连接，，利用勾股定理判定，则直线为的切线． 【解答】解：（1）如图，经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为． 故答案为：； （2）连接，， ， ， ， ， ， 又为半径， 直线是的切线． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 21．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组（每组20人）进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图． 甲组成绩统计表 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）甲组成绩的中位数是 　8.5　，乙组成绩的众数是 　　； （2）请求出乙组成绩的平均数； （3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出甲组成绩的中位数和乙组成绩的众数； （2）根据加权平均数公式即可求出乙组的平均数； （3）根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案． 【解答】解：（1）把甲组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数， 则中位教是， 乙组成绩（8分）出现的次数最多，出现了9次， 则乙组成绩的众数是8． 故答案为：8.5，8； （2）乙组成绩的平均数为（分； （3）乙组的方差是：， ， 乙组的成绩更加稳定． 【点评】此题考查了中位数，众数，加权平均数和方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图． 22．如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 【分析】设人行道的宽度为米，根据矩形的面积和为28平方米列出一元二次方程求解即可． 【解答】解：设人行道的宽度为米，根据题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为得出等式是解题关键，属于基础题，比较简单． 23．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．求每辆型汽车进价是多少万元？ 【分析】设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，利用数量总价单价，结合用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每辆型汽车进价是10万元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24．如图，点，在上，连接、． （1）尺规作图：过圆上一点作切线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若延长线交切线于点，交于点，，，求长． 【分析】（1）连接，过点作的垂线即可； （2）连接，，证明△△， 【解答】解：（1）如图，直线即为所求的直线； （2）连接，， 是切线， ， 为直径， ， ， ， ， ， △△， ， ， ． 【点评】本题考查尺规作垂线，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 25．若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“优值”． （1）代数式的“优值”是 　0和1　； （2）判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； （3）代数式存在两个“优值”且差为5，求的值． 【分析】（1）利用新定义的规定，通过计算判定即可得出结论； （2）假定存在“优值”，得到一元二次方程，利用根的判别式解答即可得出结论； （3）设“优值”为，则有，利用一元二次方程飞解法求得“优值”，再利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）当时，代数式的值为0， 当时，代数式的值为1， 和1都是的“优值”． 故答案为：0和1； （2）不存在“优值”．理由如下： 假设存在优值为，则有， 整理得：， 则， 无论取何值时，， 方程没有实数根， 即代数式不存在“优值”． （3）设“优值”为，则有， 整理得：， ， ，． 两个“优值”差为5， 或， 或． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 26．已知，在中，，点，点在上，交于，交于，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于，连接，若，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，交于，连接，，延长交于，若，，求线段的长． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连接，，利用等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）过点作于点，于点，利用垂径定理和等腰直角三角形的性质求得的长，连接，过点作于点，利用等腰梯形的性质和全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质得到，设，则，利用勾股定理列出关于的方程，解方程求得值，则得：，，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质分别求得线段，，则结论可求． 【解答】（1）证明：， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ； （2）证明：连接，，如图， 于，， ． 由（1）知：， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形． ， ，均为等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ， 平分； （3）解：过点作于点，于点，如图， 则． ，， ． ，， 四边形为矩形， ． 由（2）知：， ， ， ， ， ． 连接，过点作于点， ， ， ． 四边形为等腰梯形， ． 在和中， ， ， ，． ，，， 四边形为矩形， ， 设，则． 在中， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ，， ， ， ． 连接， ，， ， ， ， ． ． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理，过点作圆的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线． 27．问题探究 （1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件、按如图1所示的方式放置，点到直线的距离，点到直线的距离，，是上一点，是上一点，在直线上找一点，使得最小．请你在直线上画出点的位置，并直接写出的最小值． 问题解决 （2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形，其中米，米，点、为花园的两个入口，米，米．若在区域内设计一个亭子（亭子大小忽略不计），满足，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点，使铺设小路和的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子到边的距离；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①作点关于的对称点，连接，交于点，交于，②连接，交于点，则最小，作，根据勾股定理得出，进一步得出结果； （2）变形总费用，可求得，取的中点，连接，可得出点在以为圆心，为半径的圆上，延长至，使，可证得，从而，从而得出，当、、共线时，最小，即最小，最小值为：的长，此时点点在与的交点处，进一步求得结果． 【解答】解：（1）如图1， ①作点关于的对称点，连接，交于点，交于， ②连接，交于点， 则最小， 作，交的延长线于点， 可得：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ； （2）如图2， 总费用为：， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， ，， ， ， ， ， ，， ，， 点在以为圆心，为半径的圆上， ， ， 延长至，使， ， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时，最小，即最小，最小值为：的长，此时点点在与的交点处， 在中，，， ， 元， 作于，设， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ，（舍去）， ， 答：总费用最少是元，此时亭子到边的距离为：米． 【点评】本题考查了确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$