精品解析： 2024—2025学年北师大版九年级上册数学期末考试模拟试卷

模拟卷【北师大版】2024—2025学年秋季九年级上册数学期末考试模拟试卷 一、选择题 1. 如果分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 全体实数 D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于哪个象限？（　　） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A. 3x2﹣5x﹣2＝0 B. a2+2a+3＝0 C. m2﹣4m+4＝0 D. y2+4＝0 4. 下列事件中，是必然事件的是( ) A. 购买一张彩票，中奖 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 5. 如图，如图上的点A所表示的数为x，则x的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则等于（　　） A. 20 B. 15 C. 5 D. 4 7. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 若关于x的不等式（a+2019）x＞a+2019的解为x＜1，则a的取值范围是（　　） A. a＞﹣2019 B. a＜﹣2019 C. a＞2019 D. a＜2019 9. 已知，⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行 10. 如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，平分，按如下步骤作图： 第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、； 第二步，连接分别交、于点、； 第三步，连接、．若，，，则长是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=与y轴交于点A，顶点为B，直线l：y=-x+b经过点A，与抛物线的对称轴交于点C，点P是对称轴上的一个动点，若AP+PC的值最小，则点P的坐标为（ ） A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，） 二、填空题 13. 在平面直角坐标系中，点A坐标是，现将点A向上平移3个单位，再向左平5个单位，得到点，则点的坐标是_____． 14. 如图，函数y＝ax－1的图象过点(1，2)，则不等式ax－1＞2的解集是___． 15. 已知二次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点，则与x轴的另一个交点坐标是_____． 16. 若一次函数的图象与直线平行，且经过点，则一次函数的表达式为___________. 17. 如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________ ． 18. 设α，β是方程两个实数根，则的值为_____． 三、解答题 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中. 21. 为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目）．并将调查结果绘制成如下统计图表： 学生最喜欢的节目人数统计表 节目 人数（名） 百分比 最强大脑 5 10% 阅读者 15 B% 中国诗词大会 a 40% 出彩中国人 10 20% 根据以上提供的信息，解答下列问题 （1）x＝　 　，a＝　 　，b＝　 　； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生800名，根据抽样调查结果，估计该校喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名？ （4）李玲和王亮经过选拔代表班级参加校内即将举办的“中国诗词大会”，预赛分为A、B、C三组进行，由抽签确定分组．李玲和王亮恰好分在一组的概率是多少？（要求用画树状图或列表法） 22. 如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． （1）求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ （2）求建筑物高度为多少米？ （3）现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 23. 正方形中，点分别在上，，过作的垂线交的延长线于． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． （3）如图，建立如图所示的坐标系，点在坐标原点，分别在轴、轴上，，，点是的交点，求的坐标． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，经过、、三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上， 的半径为，设与轴交于，抛物线的顶点为． （1）求的值及抛物线的解析式； （2）若在抛物线第四象限上，求使四边形的面积最大时的点的坐标； （3）探究坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出点的位置，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模拟卷【北师大版】2024—2025学年秋季九年级上册数学期末考试模拟试卷 一、选择题 1. 如果分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 全体实数 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选A． 【点睛】本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 2. 在平面直角坐标系中，点位于哪个象限？（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点坐标为，则它位于第四象限， 故选D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 3. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A. 3x2﹣5x﹣2＝0 B. a2+2a+3＝0 C. m2﹣4m+4＝0 D. y2+4＝0 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式逐个判断即可． 【详解】A．∵△=(﹣5)2﹣4×3×(﹣2)=49＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意； B．∵△=22﹣4×1×3=﹣8＜0， ∴此方程没有实数根，故本选项不符合题意； C．∵△=(﹣4)2﹣4×1×4=0， ∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； D．∵△=02﹣4×1×4=﹣16＜0， ∴此方程没有实数根，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解答本题的关键． 4. 下列事件中，是必然事件的是( ) A. 购买一张彩票，中奖 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【详解】A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意； B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意； C．经过有交通信号灯路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件． 5. 如图，如图上的点A所表示的数为x，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，利用勾股定理求出点到的距离，即可确定出点表示的数．此题考查了实数与数轴，弄清点表示的数的意义是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 6. 