2024-2025学年苏科版数学八年级上册 期中复习冲刺(4-5)

2024 年初二数学期中考试复习冲刺练习(5) 第 5 练：勾股定理求线段长、共边双勾股与等差幂线 (羊式定理)、特殊角的直角三角形 一、勾股定理求线段长-勾股定理与面积法 1. 如图，在边长为 1 的正方形网格中，A、B、C 均在正方形格点上，则 C 点到AB 的距离为 ( ) ( 3 1 0 2 10 5 10 4 1 0 )A. B. C. D. ( 1 0 5 4 5 )二、勾股定理求线段长-设参处理 1. 在 ΔABC 中，∠C = 90° , AM、BN分别是BC、AC 上的中线．若AB = 2，则AM2 +BN2 的值为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 三、勾股定理与等腰三角形 - 直接设参，利用等腰和勾股定理 1. 如图，在 ΔABC 中，AD ⊥ BC 于点D，BD = 6，AD = 6，SΔABC = 42，求AC 的长. 四、勾股定理与等腰三角形 - 化斜为直，平方差公式转化线段的乘积 1. 如图，在 ΔABC 中，AB =AC， (1) 若P 是BC 边上的中点，连接AP，求证：BP ⋅ CP =AB2 -AP2； (2) 若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3) 若P 是BC 边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论？ 五、等腰三角形中的分类讨论 1. 如图，在RtΔABC 中，∠C = 90° , AB = 10cm，AC = 6cm，动点P 从点B 出发沿射线BC 以 2cm/s 的速度移动， 设运动的时间为 t 秒. (1) 求BC 边的长； (2) 当 ΔABP 为直角三角形时，求 t 的值； (3) 当 ΔABP 为等腰三角形时，求 t 的值. 期中考试复习冲刺 第1页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 六、“背靠背”异侧型共直角边双勾股与化斜为直 1. 如图，在 ΔABC 中，AB =BC = 10，AC = 2 10 ，AD ⊥ BC，垂足为D . (1) 求证：∠B = 2∠CAD . (2) 求BD 的长度； (3) 点P 是边BC 上一点，且点P 到边AB 和AC 的距离相等，求点P 到边AB 距离. 七、“母抱子”同侧型共直角边双勾股的构造 1. 如图，在RtΔABC 中，∠C = 90° , D 为 AC 上一点，∠ABD = 30° , AB = 5，BD = 2 3 ，则 AD = ，CD = . 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90° , AD 平分 ∠CAB，BE 平分 ∠ABC，AD，BE 相交于点 F，若 AF = 4，EF = 2 ，则AC = ( ) ( 8 10 )A. 1 B. 2 C. 5 D. 5 八、共点的等线段与双勾股 1. 如图，在笔直的铁路上 A，B 两点相距 20km，C、D 为两村庄，DA = 8km，CB = 14km，DA ⊥ AB 于点A，CB ⊥ AB 于B，现要在AB 上建一个中转站E，使得 C、D 两村到E 站的距离相等，求AE = km . 九、设双参数，利用等线段双勾股列方程 1. 如图，折叠矩形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边上的点F 处，AE 是折痕. (1) 如图 1，若AB = 4，AD = 5，求折痕AE 的长； (2) 如图 2，若AE =、5 ，且EC:FC = 3:4，求矩形ABCD 的周长. 期中考试复习冲刺 第2 页 共2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初二数学期中考试复习冲刺练习)4( 参考答案与解析 1. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹. )1( 如图，四边形ABCD 中，AD Ⅱ BC，7A = 7D，画出BC 边的垂直平分线n . 【解析】解：)1( 如图，直线m 即为所求 2. 如图，点A，B 在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图. )1( 将线段AB 绕A 逆时针旋转 90。得线段AC； )2( 画AB 的垂直平分线. 【解析】解：)1( 如图 1，线段AC 即为所求； )2( 如图 2，直线PQ 即为所求. 期中考试复习冲刺 第1页 共5页 3. 如图是由小正方形组成的 7 × 6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点. ΔABC 的三个顶点都是格点．仅用无 刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示. (1) 在图 1 中，先画AD 丄 AB，且AD = AB，再在AC 上画点E，使 上AEB = 上ABC； (2) 在图 2 中，先画格点F，使得AF Ⅱ BC，画出射线AF，再在射线AF 上画点P，使得BP = AC . 