全等三角形重难题练习2024-2025学年人教版数学八年级上册（云南专用）

试卷第 1 页，共 1 页 八年级上学期期中重难题型练 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．如图，在 ABC 中， 60ABC∠ = °， AD 平分 BAC∠ 交BC 于点 D，CE平分 ACB∠ 交 AB 于点 E ， AD、CE交于点 F．则下列说法正确的个数 为（ ） ① 120AFC∠ = °； ② ABD ADCS S=  ；③CD AE AC+ = ； ④ : :AEF FDCS S AF FC=△ △ ． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．1 个 2．如图，点C ，A 在 BOP∠ 的边OP 上．小龙同 学现进行如下操作： ①以点O为圆心，OC 长为半径画弧，交OB 于点 D，连接CD； ②以点A 为圆心，OC 长为半径画弧，交OA于点 M ； ③以点M 为圆心，CD长为半径画弧，交②中所 画的弧于点 E ，作射线 AE ，连接ME ． 根据上述操作，不成立的结论是（ ） A．OD AE= B． DOC EAM∠ = ∠ C．OC MC= D．OB AE∥ 3．如图，在 ABC 中，AB AC= ，AD 是 BC 边上 的中线， BE AC⊥ ，垂足为 E．若 15BAD∠ = °， 则 CBE∠ 的度数为（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 4．如图，在 ABC ， AB AC= ，D 为 BC 上的一 点， 28BAD∠ = °，在 AD的右侧作 ADE ，使得 AE AD= ， DAE BAC∠ = ∠ ，连接CE、DE ，DE 交 AC 于点 O，若CE AB∥ ，则 DOC∠ 的度数为 （ ） A．124° B．102° C．92° D．88° 5．如图，BD为 ABC 的角平分线，且 BD BC= ， E 为 BD延长线上的一点， BE BA= ，过点 E 作 EF AB⊥ ，F 为垂足，给出下列结论：① ABD EBC ≌ ；② 180BCE BCD∠ +∠ = °；③ AD EF EC= = ；④ 2BA BC BF+ = ．其中正确的 结论有（ ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①② 6．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直 角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间， 如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是 有了下面这道题：如果每块砖的厚度 a＝8cm，则 DE 的长为（ ） 试卷第 2 页，共 5 页 A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 7．如图，在Rt ABC∆ 中， 90B = ∠ ，以点A 为圆 心，适当长为半径画弧，分别交 AB AC、 于点 ,D E ， 再分别以点D E、 为圆心，大于 1 2 DE 为半径画弧， 两弧交于点 F ，作射线 AF 交边 BC 于点 1, 4BG AC= = ，则 ACG∆ 的面积是（ ） A．1 B． 3 2 C．2 D． 5 2 二、填空题 8．如图，在 ABC 中， =AB AC ，分别以 A、C 为 圆心，大于 1 2 AC 长为半径画弧，两弧分别相交于 点 E、F，直线 EF 交 BC 于点 D．连接 AD ，已知 4AC = ， ABD△ 的周长是 10，则BC 的长 是 ． 9．如图，在 ABC 中， ABC∠ 与 ACB∠ 的平分线 相交于点 O，过点 O 作MN / /BC ，分别交 AB、 AC 于点 M、N.若 ABC 的周长为 15，BC 6= ， 则 AMN 的周长为 ． 三、解答题 10．如图，在四边形 ABCD中，AD AB= ，DC BC= ， 60DAB∠ = °， 120DCB∠ = °，E 是 AD 上一点，F 是 AB 延长线上一点，且 DE BF= ． (1)求证：CE CF= ； (2)若G 在 AB 上且 60ECG∠ = °，判断 DE BG EG+ = 是否正确，并写出证明过程． 11．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边 分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片 ABCD 折叠， 使点 C 与点 A 重合， 折痕为EF ． (1)如果 120DEF∠ = °， 求 BAF∠ 的度数； (2)判断 ABF△ 和 AGE 是否全等．请说明理由． 试卷第 3 页，共 5 页 12．（1）如图①，已知： ABC 中， 90BAC∠ = °， AB AC= ，直线m 经过点A ， BD m⊥ 于D， CE m⊥ 于 E ，求证：DE BD CE= + ； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为： ABC 中， AB AC= ， D、A 、 E 三点都在直线m 上， 并且 BDA AEC BAC α∠ = ∠ = ∠ = ，α 为任意锐角 或钝角，请问结论DE BD CE= + 是否成立？如成 立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在 ABC 中， BAC∠ 是钝角， AB AC= ， BAD CAE∠ ∠> ， BDA AEC BAC∠ = ∠ = ∠ ，直线m 与 BC 的延长线 交于点 F ，若 2BC CF= ， ABC 的面积是 16，求 ABD△ 与 CEF△ 的面积之和． 13．如图 1，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐 标分别为 ( )1,0− ，( )3,0 ，现同时将点 A，B 分别向 上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度， 得到 A，B 的对应点 C，D，连接 AC ，BD，CD． (1)写出点 C，D 的坐标并求出四边形 ABDC 的面 积． (2)在 x 轴上是否存在一点 F，使得三角形DFC 的 面积是三角形DFB 面积的 2 倍，若存在，请求出 F 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图 2，点 P 是直线 BD上一个动点，连接 PC ， PO，当点 P 在直线 BD上运动时，请直接写出 OPC∠ 与 PCD∠ ， POB∠ 的数量关系． 试卷第 4 页，共 5 页 14．（1）如图 1， 120MAN∠ = °，AP 平分 MAN∠ ， 60BCD∠ = °，且与 AM 、AN 分别交于点D、B ， 求证：无论点C 怎样移动，总有CD CB= ． （2）如图 2，其他条件不变，将图 1 的 BCD∠ 绕 点C 逆时针旋转使得点D落在 AM 的反向延长线 上时， ①求证： BCD△ 是等边三角形． ②你能得出线段 AB ， AC ， AD之间的数量关系 吗？请写出数量关系并就图 2 的情形证明你的结 论． 15．