若，，则等于（　　） A. 20 B. 15 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方法则的逆运算，解决本题的关键是要熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方法则的逆运算． 根据同底数幂除法法则逆应用可得，根据幂的乘方运算法则可得，然后代入求值． 【详解】因为， 且，， 所以． 故选A． 7. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，对每个选项进行筛选可得答案． 【详解】A、∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不符合题意； B、AB=CD，AO=CO不能证明四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵AD//BC，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°， 又∵∠BAD=∠BCD， ∴∠ABC=∠ADC， ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不符合题意， 故选B. 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形． 平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 8. 若关于x的不等式（a+2019）x＞a+2019的解为x＜1，则a的取值范围是（　　） A. a＞﹣2019 B. a＜﹣2019 C. a＞2019 D. a＜2019 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质3求解可得． 【详解】∵不等式（a+2019）x＞a+2019的解为x＜1， ∴a+2019＜0， 则a＜﹣2019， 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 9. 已知，⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行 【答案】A 【解析】 【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解． 【详解】∵x2﹣5x﹣6＝0 ∴x1＝﹣1，x2＝6 ∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根， ∴r＝6 ∵d＜r ∴直线l与⊙O的位置关系是相交 故选A． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 10. 如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作,垂足为C，根据题意可得OC=，因此可得,所以可得圆心角,进而计算的的长. 【详解】根据题意作,垂足为C 沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3 , 圆心角 = 故选C. 【点睛】本题主要考查圆弧的计算，关键在于确定圆心角. 11. 如图，在中，平分，按如下步骤作图： 第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、； 第二步，连接分别交、于点、； 第三步，连接、．若，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质．首先根据尺规作图可得知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到相等的角和边，根据角平分线的性质可证，利用ASA可证，根据全等三角形的性质可证四 边形是菱形，从而可证，利用相似三角形对应边成比例可以求出长度，再根据求出结果． 【详解】解：如下图所示， 由作图可知是的垂直平分线， ，，， 又平分， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ．   故选：A ． 12. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=与y轴交于点A，顶点为B，直线l：y=-x+b经过点A，与抛物线的对称轴交于点C，点P是对称轴上的一个动点，若AP+PC的值最小，则点P的坐标为（ ） A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，） 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点C作CD⊥y轴于D，作点A关于抛物线对称轴的对称点A’，连接AA’，CA’，过点A作AE⊥CA’交抛物线对称轴于点P，此时点A到A’C距离最小.可求得AP+PC= AP+PE，当A、P、E三点共线时AP+PC最小，故可求得结果. 【详解】如图，过点C作CD⊥y轴于D，作点A关于抛物线对称轴的对称点A’，连接AA’，CA’，过点A作AE⊥CA’交抛物线对称轴于点P，此时点A到A’C距离最小 ∵抛物线y= ∴A（0，5），A’（6，5） ∵直线l：y=-x+b ∴C（3，1），D（0，1） ∵∠ACP=∠ECP ∴Sin∠ECP=Sin∠ACP= ∴AP+PC=AP+Sin∠ECP·PC=AP+PE ∴当A、P、E三点共线时AP+PC最小 ∴∠A’AP=∠ECP=∠ACP ∴PF=AF·tan∠FAP= ∴P（3，） 故选B. 【点睛】本题考查了最小值问题等知识，记住对称轴公式，利用对称确定最小值是解决问题的关键 二、填空题 13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，现将点A向上平移3个单位，再向左平5个单位，得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，熟练掌握平移的特点是解题的关键；根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：将点A向上平移3个单位，再向左平5个单位，得到点， ，即， 故答案为：． 14. 如图，函数y＝ax－1图象过点(1，2)，则不等式ax－1＞2的解集是___． 【答案】x＞1. 【解析】 【详解】根据图象可知：y=ax－1＞2的x的范围是x＞1， 即不等式ax-1＞2的解集是x＞1. 15. 已知二次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点，则与x轴的另一个交点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，利用抛物线的对称性求解是解题的关键．利用抛物线的对称性即可求得抛物线与轴的另一个交点坐标． 【详解】解：点与关于直线对称， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 16. 若一次函数的图象与直线平行，且经过点，则一次函数的表达式为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式，再把点（1，2）的坐标代入解析式求解即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为y=kx+b  （k≠0 ）． ∵一次函数的图象与直线y=-3x平行， ∴k=-3， ∴y=-3x+b． 把（1，2）代入，得 ∴-3+b=2， ∴b=5， ∴y=-3x+5． 故答案为y=-3x+5． 【点睛】本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的k值相等设出一次函数解析式是解题的关键． 17. 如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________ ． 【答案】y= 【解析】 【分析】先设反比例函数解析式为y=(k≠0) ， 连接OA，根据△ABO和△ABP同底等高，可求出△ABO的面积，再利用反比例函数k的几何意义及反比例函数图象位于第二象限，即可确定k的值. 【详解】解：连接OA，如图所示 设反比例函数解析式为 y=(k≠0)， 由图知：S△AOB=S△ABP=|k|=8, ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴k＜0， ∴k=-16， ∴反比例函数解析式为： y=. 故答案为 y=. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数k的几何意义找出|k|=8是解题的关键． 18. 设α，β是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解等知识点，根据根与系数的关系可以求出，根据方程的解得出，将可化为，代入求值即可解答，利用两根之和与的计算与转化是解决问题的关键． 【详解】∵α，β是方程的两个实数根， ∴， ， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2024． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】2． 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】原式＝ ＝ ＝2． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20. 先化简，再求值：，其中. 【答案】；. 【解析】 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】解：原式 当时，原式 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序与运算法则． 21. 为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目）．并将调查结果绘制成如下统计图表： 学生最喜欢的节目人数统计表 节目 人数（名） 百分比 最强大脑 5 10% 阅读者 15 B% 中国诗词大会 a 40% 出彩中国人 10 20% 根据以上提供的信息，解答下列问题 （1）x＝　 　，a＝　 　，b＝　 　； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生800名，根据抽样调查结果，估计该校喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名？ （4）李玲和王亮经过选拔代表班级参加校内即将举办的“中国诗词大会”，预赛分为A、B、C三组进行，由抽签确定分组．李玲和王亮恰好分在一组的概率是多少？（要求用画树状图或列表法） 【答案】（1）50，20，30；（2）见解析；（3）估计该校喜爱《中国诗词大会》节目的学生有320人；（4）见解析，. 【解析】 【分析】（1）用喜爱《最强大脑》的人数除以它所占的百分比得到x的值，然后计算a和b的值； （2）补全条形统计图； （3）用800乘以样本中喜爱《中国诗词大会》人数的百分比即可； （4）画树状图展示所有9种等可能性情况，找出两个人在一个组的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）x＝5÷10%＝50（人）； a＝50×40%＝20； b%＝×100%＝30%，即b＝30； 故答案为50，20，30； （2）如图， （3）800×40%＝320， 所以估计该校喜爱《中国诗词大会》节目的学生有320人； （4）画树状图为： 共有9种等可能性情况，两个人在一个组的有3种可能， 所以李玲和王亮恰好分在一组的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 22. 如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． （1）求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ （2）求建筑物的高度为多少米？ （3）现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 【答案】（1）斜坡的端点F到水平地面的距离为米，斜坡的水平宽度为米 （2）米 （3）小明上坡时的车速为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由可得，再由直角三角形的性质和三角函数求解即可； （2）由可证，设米，根据得，即，再求解即可； （3）设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为，根据题意可列方程，再求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， 米， ∴斜坡的端点F到水平地面的距离为，斜坡的水平宽度为米． 【小问2详解】 解：由题意知： ， 在中，， ， ， 设米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 答：建筑物的高度为米； 【小问3详解】 解：设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴小明上坡时的车速为． 23. 正方形中，点分别在上，，过作的垂线交的延长线于． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． （3）如图，建立如图所示的坐标系，点在坐标原点，分别在轴、轴上，，，点是的交点，求的坐标． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（）由，推出，根据即可证明； （）证明，可得，可以得到的周长，据此即可求解； （）求出直线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可． 【小问1详解】 证明:∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长； 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴，，，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 由，解得， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的交点问题，掌握以上知识点是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，经过、、三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上， 的半径为，设与轴交于，抛物线的顶点为． （1）求的值及抛物线的解析式； （2）若在抛物线第四象限上，求使四边形的面积最大时的点的坐标； （3）探究坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出点的位置，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）在坐标轴上存在三个点，，，使得以、、为顶点的三角形与相似 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，利用勾股定理得出点坐标是解题关键；利用三角形的面积得出二次函数，正确运用二次函数的性质是解题关键；利用相似三角形的性质得出点坐标是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据勾股定理，可得的长，可得点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据面积的和差，可得，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据相似三角形的性质，可得点坐标． 【小问1详解】 解：如图1， ， 由题意可知， 在的垂直平分线上，即在二次函数的对称轴上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为（）， 过作轴于，连结，则， ∴根据勾股定理得，， 于是． 即， 同理过作轴于，连结，则， 根据勾股定理得，， 可求得， ∴， 得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 如图2， 设的解析式为 由， 得， 解得， ∴的解析式为， 过作垂直于轴的直线与交于点， 设，， ∴， ∵最大时，最大． ∴， ∴当时，， ∴，， 即； 【小问3详解】 当时，， 解得，， 即，， ∴， 即． 由勾股定理得， ， ， ①如图，过点作轴垂线，垂足是 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 又∵， ∴， 此时点， ②过A作交y正半轴于，如图3， 在与中，， ∴， 由①知， ∴，得， ，即， ， ， ， ③过作交正半轴于，如图4， 在与中，， ∴， 由①知， 由，得 ，即，． ， ∴， 故在坐标轴上存在三个点，，，使得以、、为顶点的三角形与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$