【解析】解：(1) 取格点D，连接AD，BD，BD 交AC 于E，如图： 则线段AD，点E 即为所求； 理由：由图可知 ΔABD 是等腰直角三角形， : AD 丄AB，AD = AB； ( 。 ): 上ABD = 上ACB = 45 ， “ 上BAE = 上CAB， : ΔABE 一 ΔACB ， : 上AEB = 上ABC； (2) 取格点F，作射线AF，取格点 T，K，连接KT 交AC 于 W，连接BW 并延长交射线 AF 于P，如图： 射线AF，点P 即为所求； 理由：由图可知BK = CK，T 为BC 的中点， : KT 是BC 的垂直平分线， : BW = CW， : 上WBC = 上WCB， “ AF Ⅱ BC， : 上WPA = 上WBC = 上WCB = 上WAP， : AW = PW， : AW + CW = BW + BW，即AC = BP . 4. 如图，在边长为 1 的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，ΔABC 的顶点都在格点 上. (1) 直接判断 ΔABC 的形状. (2) 画出 ΔABC 关于直线MN 的对称图形 △A1B1C1 . (3) 在直线MN上作一点P，使得PA + PB 最小， 【解析】解：(1)“ AC2 = 12 + 22 = 5，AB2 = 22 + 42 = 20，BC2 = 52 = 25， : AC2 + AB2 = BC2， : ΔABC 为直角三角形； (2) 如图，△A1B1C1 为所作； (3) 如图，点P 为所作. 期中考试复习冲刺 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 5. 图①、图②均是 4x4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C、D 均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹. 要求：(1) 在图①中的线段 CD 上找一点P，使AP + BP 的值最小. (2) 在图②中的线段 CD ．上找两点M、N，使MN = 1，且AM + NB 的值最小. 【解析】解：(1) 如图，点P 即为所求作. (2) 如图，点M，N 即为所求作. 6. 如图是由小正方形组成的 6 × 6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C 三点都是格点，仅用无刻度的直 尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示. (1) 在图 1 中，画出 ΔABC 的中线AM和高线BN； (2) 在图 2 中，点D 是AC 上的一个格点，在边AB 上取一点E，使得线段DE 平分 ΔABC 的面积； (3) 在图 3 中，点P 是线段AB 上的任意一点，在线段AC 上取一点 Q，使得AQ = AP . 【解析】解：(1) 如图 1，根据格点知识，AM，BN 即为 ΔABC 的中线和高线. 期中考试复习冲刺 第3页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 如图 2，在AB 上取BE = 交格线为E 点，连接DB 和DE， 由格点知识可知，SΔBCD = SΔABD，SΔBDE = SΔABD， 又 ∵ SΔADE = SΔABD， ∴ SΔBCD + SΔBDE = SΔADE， ∴ 线段DE 平分 ΔABC 的面积. (3) 取格点连接D，连接DP 交格线于点 O，连接BO 并延长交AD 于点 Q，如图 3， 由题意得：AO 垂直平分BD，AD = AB， ∴ OB = OD， ∵ AO = AO， ∴ ΔADO ≅ ΔABO(SSS)， ∴ ∠ADO = ∠ABO， ∵ ∠DOQ = ∠BOP，OB = OD， ∴ ΔDOQ ≅ ΔBOP(ASA)， ∴ DQ = BP， ∵ AD = AB， ∴ AQ = AP， ∴ 点 Q 即为所求的点. 7. 如图是由边长为 1 的小正方形构成的 7 × 7 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ΔABC 的顶点在格点上，仅用 无刻度直尺在网格中完成下列作图. (1) 在图 1 中，作 ΔABC 的中线AQ； (2) 在图 1 中，在AC 上画一点D，使 ∠ABD = 45° ; (3) 已知P 是边AB 上任意一点， ①在图 2 中，M为格点，在AC 上画一点E，使PE + ME 最小； ②在图 3 中，在BC 上画一点F，使PF⎳ AC . 【解析】解：(1) 如图 1 中，线段AQ 即为所求； (2) 如图 2 中，点D 即为所求； (3) ①如图 2 中，点E 即为所求； ②如图 3 中，点F 即为所求. 8. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，ΔABC 的顶点均在小正方形的格点上，只用不带刻度 的直尺，按下列要求画图 (不写作法，保留作图痕迹) . (1) 以B，C 为斜边，作等腰RtΔBCD； (2) 作出 ΔABC 的角平分线 CE . 期中考试复习冲刺 第4页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：(1) 如图，RtΔBCD 即为所求； (2) 如图，线段 CE 即为所求. 期中考试复习冲刺 第5 页 共5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初二数学期中考试复习冲刺练习(4) 第 4 练：网格作图 (轴对称、将军引马、对称轴的构造) 一、利用等腰三角形的对称性作线段的垂直平分线 1. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹. (1) 如图，四边形ABCD 中，AD ⎳ BC，∠A = ∠D，画出BC 边的垂直平分线n . 二、构造等腰直角三角形或者正方形，作线段的垂直平分线 2. 如图，点A，B 在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图. (1) 将线段AB 绕A 逆时针旋转 90° 得线段AC； (2) 画AB 的垂直平分线. 三、作对称图形，构造等线段 3. 如图是由小正方形组成的 7 × 6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点. ΔABC 的三个顶点都是格点．仅用无 刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示. (1) 在图 1 中，先画AD ⊥ AB，且AD = AB，再在AC 上画点E，使 ∠AEB = ∠ABC； (2) 在图 2 中，先画格点F，使得AF ⎳ BC，画出射线AF，再在射线AF 上画点P，使得BP = AC . 期中考试复习冲刺 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 四、将军饮马，转化折线段为“两点之间，线段最短 4. 如图，在边长为 1 的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，ΔABC 的顶点都在格点 上. (1) 直接判断 ΔABC 的形状. (2) 画出 ΔABC 关于直线MN 的对称图形 △A1B1C1 . (3) 在直线MN上作一点P，使得PA + PB 最小， 五、整体平移法与建桥选址 5. 图①、图②均是 4x4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C、D 均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹. 要求：(1) 在图①中的线段 CD 上找一点P，使AP + BP 的值最小. (2) 在图②中的线段 CD ．上找两点M、N，使MN = 1，且AM + NB 的值最小. 六、作等线段--利用对称轴作等线段 6. 如图是由小正方形组成的 6 × 6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C 三点都是格点，仅用无刻度的直 尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示. (1) 在图 1 中，画出 ΔABC 的中线AM和高线BN； (2) 在图 2 中，点D 是AC 上的一个格点，在边AB 上取一点E，使得线段DE 平分 ΔABC 的面积； (3) 在图 3 中，点P 是线段AB 上的任意一点，在线段AC 上取一点 Q，使得AQ = AP . 期中考试复习冲刺 第2页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 七、将军饮马--寻找对称轴 7. 如图是由边长为 1 的小正方形构成的 7 × 7 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ΔABC 的顶点在格点上，仅用 无刻度直尺在网格中完成下列作图. (1) 在图 1 中，作 ΔABC 的中线AQ； (2) 在图 1 中，在AC 上画一点D，使 ∠ABD = 45° ; (3) 已知P 是边AB 上任意一点， ①在图 2 中，M为格点，在AC 上画一点E，使PE + ME 最小； ②在图 3 中，在BC 上画一点F，使PF⎳ AC . 八、作角平分线--利用三线合一及内心性质 8. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，ΔABC 的顶点均在小正方形的格点上，只用不带刻度 的直尺，按下列要求画图 (不写作法，保留作图痕迹) . (1) 以B，C 为斜边，作等腰RtΔBCD； (2) 作出 ΔABC 的角平分线 CE . 期中考试复习冲刺 第3页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初二数学期中考试复习冲刺练习(5) 参考答案与解析 1. 如图，在边长为 1 的正方形网格中，A、B、C 均在正方形格点上，则 C 点到AB 的距离为 ( ) A. B. C. D. 【解析】解：如图，连接 AC、BC， ∵ SΔABC = 3 × 3 - × 3 × 1 - × 3 × 1 - × 2 × 2 = 4， ∴ AB = 32 +12 = 、10 ， 设 C 点到AB 的距离为h， 故选：D . 2. 在 ΔABC 中，∠C = 90° , AM、BN分别是BC、AC 上的中线．若AB = 2，则AM2 + BN2 的值为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【解析】解：设AN = CN = x，CM = BM = y， ∵ ΔACM 与 ΔBCN是直角三角形， ( 4 x 2 + y 2 = AM 2 ， )∴ {(x2 +4y2 =BN2 ∴ AM2 + BN2 = 5x2 + 5y2， ∵ AC2 + BC2 = AB2， ∴ 4x2 + 4y2 = 4， ∴ x2 + y2 = 1， ∴ AM2 + BN2 = 5 . 故选：B . 3. 如图，在 ΔABC 中，AD ⊥ BC 于点D，BD = 6，AD = 6，SΔABC = 42，求AC 的长. 【解析】解：∵ AD ⊥BC， ∴ ∠ADC = 90° , SΔABC = BC × AD = × BC × 6 = 42，解得：BC = 14， ∴ CD = BC - BD = 14 - 6 = 8， ∴ AC = AD2 +CD2 = 62 +82 = 10 . 期中考试复习冲刺 第1页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 4. 如图，在 ΔABC 中，AB =AC， (1) 若P 是BC 边上的中点，连接AP，求证：BP ⋅ CP =AB2 -AP2； (2) 若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3) 若P 是BC 边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论？ 【解析】解：(1) 在RTΔABP 中，AB2 =AP2 +BP2，AB2 -AP2 =BP2 =BP ⋅ CP； (2) 如图所示： 过A 作AM ⊥ BC 于M，AB2 =AM2 +BM2，AP2 =AM2 +MP2， 则AB2 -AP2 =BM2 -MP2 = (BM +MP) (BM-MP) = CP(CM-MP) =BP ⋅ CP； (3) 如图所示： 过A 作AM ⊥ BC 于M，AB2 =AM2 +BM2，AP2 =AM2 +MP2 AP2 -AB2 =MP2 -BM2 = (MP +BM) (MP -BM) =BP(MP - CM) =BP ⋅ CP， ∴ AP2 -AB2 =BP ⋅ CP . 5. 如图，在RtΔABC 中，∠C = 90° , AB = 10cm，AC = 6cm，动点P 从点B 出发沿射线BC 以 2cm/s 的速度移动， 设运动的时间为 t 秒. (1) 求BC 边的长； (2) 当 ΔABP 为直角三角形时，求 t 的值； (3) 当 ΔABP 为等腰三角形时，求 t 的值. 【解析】解：(1) 在RtΔABC 中，BC2 =AB2 -AC2 = 102 - 62 = 64， ∴ BC = 8(cm)； (2) 由题意知BP = 2tcm， ①当 ∠APB 为直角时，点P 与点 C 重合，BP =BC = 8cm，即 t = 4； ②当 ∠BAP 为直角时，BP = 2tcm，CP = (2t - 8)cm，AC = 6cm， 在RtΔACP 中，AP2 = 62 + (2t - 8)2， 在RtΔBAP 中，AB2 +AP2 =BP2， 即：102 + [62 + (2t - 8)2 ] = (2t)2， 解得：t = ， 故当 ΔABP 为直角三角形时，t = 4 或t = 4 (25) ； (3) ①当AB =BP 时，t = 5； ②当AB =AP 时，BP = 2BC = 16cm，t = 8； ③当BP =AP 时，AP =BP = 2tcm，CP = |2t - 8|cm，AC = 6cm， 在RtΔACP 中，AP2 =AC2 + CP2， 期中考试复习冲刺 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 所以 (2t)2 = 62 + (2t - 8)2，解得：t = ， 综上所述：当 ΔABP 为等腰三角形时，t = 5 或 t = 8 或t = . 6. 如图，在 ΔABC 中，AB =BC = 10，AC = 2、10 ，AD ⊥ BC，垂足为D . (1) 求证：∠B = 2∠CAD . (2) 求BD 的长度； (3) 点P 是边BC 上一点，且点P 到边AB 和AC 的距离相等，求点P 到边AB 距离. 【解析】(1) 证明：∵ AB =AC， ∴ ∠BAC = ∠C， ∵ ∠BAC + ∠C + ∠B = 180° , ∴ ∠B + 2∠C = 180° , ∵ AD ⊥BC， ∴ ∠CAD + ∠C = 90° , ∴ 2∠C + 2∠CAD = 180° , ∴ ∠B = 2∠CAD， (2) 解：设 CD = x(x > 0)， 在RtΔABD 和RtΔACD 中， ∵ AB2 -BD2 =AC2 -DC2 =AD2， ∴ 102 - (10 -x)2 = (2 10)2 -x2 ， ∴ x = 2， ∴ BD =BC - CD = 10 - 2 = 8； (3) 解：作PM ⊥ AB 于M，PN ⊥ AC 于N，且PM =PN，连接AP， 在RtΔABD 中，AD =、AB2 -BD2 = 102 -82 = 6 ， ∵ ΔABC 的面积 = ΔPAB 的面积 +ΔPAC 的面积， ∴ BC ⋅ AD = AB ⋅ PM + AC ⋅ PN， ∴ 10 × 6 = (10 + 2、10 )PM， ∴ PM = 10 - 2 10 ， ∴ P 到AB 的距离是 10 - 2、10 . 