已知 ABC 中， AB AC= ． (1)如图 1，在 ADE 中，若 AD AE= ，且 DAE BAC∠ = ∠ ，求证：CD BE= ； (2)如图 2，在 ADE 中，若 60∠ ∠ °DAE BAC= = ， 且CD垂直平分 AE ， 3AD = ， 4CD = ，求 BD的 长； (3)如图 3，在 BCD△ 中， 45CBD CDB∠ = ∠ = °， 连接 AD ，若 45CAB∠ = °，求 AD AB 的值． 试卷第 5 页，共 5 页 16．（1）如图①，在 ABC 中， ABC∠ 的平分线 BO与 ACB∠ 的平分线CO交于点 O，求证： 190 2 BOC A∠ = °+ ∠ ； （2）如图②，在 ABC 中，E 是边 BC 延长线上 一点， ABC∠ 的平分线 BO与 ACE∠ 的平分线CO 交于点 O，求证： 1 2 BOC A∠ = ∠ ； （3）如图③，在 ABC 中，D 是边 AB 延长线上 一点，E 是边 AC 延长线上一点， CBD∠ 的平分线 BO与 BCE∠ 的平分线CO交于点 O．试探求 A∠ 与 BOC∠ 的数量关系并证明你的结论． 17．一个多边形，它的内角和比外角和的 4 倍多 180°，求这个多边形的边数及内角和度数． 18．如图，在 ABC 中， AB BC= ． (1)如图 1，直线 NM 过点 B， AM MN⊥ 于点 M， ⊥CN MN 于点 N，且 90ABC∠ = °，求证： MN AM CN= + ． (2)如图 2，直线 NM 过点 B， AM 交 NM 于点 M， CN 交 NM 于点 N，且 AMB ABC BNC∠ = ∠ = ∠ ， 则MN AM CN= + 是否成立？请说明理由！ 八年级上学期期中重难题型练 姓名：___________班级：___________ 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的个数为（　　） ①； ②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 2．如图，点，在的边上．小龙同学现进行如下操作： ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交②中所画的弧于点，作射线，连接． 根据上述操作，不成立的结论是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，AD是BC边上的中线，，垂足为E．若，则的度数为（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 4．如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过点E作，F为垂足，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①② 6．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（    ） A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 7．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点E、F，直线交于点D．连接，已知，的周长是10，则的长是 ． 9．如图，在中，与的平分线相交于点O，过点O作，分别交AB、AC于点M、若的周长为15，，则的周长为 ． 三、解答题 10．如图，在四边形中，，，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若在上且，判断是否正确，并写出证明过程． 11．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为． (1)如果， 求的度数； (2)判断和是否全等．请说明理由． 12．（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 13．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接，，． (1)写出点C，D的坐标并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点P是直线上一个动点，连接，，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 14．（1）如图1，，平分，，且与、分别交于点、，求证：无论点怎样移动，总有． （2）如图2，其他条件不变，将图1的绕点逆时针旋转使得点落在的反向延长线上时， ①求证：是等边三角形． ②你能得出线段，，之间的数量关系吗？请写出数量关系并就图2的情形证明你的结论． 15．已知中，． (1)如图1，在中，若，且，求证：； (2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，求的长； (3)如图3，在中，，连接，若，求的值． 16．（1）如图，在中，的平分线与的平分线交于点O，求证：； （2）如图，在中，E是边延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O，求证：； （3）如图，在中，D是边延长线上一点，E是边延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O．试探求与的数量关系并证明你的结论． 17．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的边数及内角和度数． 18．如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ $$ 八年级上学期期中重难题型练 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的个数为（　　） ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理： ①根据三角形内角和定理可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断； ②当是的中线时，，进而可以进行判断； ③作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断； ④过作，于点，，由③知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断． 【详解】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ②只有当是的中线时，，故②错误； ③如图，作的平分线交于点，    由①得， ， ， ， ，，，， ∴，， ，， ，故③正确； ④过作，于点，， 由③知，为的角平分线， ， ， ，， ，故④正确． 综上所述：正确的有①③④，共3个， 故选：B. 2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，点，在的边上．小龙同学现进行如下操作： ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交②中所画的弧于点，作射线，连接． 根据上述操作，不成立的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，    在和中， ∵， ∴， ∴． ∴， 故A、B、D都可得到，无法得到C． 故选：C． 3．（22-23八年级上·山西朔州·期末）如图，在中，，AD是BC边上的中线，，垂足为E．若，则的度数为（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵且AD是BC边上的中线， ∴，AD平分BAC， ∴在RtCDA中， ， ∵， ∴在RtCEB中， ． 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质和三角形内角和，解决本题的关键是掌握三线合一的性质． 4．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，，由等腰三角形的性质可得，从而得到，再由平行线的性质可得，从而求出，再由等边三角形的判定和性质可得，求出，再利用三角形外角的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ∵， ，即， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质、平行线的性质，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 5．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过点E作，F为垂足，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①② 【答案】B 【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，结合，即③错误，过E作于G点，证明，，可得，证明，可得，从而可判断④． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， ∴在和中，， ∴，①正确； ②∵为的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴，②正确； ③∵，，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵为的角平分线，， ∴，③错误； ④过E作于G点，    ∵E是的角平分线上的点，且， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵在和中，， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， ∴．④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 6．（21-22八年级上·云南昆明·期中）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（    ） A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 【答案】C 【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD和△CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和． 【分析】解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a， ∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a， ∵a＝8cm， ∴7a＝56cm， ∴DE＝56cm， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 7．（2019·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积． 【详解】解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， 所以的面积． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质． 二、填空题 8．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点E、F，直线交于点D．连接，已知，的周长是10，则的长是 ． 【答案】6 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据的周长为10，求出即可． 【详解】解：∵的周长为10， ∴， ∴， 由作图可知，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题． 9．（18-19八年级上·山东济南·期末）如图，在中，与的平分线相交于点O，过点O作，分别交AB、AC于点M、若的周长为15，，则的周长为 ． 【答案】9． 【分析】先根据角平分线的性质和平行线的性质推出OM=BM，ON=CN，即可得到三角形的周长就等于AB与AC的长度之和． 【详解】解：如图，∵ OB、OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线， ∴ ， 又∵ ， ， ， ， 又 ， ， 的周长=9. 故答案为9． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质；解答此题的关键是熟知平行线的性质，等腰三角形的性质及角平分线的性质． 三、解答题 10．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若在上且，判断是否正确，并写出证明过程． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）通过四边形内角和定理和平角的定义得出，证出，由此即可得出； （2）结合即可证出，由此即可得出，再根据即可得出，，由（1）可知，进而得知，根据角的计算即可得出，结合即可证出，即得出，由相等的边与边之间的关系即可证出． 【详解】（1）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ； （2）解：正确，证明如下： 如图所示，连接， 在和中， ， ， ． ， ． 由（1）可得：， ． ，即． ． 在和中， ， ， ． ， ． 11．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为． (1)如果， 求的度数； (2)判断和是否全等．请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】（1）由长方形的性质得，，则可得．再由折叠的性质得，则可得．在中，根据三角形内角和定理即可求出的度数． （2）由长方形的性质和折叠的性质可得，，，根据即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ，， ∴， ， ， ， 由折叠知， ， 在中，． （2）解：，理由如下： ∵四边形是长方形， ，， 由折叠知，，， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、折叠的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（19-20七年级下·四川成都·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立；理由见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得即可得出答案； （3）由，，可得，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为8． 