2024-2025学年人教版八年级上册数学竞赛代数式求值专题讲义

初中数学竞赛代数式求值专题讲义 由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。 已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。 一、专题知识 1. 基本公式 （1） 立方和公式： （2） 立方差公式： （3） 完全立方和： （4） 完全立方差： 2. 基本结论 （1） （2） （3） 二、经典例题 例题1 已知求代数式的值。 【解】（1），由等比性质得； （2），则，所以。 例题2 已知，求代数式的值。 【解】 例题3 实数满足条件：，求代数式的值。 【解】 两式相加得， 只有且，所以。 例题4 已知为非负整数，且对于任意正数，恒成立，求代数式的值。 【解】 由已知条件，对任意正数，恒成立， 不妨令，则，由于是奇数，所以 再令，则，即，所以 于是 三、专题训练 1. 已知为实数，且，求代数式的值。 2. 已知实数满足条件：，求代数式的值。 3. 已知都是正整数，且满足，求代数式的值。 4. 已知的值。 5. 已知，求代数式的值。 6. 已知都是整数，且，求代数式的值。 7. 已知实数满足条件：，求代数式的值。 8. 已知，求代数式的值。 9.已知，求下列代数式的值： 10.正整数满足条件：，求代数式的值。 11. 设是的小数部分，是的小数部分，求代数式的值。 12. 已知，求代数式的值。 13.实数、、满足条件求代数式的值。 专题训练参考答案 1.解： 2.解：设则 ，即 由于 只有，所以，即。 3.解：所以或。 （1）当时，，得，这样的正整数不存在； （2）当时，，得，所以满足条件的正整数；所以。 4.解：由得， ，所以 所以，即 所以 所以 5.解： 变形得， （2）带入（1）得，。 6.解：设则， 即，所以，则 （1） 若，则，所以，与矛盾。 （2） 若，则或，但是或都不可能，否则奇数=偶数，矛盾。 （3） 若，则或，解得或，所以 综上（1）、（2）、（3）得，。 7.解： 化简得，， 即，变形得， 解得，从而，所以。 8.解：由得，，代入得， 9.解：（1）由，得，所以； （2），所以。 10.解：由已知条件：得， ，由且、是正整数，只有，代入 得，，所以。 11.解：，所以； ，所以 。 12.解： 13.解：将等式变形得， 化简得，，所以或 若，则，又由于， 所以，即，所以 综上所述，代数式的值为或0。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$