7. 如图，在 RtΔABC 中，∠C = 90° , D 为 AC 上一点，∠ABD = 30° , AB = 5，BD = 2、3 ，则 AD = 、7 ，CD = . 【解析】解：如图，过点D 作DE ⊥ AB 于点E， 则 ∠DEB = ∠DEA = 90° , ∵ ∠ABD = 30° , 1 1 ∴ DE = BD = × 2 3 = 3 ， 2 2 ∴ BE = BD2 -DE2 = (2 3 )2 -( 3 )2 = 3， ∴ AE =AB -BE = 5 - 3 = 2， ( ) 2 + 2 2 )∴ AD = DE2 +AE2 = ( 3 = 7 ， 设 CD = x，BC =y，则AC = x + 7 ， 期中考试复习冲刺 第3页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 在RtΔABC 和RtΔDBC 中，由勾股定理得：(x + 、7 )2 + y2 = 52 ①, x2 + y2 = (2、3 )2 ②, ① - ②得：2、7 x = 6， 即 ( 7 . )故答案为： 7 ，3 7 8. 如图，在 Rt△ABC 中，上C = 90。，AD 平分 上CAB，BE 平分 上ABC，AD，BE 相交于点 F，若 AF = 4，EF = 期中考试复习冲刺 第4页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 、2 ，则AC = A. 1 B. 2 C. 5 【解析】解：如图，过点E 作EG 丄 AD 于 G，连接 CF， “ AD，BE 是分别是 上BAC 和 上ABC 的平分线， : 上CAD = 上BAD，上CBE = 上ABE， “ 上ACB = 90。， : 2(上BAD + 上ABE) = 90。， ( 。 ): 上BAD + 上ABE = 45 ， ( 。 ): 上EFG = 上BAD + 上ABE = 45 ， 在Rt△EFG 中，EF = 2 ， : FG = EG = 1， “ AF = 4， : AG = AF - FG = 3， 根据勾股定理，得 AE = AG2 +EG2 = 10 ， “ AD 平分 上CAB，BE 平分 上ABC， : CF 是 上ACB 的平分线， : 上ACF = 45。= 上AFE， “ 上CAF = 上FAE， : △AEF 一 △AFC， AE AF : = ， AF AC AF2 16 8 10 ( AE 10 5 ， ): AC = = = 故选：D . ( ) 8 10 D. 5 9. 如图，在笔直的铁路上 A，B 两点相距 20km，C、D 为两村庄，DA = 8km，CB = 14km，DA ⊥ AB 于点A，CB ⊥ AB 于B，现要在AB 上建一个中转站E，使得 C、D 两村到E 站的距离相等，求AE = 13.3 km . 【解析】解：设AE = xkm，则EB= (20 -x)km， ∵ DA ⊥ AB，CB ⊥AB，DA = 8km，CB = 14km， ∴ DE2 = x2 + 82 = x2 + 64，DE2 = (20 -x)2 + 142 = x2 - 40x + 596， ∵ C、D 两村到E 站的距离相等， ∴ x2 - 40x + 596 = x2 + 64， 解得：x = 13.3， 故答案为：13.3 . 10. 如图，折叠矩形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边上的点F 处，AE 是折痕. (1) 如图 1，若AB = 4，AD = 5，求折痕AE 的长； (2) 如图 2，若AE = 、5 ，且EC:FC = 3:4，求矩形ABCD 的周长. 【解析】解：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠ABC = 90° , AB = CD = 4，AD = BC = 5， 由折叠可知，AD = AF = 5，DE = EF， ∴ BF = AF2 -AB2 = 、52 -42 = 3 ， ∴ FC = BC - BF = 5 - 3 = 2， 设EF = DE = x，则 CE = 4 -x， ∵ CF2 + CE2 = EF2， ∴ 22 + (4 -x)2 = x2 ， 解得：x = ， 5 ( 2 ， )∴ DE = ∴ AE = AD2 +DE2 = 52 + 2 = ； (2) ∵ EC:FC = 3:4， ∴ 设EC = 3x，则FC = 4x， ∴ EF = CF2 +CE2 = 5x， ∴ DE = 5x， ∴ AB = CD = 8x， 设AF = AD = y，则BF = y - 4x，在RtΔABF 中，AB2 + BF2 = AF2， ∴ (8x)2 + (y - 4x)2 = y2， 解得 y = 10x， 期中考试复习冲刺 第5页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 在RtΔADE 中，AD2 + DE2 = AE2， ∴ (10x)2 + (5x)2 = (、5 )2， 解得 x = 或 x =- ， ∴ AD = 10x = 2，AB = 8x = ， ∴ 矩形ABCD 的周长为 ( × 2 = 期中考试复习冲刺 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$