3.2.2 奇偶性（第一课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2 奇偶性 “对称美”是自古以来中国的一种审美形式，实际生活中、传统文化里、自然界中对称的例子比比皆是，体现着数学的“对称美”！ 其实，这种“对称美”还体现在我们的函数图象中，反映着函数的重要性质. 问题1 前面我们用符号语言精确地描述了函数图像在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质，下面我们研究函数的其他性质. 观察函数f(x)= x2，g(x)=2-|x|的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？ f(x)=x2 g(x)=2-|x| 这两个函数的图像都关于y轴对称. 新知学习 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)= x2 g(x)=2-|x| 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表： 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等. 9 4 1 0 1 4 9 问题2 类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？ 这时，我们称为偶函数 偶函数的图象关于y轴对称， 反之，图像关于y轴对称的函数为偶函数 思考:定义中“x,”说明了什么？ 说明：偶函数的定义域要关于原点对称 偶函数的图像特征： 偶函数的定义：   概念巩固： 思考：下列函数是偶函数吗？ 1 3、f()=1 ,xϵ（-1,2） xϵ（-∞，-1）⋃（1，+∞） 4、f()= 2 、f(x)= f(x)为偶函数的条件： ∀x∈D，都有x∈D f(-x) = f(x) 两者缺一不可 问题3　观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？ 图象关于原点对称 f(-x) = - f(x) 一般地,设函数 f(x) 的定义域为D,如果 x ,且 f(-x) = - f(x) , 那么函数 f(x) 就叫做奇函数. 奇函数的定义： 奇函数的图象关于原点对称， 反之，图像关于原点对称的函数为奇函数 注：奇函数的定义域也要关于原点对称. 奇函数的图像特征: (1) f(x)= x3； （2）f(x)= (1）函数f(x)= x3的定义域为R， 因为∀x∈R，都有﹣x∈R，且 f(-x) =(-x)3 =-x3 =- f(x)， 所以，函数 f(x)= x3为奇函数. 因为∀x∈{x| x≠0}，都有﹣x∈{x| x≠0}，且 所以，函数 为奇函数. (2) 函数 的定义域为{x| x≠0}， f(x)为奇函数的条件： ∀x∈D，都有x∈D f(-x) = -f(x) 两者缺一不可 (2)f(x)＝ 解：函数f(x) 定义域为{－1，1}， ∀x∈{－1，1},都有-x∈{－1，1} 且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． y o x 结论: 既奇又偶函数需同时满足两个条件： ①定义域关于原点对称 ②函数解析式可化简为f (x)=0 x y o 函数解析式为________,图象具有什么对称性？ f (x)=0 图象既关于y轴对称，又关于原点对称 解 ：函数f(x)的定义域为R. ① 当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0.所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1，所以f(-x)=-f(x)； ② 当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0.所以f(-x)=1-(-x)2=1-x2，所以f(-x)=-f(x)； ③ 当x=0时，f(0)=0. 综上，对∀x∈R，总有f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)为R上的奇函数. 利用函数奇偶性定义来判断，函数 f(x)= x3+x 的定义域为R，且有 f(-x)= -x3-x= -f(x)所以此函数是奇函数. 课本探究 （1）如何判断函数 f(x)= x3+x的奇偶性？ 由奇函数的图象关于原点成中心对称可以画出函数 f(x)= x3+x在y轴左侧对的图象，将y轴右侧的图象沿着原点旋转180°即可. （2）已知函数f(x)= x3+x图象的一部分，如何画出剩余部分？ x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 f(x)= x3+x 课后习题85页. 1.已知 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，试将下图补充完整. 求函数f(x)的定义域 f(x)既不是奇函数也不是偶函数 判断f(-x)与f(x)的关系 判断定义域是否关于原点对称？ f(-x)≠ f(x)且f(-x)≠ - f(x) 是 否 f(-x)= f(x) f(x)是偶函数 f(x)是奇函数 f(-x)= -f(x) f(x)既是奇函数 也是偶函数 f(-x)= f(x)= - f(x) 定义法（ 代数特征 ）判断奇偶性的步骤： 图像法（几何特征）判断奇偶性 f(x)为奇函数 图像关于原点对称 f(x)为偶函数 图像关于y轴对称 强化概念 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ eq \f(\r(1－x2),x) ； (2)f(x)＝ eq \r(x2－1) ＋ eq \r(1－x2) ； (3)f(x)＝ eq \f(x,x－1) ； (4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x2，x>0，,0，x＝0，,x2－1，x<0.)) (1)f(x)＝ eq \f(\r(1－x2),x) [解] (1)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1] ∀x∈[－1，0)∪(0，1]，都有∀-x∈[－1，0)∪(0，1] 且 f(－x)＝ eq \f(\r(1－x2),－x) ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (3)f(x)＝ eq \f(x,x－1) ； 解：函数f(x)的定义域为{x|x≠1} 则定义域不关于原点对称． 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． （4）判断函数f(x)＝的奇偶性. $$