精品解析：福建省泉州市永春县坑仔口中学2024--2025学年九年级上学期月考数学试卷

福建省2025届九年级阶段评估（一） 数学 上册第21、22章 说明：共有三个大题，25个小题，满分150分，作答时间120分钟. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，将正确答案的代号填在下表中. 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此列得，求解即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ ∴ 故选：D． 2. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，将代入中即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的解为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 3. 杜阿姨准备开辟一块直角三角形空地种植花卉，现测得该直角三角形的两条直角边的长分别是米和米，则这块直角三角形空地的斜边长为（ ） A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的性质，正确理解题意是解题的关键．根据勾股定理列式，计算即得答案． 【详解】这块直角三角形空地的斜边长为（米）． 故选：A． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的计算二次根式的乘除法，根据二次根式的运算法进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，3 C. 1，2， D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查公式法，先将原方程变形为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的公式法即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C 6. 如果是一个正整数，那么可以取到的最小正整数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是正确进行化简．首先化简，再确定x的最小正整数的值． 【详解】解：∵， ∴x可取的最小正整数的值为3， 故选：B． 7. 将一元二次方程用配方法化为方程的形式，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法，将方程两边同时加上2，配方，求出h，k的值，代入计算即可，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： ∴ ∴ ∴， 故选：A． 8. 山西省2024年开展农村供水工程维修养护1700处，受益人口达到180万人，预计山西省2026年开展农村供水工程维修养护受益人数达到万，若设这两年山西省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握平均增长率问题是解题的关键． 根据平均增长率的意义列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得（舍去）， 故选：C． 9. 如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（ ） A. 0.8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，求出点，之间的距离，即的长，再根据题意求得的长，即可得出点对应的数． 【详解】解：∵点，在数轴上表示的数分别是2，， ∴， ∵， ∴， ∴点可以看成点向左移动， ∴点对应的数为， ∴点表示的数， 故选：D． 10. 如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与几何图形，设，则，根据得，代入后转化为一元二次方程，再解方程并检验即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】设，则， ∵， ∴， ， ∴， 解得，（舍去）， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 计算：_______ 【答案】． 【解析】 【详解】直接进行同类二次根式的合并可得出答案：． 12. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 14. 如图，小夏放学回家，从学校（点处）径直走到图书馆（点处），接着又径直走到小广场（点处），已知，，，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了两点间的距离，勾股定理，二次根式的加减，首先根据勾股定理求出，，然后利用二次根式的加减求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴． 故答案为：． 15. 已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，，再分腰长为2和腰长为6两种情况，根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为6时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意 ∴此等腰三角形的周长为； 综上所述，此等腰三角形的周长为． 故答案为：． 16. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是__________． 【答案】64 【解析】 【分析】此题考查整式混合运算的实际应用，设小正方形的边长为，得到矩形的长为，宽为．列得，将代入即可求． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为． 由图1、图2可得， 整理得． ，， ， ， 矩形的面积为， 故答案为64． 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：． ， 或， 解得：，． 19. 如图，这是一块面积为平方米的长方形空地，已知该空地的长与宽的比为，现要在空地的四角修建面积均为5平方米的正方形水池，阴影部分为游乐园，求游乐园的面积． 【答案】游乐园的面积为平方米 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，减法的应用．根据空地的长与宽的比为，设长方形空地的长为米，宽为米，可得，求出值，即可得到长方形的长和宽的值，进而可得到游乐园的长和宽，代入计算即可得到答案． 【详解】解：设长方形空地的长为米，宽为米， ∴，即， 解得， 长为米，宽为米． 每个小正方形的面积为5平方米， 每个小正方形的边长为米， 游乐园的长为（米），宽为（米）， 游乐园的面积为（平方米）． 答：游乐园的面积为40平方米． 20. 阅读与思考，下面是小其的学习日记，请认真阅读，并完成相应任务． 小其在学了一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得，第一步 二次项系数化为1，得，第二步 配方，得，第三步 因此，第四步 由此得或，第五步 解得第六步 任务： （1）小其运用的解法是_____，小其的解题过程从第_____步开始出现错误． （2）请利用小其的方法正确地解方程． 【答案】（1）配方法，二 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程， （1）观察解题步骤可知是运用配方法解一元二次方程，逐步判断即可发现错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察解题步骤可知小其运用的解法是：配方法， 解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，方程右边的未除以2， 故答案为：配方法，二； 【小问2详解】 解：． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：， 解得：，． 21. 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式． （1）若与是关于6的和谐二次根式，求的值． （2）若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的计算，解一元一次方程： （1）根据定义列得,即可求出的值． （2）根据定义得,由为有理数得到，，即可解方程求出和的值． 【小问1详解】 解：由题意可得， ． 【小问2详解】 由题意可得， 整理得． 是有理数， ，， ，． 22. 综合与实践 项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算． 项目背景：现如今人们的生活水平不断提高，同质化的商品很难得到人们的关注．为了方便同学们更好地放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习． 驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离． 研究步骤：（1）如图，这是福州市某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们利用课余时间完成了如下实践探究，形成了如下实验报告： 调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 （2）已知地面为水平面，桌面是水平面，，为课桌的高度，挂钩顶端到地面的距离为，最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论． （3）试验数据： 元素 数据 问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端到地面的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理等等知识，连接，交于点．