24.3 正多边形和圆 课件 2022--2023学年人教版九年级数学上册

24.3　正多边形和圆 1. 了解正多边形和圆的有关概念. 2. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 3. 会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 学 习 目 标 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.利用正多边形，可以得到许多美丽的图案.你能找出下面各个图形中用到的正多边形吗？ 新 课 导 入 问题1 什么叫做正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等； 菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 合 作 探 究 探 究 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 接下来，以圆内接正五边形为例证明. 合 作 探 究 把⊙O 分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. · A O E D C B 五边形 ABCDE 是正五边形吗？简单说说理由. 解：∵AB=BC=CD=DE=EA，∴AB=BC=CD=DE=EA，BCE=3AB=CDA， ∴∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D= ∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O 上， ∴五边形 ABCDE 是⊙O的内接正五边形. 合 作 探 究 把圆分成n(n ≥ 3)等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n 边形，这个圆就是这个正n 边形的外接圆. 圆的内接正 n 边形 合 作 探 究 O A B C D E F G H R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 正多边形每一边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角. 正 n 边形的每个中心角都等于 . 归 纳 合 作 探 究 所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 合 作 探 究 例1 如图，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线交⊙ O 于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. 分析：紧扣正多边形的定义，结合同圆中弦、弧、圆心角的关系证明. 典 例 精 析 证明：∵三角形AOB 是正三角形， ∴ ∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60 °，OB=OA. ∴点B 在⊙ O 上.∵ FC∥AB， ∴∠FOA=∠OAB=60°，∠COB=∠OBA=60°. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF= ∠ FOA=60° .∴AB = BC = CD = DE = EF = FA . ∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 典 例 精 析 证明一个多边形是圆内接正多边形 1.利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边相等； 2. 证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个多边形的各顶点等分这个圆. 方 法 归 纳 典 例 精 析 例2 有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 ( 结果保留小数点后一位). C D O E F A B 典 例 精 析 解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角为60°，△OBC是等边三角形，正六边形的边长等于它的半径. C D O E F A P B 因此，亭子地基的周长l=6×4=24(m). 作OP⊥BC，垂足为P. 在Rt△OPC中，OC=4m，PC=2m，利用勾股定理，得边心距 亭子地基的面积 典 例 精 析 1.连半径，得中心角； O A B C D E F R M r · 圆内接正多边形的辅助线 2.作边心距，构造直角三角形. O 边心距r 边长一半 半径R C M 中心角一半 典 例 精 析 常见的正多边形的边长与半径的关系： 1. 正六边形的边长等于其外接圆半径. 2. 正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍. 3. 正方形的边长等于其外接圆半径的 倍. 特别提醒 典 例 精 析 思 考 正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？ 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 合 作 探 究 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 正多边 形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 n 60° 120° 120° 90° 90° 90° 120° 60° 60° 正多边形的外角=中心角 归 纳 合 作 探 究 实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角星等，这些问题都