第一章 勾股定理——常见模型及其应用 训练 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

专题三 勾股定理的常见模型及其应用 【知识点】 1. 直角三角形中的常见模型： 毕达哥拉斯树、梯子问题、折叠问题、直角三角形中的特殊线. 直角三角形斜边上的中线 (1) 直角三角形斜边上的高 t 2. 最短路线问题： 一般地，求“最短路线”要把“立体问题”转化为“平面问题”，再利用“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”以及“勾股定理”的有关知识解决问题. 在将几何体的表面展开时，要注意确定展开图中两点的相应位置. 另外，由于将几何体的表面展开时可能有几种不同的情况. 因此，有些问题可能会求得几个不同的结果，这就需要通过分析比较选出合适题意的答案。 题型1 毕达哥拉斯树 【例1】如图所示是一种“羊头形”图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②，正方形②， 以此类推. (1) 探索正方形①与正方形②(或与正方形②')边长的数量关系；正方形②与正方形③(或与正方形③')边长的数量关系……它们的数量关系有怎样的规律性? (2) 正方形①与正方形n(或与正方形n')边长的数量上有何关系? 若正方形①的边长为a，则正方形n(或正方形n')边长该如何表示? (3) 若正方形⑦的边长为1cm，则正方形①的边长多长? 举一反三。 1. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值. 如图所示，是一棵由正方形和含 角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S₁，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S₂，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为 设第一个正方形的边长为1. 请解答下列问题： (2) 通过探究，用含n的代数式表示 Sn，则. 题型2 梯子问题 【例2】如图所示，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7m. 当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m. 则小猫在木板上爬动了多少? 。举一反三。 2. 如图所示，一架梯子长25m，底端离墙7m，斜靠在墙上. 若梯子的顶端下滑了4m. 梯子的底端滑动了多少? 题型3 直角三角形斜边上的高与边的关系探究 【例3】如图所示，在 中， 于点 D, 设 CD=h. 求证： (2) a+b<c+h; (3) 以a+b, h, c+h为三边的三角形是直角三角形. ·举一反三。 3. 若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则以下列各组中三条线段为边长: ① , , ② , , ③a, b, h; 其中一定能组成直角三角形的是 ( ) A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③④ 题型4 与直角有关的折叠问题 【例4】如图所示, 在Rt△ABC中, 点M, N分别是边BC, AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点 B'始终落在边 AC上，若△MB'C为直角三角形，求 BM 的长. 。举一反三。 4. 如图所示, 在 Rt△ABC中, ∠C=90°, AB=5, AC=3, 点 D 是 AC 边上的一个动点, 将△BDC沿BD翻折，点C落在点E处，若A，D，E三点构成一个直角三角形，求AD的长. 题型5 等面积法 【例5】如图所示, 在△ABC中, ∠ABC=90°, 点D, E分别在AB, BC的延长线上, 若AB=1,CE=BD=2, 且AD=BC=3, 延长DC交AE于F, ∠AFD=45°. 求△ACF的面积. ·举一反三。 5. 如图所示, 在Rt△ABC中, ∠ABC=90°, AB=3, BC=4, 以AB为斜边向右作等腰Rt△ABD,求点D到AC的距离. 题型6 巧用公共边或相等的边的桥梁作用 (双勾模型) 【例6】如图, 射线 且 点 P 是线段BC (不与点 B, C 重合)上的动点，过点 P作. 交射线CM于点 D, 连接AD. (1) 如图①, 若. 求AD的长； (2) 如图②, 若DP 平分. 探究PB 与PC的数量关系，并说明理由： (3)若 是等腰三角形，作点B关于AP的对称点 B'，则B'D的长是 .(请直接写出答案) 22 。举一反三。 6. 如图, 在 中， 点D在边AC上, 点E在边BC上, 点 M在边AB上, 连接MD, MC, ME, MA=MC, 记 (1) 求证: (2) 如图①, 当 时，求证： (3) 如图②, 当. 时，试探究 之间的数量关系. 23 题型7 化曲为直求最值问题 【例7】阅读下列材料： 如图①所示，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5dm，BC是底面直径，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点 C，为探索蚂蚁爬行的最短路线，小明设计了两条路线： 路线1：侧面展开图中的线段AC，如图②所示. 设路线1的长度为l₁，则 路线2：高线AB 与底面直径 BC的和. 设路线2的长度为l₂，则 因为 所以 所以 所以路线2较短. (1) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：圆柱的底面半径为1dm，高AB 为5dm. 继续按前面的路线进行计算. 请你帮小明完成下面的计算： 路线1： 路线2： 因为 所以l₁ l₂(填“>”或“<”), 所以线路 (填“1”或“2”)较短. (2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬到点 C的路线较短. 。举一反三。 7. 如图所示，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18cm，在杯内离杯上沿4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底4 cm与蜂蜜相对的点B处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离. 题型8 化折为直求最值问题 【例8】如图所示，ABCD是长方形地面，长. 宽 中间竖有一堵砖墙(即长方体 高 一只蚂蚁从A 点爬到C点，且必须翻过中间的那堵墙，则它至少要走多少路程? ·举一反三。 8. 如图所示，是一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A 上有一只蚂蚁，它想到点 B 去吃可口的食物. 请你想一想，这只蚂蚁从点 A出发，沿着台阶面爬到点 B，最短路程是多少? 题型9 利用垂线段最短求最值问题 【例9】如图所示，在 中， ，点P 是线段AC 上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点 P逆时针旋转 得到线段DP，连接DA，求线段DA 的最小值. 25 ·举一反三。 9. 如图所示，在 中， 点 P是边AB 上一动点， 交BC于点Q，求线段QC的最小值. 题型10 利用三边关系求最值问题 【例10】如图所示，在等腰 和等腰. 中, M是斜边BC, EF的中点, 直线AD, CF交于点 P, 若. ，求线段PB的最小值. ·举一反三。 10. 如图所示, 在 中， D为AC的中点，过点 D作 分别交AB, BC于点E, F, 试求EF的最小值. 26 第一章 勾股定理 题型11 线段和最值求解型问题 【例11】如图所示， 点M, N分别在边OA, OB上, 且( 点 P, Q分别在边OB, OA上, 求 的最小值. 。举一反三。 11. 如图所示, 在 中， D 是AB边上的动点，E 是 BC边上的动点，试求. 的最小值. 27 题型 12 构造直角三角形求代数式最值 【例12】阅读下面题目的分析过程，再回答问题. 设x, y为正实数, 且x+y=4, 求 的最小值. 分析： (1)如图①所示, 作长为4的线段AB,过A, B两点在AB的同侧作AB的垂线AC, BD, 使 BD=2; (2)设点P为AB上一个动点， ,由AB=4得. .连结PC,PD,则. (3)只要在AB上找到使PC+PD 为最小的P点的位置，就可以计算出 的最小值. 问题： (1) 以上分析过程，体现的数学思想是 ； (2) 在图②中作出符合上述第三步的P点，并写出作法： (3)当x+y=4时, 求 的最小值. 。举一反三。 12. 求函数 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$