13．（16-17七年级下·江苏南通·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接，，． (1)写出点C，D的坐标并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点P是直线上一个动点，连接，，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)，  四边形的面积是8 (2)存在，或 (3)当点P在线段BD上运动时，；当点P在线段BD的延长线上运动时，；当点P在DB的延长线上运动时， 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，以及点的平移的规律，对点的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）根据点的平移规律可得、的坐标以及四边形的面积； （2）根据角形的面积是三角形面积的2倍，得．即可求出点的坐标； （3）分三种情况，当点在线段上运动时，当点在线段的延长线上运动时，当点在的延长线上运动时，分别画图得出答案． 【详解】（1）解： 点，的坐标分别为，， 将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得，； ，， 四边形为平行四边形， 四边形的面积为：； （2）解：存在，，， ， 三角形的面积是三角形面积的2倍， ． 点的坐标为， 点的坐标为或； （3）解：当点在线段上运动时，如图，延长交轴于点， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上运动时，如图， ， ， ， ； 当点在的延长线上运动时，如图， ， ， ， ． 综上：当点在线段上运动时，； 当点在线段的延长线上运动时，； 当点在的延长线上运动时，． 14．（23-24八年级上·云南昆明·期中）（1）如图1，，平分，，且与、分别交于点、，求证：无论点怎样移动，总有． （2）如图2，其他条件不变，将图1的绕点逆时针旋转使得点落在的反向延长线上时， ①求证：是等边三角形． ②你能得出线段，，之间的数量关系吗？请写出数量关系并就图2的情形证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，见解析 【分析】（1）过点作于点，于点，由“”可证，可得； （2）①由“”可证，可得，由等边三角形的判定可得结论； ②由含30度角的直角三角形的性质可得，由线段关系可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，如下图， ∵平分，，， ∴， ∵，由四边形的内角和等于， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴无论点怎样移动，总有； （2）①证明：过点作于，于，如下图， ∵平分，，， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ②，理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，根据角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 15．（23-24八年级上·云南昆明·期中）已知中，． (1)如图1，在中，若，且，求证：； (2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，求的长； (3)如图3，在中，，连接，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）先证，再证即可； （2）先证是等边三角形，推出，，同（1）可证，可证，，最后用勾股定理解即可； （3）作且，连接，，先证是直角三角形，得出，同（1）可证，得出． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 同（1）可证， ，， ， 在中，，， ； （3）解：如图，作，且，连接，， ∴，，， ， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．（23-24八年级上·云南昆明·期中）（1）如图，在中，的平分线与的平分线交于点O，求证：； （2）如图，在中，E是边延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O，求证：； （3）如图，在中，D是边延长线上一点，E是边延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O．试探求与的数量关系并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，然后表示出，再根据三角形的内角和等于，列式整理即可解决问题； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质得出，列式整理即可解决问题； （3）根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得，，再根据三角形内角和的性质得出，进而可得出． 【详解】（1）证明：与的平分线相交于点O， ，， ， 在中， ． （2）证明：的平分线与的平分线相交于点O， ，， ． （3）解：，理由如下： 如图， 、分别是的外角、的角平分线， ，， ， 又， ． 17．（13-14七年级下·江苏泰州·单元测试）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的边数及内角和度数． 【答案】这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度． 【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620度．n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：根据题意，得 （n−2）•180°＝360°×4+180°， 解得：n＝11． 360°×4+180°=1620° 则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度． 【点睛】本题考查了多边形内角和，解题的关键是结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解． 18．（21-22八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导，最后证明，直接可证． （2）利用及是的外角，可以推出，再利用可以判定，再利用全等的性质导边即可证明． 【详解】（1）证明：∵于点M，于点N； ∴； ∴； ∵， ∴； ∴； 在和中， ∴； ∴，； ∴． （2）成立．理由如下： 设； ∴； ∴； 在和中； ∴； ∴，； ∴； 故成立． 试卷第4页，共26页 试卷第1页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $$