24.3正多边形和圆同步练习 2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版2024-2025学年九年级数学上册24.3正多边形和圆 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．边长为2的正六边形的半径是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．已知正六边形的边心距是，则正六边形的边长是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法： （1）直角三角形的两边长分别为3和4，则三角形的外接圆直径是5； （2）点A、B、C在⊙O上，∠BOC=100°，则∠A=50°或130°； （3）各角都相等的圆的内接多边形是正多边形； （4）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=3，则OC长度为整数值的个数是4个．其中正确结论的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．将边长为３cm的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连结这个正六边形的各边中点，又形成一个新正六边形，则这个新正六边形的面积等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有 个． 7．半径为3的圆内接正方形的边心距等于 ． 8．如图，正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中，以中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为4cm，则点A的坐标为 ，点E的坐标为 ． 三、解答题 9．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 10．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC； （2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A B A B B 1．A 【分析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，继而求得结论． 【详解】解：如图，连接OB，OC， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=×360°=60°， ∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OB=OC=2， ∴它的半径为2， 故选：A 【点睛】本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质等知识．注意掌握数形结合思想的应用 2．B 【详解】试题分析：∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切， ∴S阴影=S正方形﹣S圆=1﹣0.25π≈0.215． 故选B． 考点：估算无理数的大小． 3．A 【分析】如图所示：正六边形ABCDEF中，OM为边心距，OM=，连接OA、OB，然后求出正六边形的中心角，证出△OAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质和锐角三角函数即可求出结论． 【详解】解：如图所示：正六边形ABCDEF中，OM为边心距，OM=，连接OA、OB 正六边形的中心角∠AOB=360°÷6=60° ∴△OAB为等边三角形 ∴∠AOM=∠AOB=30°，OA=AB 在Rt△OAM中，OA= 即正六边形的边长是． 故选A． 【点睛】此题考查的是根据正六边形的边心距求边长，掌握中心角的定义、等边三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键． 4．B 【详解】试题分析：根据勾股定理可由两直角边为3、4，求得斜边为5，然后根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得外接圆的直径为5，故（1）正确； 如图，由题意可根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求的∠A=50°，或130°，故（2）正确； 根据各角都相等，各边也都相等的多边形叫正多边形，故（3）不正确； 如图1，可根据圆周角定理可求得AC=BC=AB=2； 如图2，由已知∠AOB=120°，∠ACB=60°，可得∠AOB+∠ACB=180°，因此四个点A、O、B、C共圆．设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．连接OM、AM、AB、MB． 由∠ACB=60°，可知∠AMB=2∠ACB=120°．再由AO=BO=2，知∠AMO=∠BMO=60°．然后由MA=MO，证得△AMO是等边三角形，根据等边三角形的性质知MA=AO=2，因此根据圆的弦长可知MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，所以可求得OC=3或4．因此有3个值，故（4）不正确. 故选B 考点：垂径定理、等边三角形的判定与性质 5．B 【详解】 则AL= 因为 ,则DF= 因为M,N 分别是EF,ED的中点，则MN= 则正六边形JKLMNO的面积= 故选B. 【方法点睛】根据大正三角形的边长，得高线AL的长度，根据相似比得出DF= ；根据中位线，计算MN的长度为，则最小的正六边形的面积为=. 6．6 【分析】六边形ABCDEF是正六边形，对角线的交点是正六边形的中心，也是圆心，可以得出，是等边三角形，利用对边相等可知四边形是平行四边形，其他四边形同理可得． 【详解】如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线,交于点， 是等边三角形． 所以四边形是平行四边形，同理：四边形,四边形,四边形,四边形,四边形都是平行四边形，共6个． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了正六边形和圆，等边三角形，平行四边形的判定,通过一一枚举出答案是解题关键． 7． 【详解】试题分析：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠OBE=45°；而OE⊥BC， ∴BE=CE； ∵OB=3， ∴sin45°=， ∴OE=， 考点：圆内接正方形的性质及应用 8． （-4，0） （2，） 【分析】根据图形特点求出A点坐标，然后连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交y轴于G，那么∠GOE＝30°；在Rt△GOE中，则GE＝2，OG＝，故可得出E的坐标． 【详解】解：∵正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中，以中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为4cm， ∴AO=4cm ∴A（-4，0） 连接OE，由正六边形是轴对称图形知： 在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝4． ∴GE＝=2，OG＝． ∴E（2，）． 故答案为：（-4，0）；（2，）． 【点睛】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识． 9．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 10．（1）证明见解析    （2）证明见解析 【分析】(1)延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠BCE=∠ACP，BC=AC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC； (2)过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB． 【详解】证明：(1)延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1， ∵A、B、P、C四点共圆， ∴∠BAC+∠BPC＝180°， ∵∠BPC+∠EPC＝180°， ∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC， ∴△PCE是等边三角形， ∴CE＝PC，∠E＝60°； 又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP， ∴∠BCE＝∠ACP， ∵△ABC、△ECP为等边三角形， ∴CE＝PC，AC＝BC， 在△BEC和△APC中， ∴△BEC≌△APC（SAS）， ∴PA＝BE＝PB+PC； (2)过点B作BE⊥PB交PA于E，如图2， ∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90° ∴∠1＝∠3， ∴∠APB＝45°， ∴BP＝BE， ∴PE＝PB， 在△ABE和△CBP中， ∴△ABE≌△CBP（SAS）， ∴PC＝AE， ∴PA＝AE+PE＝PC+PB. 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质和判定方法以及正方形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质和全等三角形的判定方法才能灵活运用解决综合性的习题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$