北京市第八十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

北京市第八十中学2024~2025学年第一学期期中考试 高（二）数学 2024年10月 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆：与圆：的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 3. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 0 D. 6. 已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 8. 设，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知，，且，则_________ 12. 方程表示一个圆，则m的取值范围是 ． 13. 双曲线的离心率为______，渐近线方程为____________． 14. 已知椭圆，则此椭圆的焦距长为__________；设为的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则__________. 15. 已知实数a，b满足，则的最小值为___________. 16. 如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中. 已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的育区中的时长约为________秒（精确到0.1） 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 18. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． （1）求圆C的标准方程； （2）求直线l所过的定点； （3）当的面积最大时，求直线l的方程． 19. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点.点M在上. （1）求证：平面； （2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定. 求直线与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 条件①： 条件②： 条件③：平面 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知和为椭圆上的两点. （1）求椭圆C的方程和离心率； （2）设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 21. 设有限集合，对于集合，给出两个性质： ①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集； ②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集. （1）若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论） （2）若，且集合A为的封闭子集，求的最小值； （3）若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值. 北京市第八十中学2024~2025学年第一学期期中考试 高（二）数学 2024年10月 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. 8 ②. 8 【15题答案】 【答案】5 【16题答案】 【答案】4.4 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【17题答案】 【答案】（1） 连接，交于点， 由底面是正方形，可知为的中点， 又是的中点，是的中位线， ， 又平面，平面， 平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 【19题答案】 【答案】（1） 证明：∵是正方体， ∴平面，，即， ∵， ∴平面， 又点M在上，所以平面； （2）直线与平面所成角为；点E到平面的距离为 【20题答案】 【答案】（1），； （2） 【21题答案】 【答案】（1）A为的封闭子集，B为E的开放子集 （2）9 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $