二次根式+一元二次方程易错练习2021-2022学年沪教版（上海）八年级数学第一学期

前两章复习题 1、若为实数，则下列式子中正确的个数为（ ） （1） (2) （3） （4） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、化简结果是（ ） A. B. C. 0 D. 3、一元二次方程的解是　　 A. ， B. ， C. ， D. ， 4、已知关于x的-元二次方程a+b +5=0(a≠0)的一个解是=1,那么2014-a-b的值（ ） A. 2019 B. 2009 C. 2015 D. 2013 5、若是不等于任意实数,则方程总有一个根等于（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 6、等腰的一边长为4，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则等腰三角形底边的值是（ ） A. 4 B. 25 C. 4或6 D. 24或25 7、若，则应满足_________ 8、若，则的取值范围是__________． 9、比较大小：________. 10、已知用“＜”将连接________. 11、已知,化简________. 12、不等式x﹣2＜x的解集是_____． 13、计算=________________. 14、如果一元二次方程有实数根，那么的取值范围是_______________ 15、若实数x满足，则_________ 16、如果 4a 2b c 0 ，则一元二次方程 ax2 bx c 0 必有一个根为 . 17、若关于的一元二次方程有实数根，且其中一个根是另一个根的一半时，称之为“半根方程”。如果关于的一元二次方程是“半根方程”，那么的值为 18、“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根。”例如和就是互为好友方程，好友根为如果和就是互为好友方程，那么____________ 19、请把代数式化为的形式，然后完成填空；若代数式的最小值为，则_____________. 20、如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90º，AC＝6厘米，BC＝8厘米，点P、Q同时由A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P点运动_______秒时，△PCQ面积为4平方厘米。 21、 化简： 22、化简： 23、化简： 24、解关于x的方程 25、已知：关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 26、某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米． （1）饲养场另一边BC=____米（用含x的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 27、阅读材料： 用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1． （1）当x=___时，代数式3（x+3）2+4有最小____（填写大或小）值为____． （2）当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最大____（填写大或小）值为____. （3）矩形花园一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 28、观察下列各式及其化简过程: ==+1 ==- （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，填空：= =-1 （2）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简; （3）针对上述各式反映的规律，写出=-()中m、n与之间的关系． 29、我们知道，一元二次方程，当，它有两个实数根：，可得 ①，如的两根是、，由①得，我们可把①称为是一元二次方程的根与系数的关系式 1） 已知方程的两个不相等的根为、，则+= 2） 已知关于的方程的两个实数根分别是、且满足，>,>,则 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前两章复习题 1、若为实数，则下列式子中正确的个数为（ ）A （3）对 （1） (2) （3） （4） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、化简结果是（ C ） A. B. C. 0 D. 3、一元二次方程的解是　　A A. ， B. ， C. ， D. ， 4、已知关于x的-元二次方程a+b +5=0(a≠0)的一个解是=1,那么2014-a-b的值（ ）A A. 2019 B. 2009 C. 2015 D. 2013 5、若是不等于任意实数,则方程总有一个根等于（B） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 6、等腰的一边长为4，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则等腰三角形底边的值是（ ）C A. 4 B. 25 C. 4或6 D. 24或25 分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可． 【详解】设底边为a，分为两种情况：①当腰长4时，则a+4=10， 解得：a=6，即此时底边为6， ②底边为4，腰长为10÷2=5，即底边长为4或6，故选C． 7、若，则应满足_________ 8、若，则的取值范围是__________． 9、比较大小：___<_____. 10、已知用“＜”将连接________. 11、已知,化简________. 12、不等式x﹣2＜x的解集是_____． 13、计算=________________. 14、如果一元二次方程有实数根，那么的取值范围是___且a≠0___ 15、若实数x满足，则____-2021______ 16、如果 4a 2b c 0 ，则一元二次方程 ax2 bx c 0 必有一个根为 -2 . 17、若关于的一元二次方程有实数根，且其中一个根是另一个根的一半时，称之为“半根方程”。如果关于的一元二次方程是“半根方程”，那么的值为 18、“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根。”例如和就是互为好友方程，好友根为如果和就是互为好友方程，那么______3或1______ 【详解】解：解方程得：，， ①若是两方程的公共根，将代入得， ∴，此时方程为，解得：，，符合题意，∴； ②若是两方程的公共根，将代入得，∴， 此时方程为，解得：，，符合题意，∴， 综上所述，或1. 19、请把代数式化为的形式，然后完成填空；若代数式的最小值为，则______35_______. 20、如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90º，AC＝6厘米，BC＝8厘米，点P、Q同时由A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P点运动_______秒时，△PCQ面积为4平方厘米。 【答案】2或4 【解析】 设x秒后，△PCQ面积为4平方厘米，则AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=xcm， 列方程得：×x（6-x）＝4,-x2+6x-8=0,(-x+2)(x-4)=0,x1=2，x2=4. 21、 化简：22化简： 【答案】2y2 先通分，再进行分母有理化，接着按照二次根式混合运算法则计算即可. 【详解】原式=，=， =，=，=. 23、化简： 24解关于x的方程 【答案】． 【详解】解： = = =． （2）分两种情况讨论： 当时，即，方程为一元一次方程， 时，；时，； 当时，原方程可转化为 用十字相乘法，方程可转化为 解得或. 综上所述，方程的解为或或或. 25、已知：关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【答案】(1)证明详见解析；（2）5. 【解析】 【分析】 （1）先计算出△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）分类讨论：当b＝c时，△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断． 【详解】（1）证明：△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2， ∵（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当b＝c时，△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2， ∴△ABC的周长＝2+2+1＝5； 当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1， 方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去， ∴△ABC的周长为5． 26、某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米． （1）饲养场另一边BC=____米（用含x的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 【答案】（1）48-3x；（2）10. 【解析】 【分析】 （1）用（总长+3个1米的门的宽度）-3x即为所求； （2）由（1）表示饲养场面积计算即可， 【详解】（1）由题意得：（48-3x）米．故答案是：（48-3x）； （2）由题意得：x（48-3x）=180 解得x1=6，x2=10 27、阅读材料： 用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1． （1）当x=___时，代数式3（x+3）2+4有最小____（填写大或小）值为____． （2）当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最大____（填写大或小）值为____. （3）矩形花园一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）-3，小，4；（2）1，大，5；（3）当边长为4米时，花园面积最大为32m2． 【解析】 【分析】 （1）由完全平方式的最小值为0，得到x=-3时，代数式的最小值为4； （2）将代数式前两项提取-2，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值； （3）设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16-2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值． 【详解】（1）∵（x+3）2≥0， ∴当x=-3时，（x+3）2的最小值为0， 则当x=-3时，代数式3（x+3）2+4的最小值为4； （2）代数式-2x2+4x+3=-2（x-1）2+5， 则当x=1时，代数式-2x2+4x+3的最大值为5； （3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16-2x）m， ∴花园的面积为x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x2-8x+16）+32=-2（x-4）2+32， 则当边长为4米时，花园面积最大为32m2． 28、观察下列各式及其化简过程: ==+1 ==- （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，填空：= =-1 （2）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简; （3）针对上述各式反映的规律，写出=-()中m、n与之间的关系． 【答案】（1）；（2）；（3）m=a＋b，n=ab 【解析】 【分析】 观察上述例子可发现，通过把被开方数变成一个完全平方式，再利用二次根式性质化简即可， 需注意完全平方公式中的a2＋b2在被开方数中被合并，可以通过2ab去判断a、b的值. 【详解】解：（1）===-1， 故填：； （2） ==== 29、我们知道，一元二次方程，当，它有两个实数根：，可得 ①，如的两根是、，由①得，我们可把①称为是一元二次方程的根与系数的关系式 1） 已知方程的两个不相等的根为、，则+= 2） 已知关于的方程的两个实数根分别是、且满足，>,>,则 【答案】 【解析】 （1） （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$