由等角对等边以及三角形内角和定理可得出，再结合已知条件可得出，利用勾股定理分别求出和，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点．     ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， ， ， 或（舍去）， ， ， ． 答：课桌挂钩顶端到地面的距离为． 23. 山西槐米茶，口感清香，冲泡汤色亮黄，味道醇厚，具有清血凉血，抗菌消炎等功效． （1）如图1，太原市某茶庄种植槐米茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为600平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多10米． ①分别求该采茶基地的长和宽； ②若要在采茶基地的四周围上篱笆，问需要多长的篱笆？ （2）如图2，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（1）中的采茶基地大小、形状相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为486平方米，求小路的宽度． 【答案】（1）①该采茶基地的宽为20米，长为30米；②该采茶基地需要100米长的篱笆 （2）小路的宽度为1米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①设采茶基地的宽为米，则长为米，根据面积为600平方米列方程，解方程即得答案；②根据长方形的周长，即得答案； （2）设小路的宽度为米，根据鲜花的种植面积为486平方米列出方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：①设采茶基地的宽为米，则长为米， 根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 答：该采茶基地的宽为20米，长为30米． ②根据题意得米， 答：该采茶基地需要100米长的篱笆． 【小问2详解】 解：设小路的宽度为米， 则， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：小路的宽度为1米． 24. 综合与实践 观察下列等式： ①； ②； ③； …… 解答下列问题： （1）化简：__________，__________． （2）比较和的大小． （3）计算： 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，熟练的进行分母有理化是解本题的关键； （1）分子，分母分别都乘以，即可得到答案； （2）把化为，把化为，再进一步比较大小即可． （3）把原式化为：，再计算即可． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：． ． ， ， ． 【小问3详解】 解： ． 25. 综合与探究 已知关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围． （2）我们知道，若一元二次方程的两根分别为和，则有，．当方程的两根，满足时，求的值． （3）若，，1三个数中有两个数相等，且，为方程的两个实数根，求的值． 【答案】（1） （2）的值为1 （3）的值为或或． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解一元二次方程． （1）利用根的判别式得到，解不等式即可求解； （2）利用根与系数的关系得到结合已知求得，解方程，求得合适的值即可求解； （3）分①当或时，②当时，两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ， 方程有实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：根据材料可得，， ， ，即， 解得，． ， 的值为1； 【小问3详解】 解：①当或时， ，为方程的两个实数根， 将1代入方程得， 解得或； ， 的值为或； ②当时， ，为方程的两个实数根， ，解得． 综上所述，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省2025届九年级阶段评估（一） 数学 上册第21、22章 说明：共有三个大题，25个小题，满分150分，作答时间120分钟. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，将正确答案的代号填在下表中. 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 杜阿姨准备开辟一块直角三角形空地种植花卉，现测得该直角三角形的两条直角边的长分别是米和米，则这块直角三角形空地的斜边长为（ ） A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，3 C. 1，2， D. 1，， 6. 如果是一个正整数，那么可以取到的最小正整数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 将一元二次方程用配方法化为方程的形式，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5 8. 山西省2024年开展农村供水工程维修养护1700处，受益人口达到180万人，预计山西省2026年开展农村供水工程维修养护受益人数达到万，若设这两年山西省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（ ） A. 0.8 B. C. D. 10. 如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 计算：_______ 12. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 14. 如图，小夏放学回家，从学校（点处）径直走到图书馆（点处），接着又径直走到小广场（点处），已知，，，那么的值为_____． 15. 已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 16. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，这是一块面积为平方米的长方形空地，已知该空地的长与宽的比为，现要在空地的四角修建面积均为5平方米的正方形水池，阴影部分为游乐园，求游乐园的面积． 20. 阅读与思考，下面是小其的学习日记，请认真阅读，并完成相应任务． 小其在学了一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得，第一步 二次项系数化为1，得，第二步 配方，得，第三步 因此，第四步 由此得或，第五步 解得第六步 任务： （1）小其运用的解法是_____，小其的解题过程从第_____步开始出现错误． （2）请利用小其的方法正确地解方程． 21. 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式． （1）若与是关于6的和谐二次根式，求的值． （2）若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值． 22. 综合与实践 项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算． 项目背景：现如今人们的生活水平不断提高，同质化的商品很难得到人们的关注．为了方便同学们更好地放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习． 驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离． 研究步骤：（1）如图，这是福州市某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们利用课余时间完成了如下实践探究，形成了如下实验报告： 调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 （2）已知地面为水平面，桌面是水平面，，为课桌的高度，挂钩顶端到地面的距离为，最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论． （3）试验数据： 元素 数据 问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端到地面的距离． 23. 山西槐米茶，口感清香，冲泡汤色亮黄，味道醇厚，具有清血凉血，抗菌消炎等功效． （1）如图1，太原市某茶庄种植槐米茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为600平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多10米． ①分别求该采茶基地的长和宽； ②若要在采茶基地的四周围上篱笆，问需要多长的篱笆？ （2）如图2，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（1）中的采茶基地大小、形状相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为486平方米，求小路的宽度． 24. 综合与实践 观察下列等式： ①； ②； ③； …… 解答下列问题： （1）化简：__________，__________． （2）比较和的大小． （3）计算： 25. 综合与探究 已知关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围． （2）我们知道，若一元二次方程的两根分别为和，则有，．当方程的两根，满足时，求的值． （3）若，，1三个数中有两个数相等，且，为方程的两个实数根，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $