3.1.1椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线； 当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆． 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？  椭圆    双曲线 抛物线 相交直线 圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 高二数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 学习目标 1.掌握椭圆的定义及其标准方程； 2. 通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合的思想； 3.了解椭圆的简单应用. 4.核心素养：数学抽象、数学运算. 1 什么是圆？ 2 取一条定长的细绳，把它的两端固定在平面内的同一点F上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？ 3 若将细绳两端分开，并且固定在平面内的F1，F2两点.当长绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖（M）把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？ 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. F1 F2 M 观察做图过程： [1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。 [2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。 数学实验 注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内; （2）两个定点---两点间距离确定;(常记作2c) （3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作2a, 且2a>2c) 1 .椭圆定义： 平面内与两个定点　　的距离和等于常数（大于 ）的点M的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 二.讲授新课： 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的 椭圆较扁（　　线段）;两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（　　圆）.由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关． 若2a=F1F2轨迹是什么呢？ 若2a<F1F2轨迹是什么呢？ 轨迹是一条线段 轨迹不存在 M |MF1| + |MF2| = 2a常数且2a>2c 动图 ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 2.求椭圆的方程： 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”) 解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1 (c,0)、F2 (c,0) . x F1 F2 M 0 y （问题：下面怎样化简？） 由椭圆的定义得，限制条件： 代入坐标 设M(x, y)是椭圆上任意一点， 由椭圆定义可知 整理得 两边再平方，得 移项， 再平方 两边除以 得 叫做椭圆的标准方程。 它所表示中心在坐标原点焦点在x轴上的 椭圆方程 ，焦点是 ， c a 1 2 y o F F M x b M a c 其中 如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢? 合作探究 如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）如图所示,焦点则变成 只要将方程中 的 调换，即可得 . 也是椭圆的标准方程。 1 o F y x 2 F M 总体印象：对称、简洁。 焦点在y轴： 焦点在x轴： 3.椭圆的标准方程: 1 o F y x 2 F M 1 2 y o F F M x 图 形 方 程 焦 点 a,b,c之间的关系 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) 定 义 1 o F y x 2 F M 注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大. 练习1.下列方程哪些表示椭圆？ ? 判定下列椭圆的焦点在哪个轴？并指明a2、b2、 c2，写出焦点坐标. 答：焦点在 x 轴；（-3，0）和（3，0） 答：焦点在 y 轴；（0，-5）和（0，5） 答：焦点在y 轴；（0，-1）和（0，1） 练习2 课本P109 14 课本P115 习题2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点为F1(0,－4)，F2(0,4),且a=5； (2)a+c=10,a-c=4 课本P115 例1 解1: (定义法) 解2: (待定系数法) (3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”， a, b, c 满足的关系有： 根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值. 用定义寻找a, b, c的方程； (1) 定义法： (2) 待定系数法： 待定系数法更为常用，是解此类问题的通法. 即求 a, b 的大小 . 即确定焦点的位置； 再定“量”， 求椭圆标准方程的主要方法有： 焦点 x轴上时，设椭圆： 22 巩固：求经过两点 (3,),(,-2)的椭圆方程. 类比归纳： 确定一个椭圆，需要几个点？ 两个 (1) (2) 待定系数法求椭圆的方程，用 更简单 23 5.求满足过点 ，且与椭圆 有相同焦点的椭圆的标准方程. 焦点在 y 轴上，且 c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为 （ a ＞ b ＞0）. 因为 c2＝16，且 c2＝ a2－ b2，故 a2－ b2＝16. ① 过点 ，所以 ② 由①②得 b2＝4， a2＝20， 所以椭圆的标准方程为 课本P109 y O F1 F2 x A B (1)由题意 故△AF1B的周长为： (2) 如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化. 仍然成立. 解： • • ∴△AF1B的周长为： 1.已知椭圆的方程为： 则a= b= , c= , 焦点坐标为： ， 焦距等于 ； 若C点到F1的距离为4，则C点到F2的距离为 ； 若CD过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为 . 5 4 3 7. O x y P F1 F2 解: 5.椭圆中焦点三角形的性质或焦点弦三角形的性质 x F1 F2 P 0 y =2a+2c [b,a] [a-c,a+c] （5） （6） G H x F1 F2 P 0 y x F1 F2 P 0 y 5.椭圆中焦点三角形的性质或焦点弦三角形的性质 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹 标准方程 不 同 点 相 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 x y F1 F2 P O x y F1 F2 P O 6.课堂小结 当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆; 当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,轨迹不存在. |MF1|+|MF2|=2a 三、回顾小结： 求椭圆标准方程的方法 一种方法： 二类方程: 三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识 法一：由椭圆的定义知 2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：因为所求椭圆过点(4,3)，又b2＝a2－c2＝a2－4 所以有＋＝1，＋＝1 可解得a2＝36，b2＝32. 椭圆的标准方程为＋＝1. (3)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4 ,3) 因为焦点在y轴上，设方程为：＋＝1(a＞b＞0)． 由已知得 焦点y轴上时，设椭圆：＋＝1(a＞b＞0)． 由已知得与a＞b＞0矛盾，舍去． 综上，椭圆的标准方程为＋＝1. (4)经过两点(2，－)， 所求椭圆为：＋＝1. 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. $$