3.2导数与函数的单调性课件-2025届高三数学一轮专题复习

第三章　一元函数的导数及其应用 第2节　导数与函数的单调性 1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 目 录 CONTENTS 知识诊断自测 01 考点聚焦突破 02 课时分层精练 03 3 知识诊断自测 1 ZHISHIZHENDUANZICE 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上__________ f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上__________ f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是__________ 单调递增 单调递减 常数函数 5 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的________； 第2步，求出导函数f′(x)的______； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 定义域 零点 6 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解. 常用结论与微点提醒 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(　　) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　) × √ × √ 解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0. 2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A.f(b)＞f(c)＞f(d) B.f(b)＞f(a)＞f(e) C.f(c)＞f(b)＞f(a) D.f(c)＞f(d)＞f(e) CD 解析　由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0， 所以函数f(x)在(－∞，c)上单调递增， 因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a). 当x∈(c，e)时，f′(x)＜0， 所以函数f(x)在(c，e)上单调递减， 因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e). 3.(选修二P97T2改编)函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是   ______________________. 解析　由f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)＞0， 4.(选修二P89练习T2改编)若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是___________. [－3，0] 解析　f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立， 所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0. 考点聚焦突破 2 KAODIANJUJIAOTUPO 考点一　不含参函数的单调性 例1 (1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x B 对于B，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意； (1，＋∞) φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0， ∴当x∈(0，1)时，φ(x)＞0， 当x∈(1，＋∞)时，φ(x)＜0， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 感悟提升 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. D (2)已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________________. 解析　f′(x)＝1－2sin x，x∈[0，π]， 考点二　含参函数的单调性 由f′(x)<0，得0<x<1，由f′(x)>0，得x>1， 此时函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)； 感悟提升 若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 训练2 (2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性. 解　由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a， 对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a). 令f′(x)>0，则x<x1或x>x2； 令f′(x)<0，则x1<x<x2. 所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减. 考点三　函数单调性的应用 (2，＋∞) 解析　因为f(x)＝(x2－mx＋2)ex， 所以f′(x)＝(2x－m)ex＋(x2－mx＋2)ex＝[x2＋(2－m)x＋2－m]ex， 当且仅当x＋1＝1，即x＝0时取等号，所以m>2. (2)(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是___________. 解析　由题意得当x＞0时， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故只需满足g(0)≥0，即ln a＋ln(1＋a)＝ln(a＋a2)≥0， D 解析　由题意，得f′(x)＝3－2sin x. 因为－1≤sin x≤1， 所以f′(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数. B 解析　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞). 感悟提升 1.根据函数单调性求参数的方法： (1)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集. (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). 2.利用导数比较大小或解不等式，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小或解不等式. A C 所以f′(x)≤0，所以f(x)在R上单调递减， 又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数， 所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0⇒f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)， 课时分层精练 3 KESHIFENCENGJINGLIAN 1.函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 A 解析　∵f(x)＝2x－sin x， ∴f′(x)＝2－cos x>0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数. D 3.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) D 解析　f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的单调递增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的单调递减区间，验证只有D符合. D 解析　当x≥0时，f′(x)＝ex＋cos x， 因为ex≥1，cos x∈[－1，1]， 所以当x≥0时，f′(x)＝ex＋cos x≥0恒成立， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 又f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(－π)＝f(π)＝eπ， B A 7.已知a∈R，则“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 8.函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为______________________，单调递减区间为__________. (－∞，0)，(ln 2，＋∞) (0，ln 2) 解析　f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln 2， 当x∈(－∞，0)∪(ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0， 当x∈(0，ln 2)时，f′(x)＜0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2). －2 解析　f′(x)＝x2＋2mx＋n， 由f(x)的单调递减区间是(－3，1)， 得f′(x)＜0的解集为(－3，1)， 则－3，1是f′(x)＝0的解， ∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3， 可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2. (2)函数f(x)的单调区间. 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减. 由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0， 所以f′(x)>0； 当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0. 综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞). 解　由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)， ①若a≥0，则当0<x<3时，f′(x)>0， 当x>3时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减； ②若－3<a<0，由f′(x)<0，得0<x<－a或x>3，由f′(x)>0，得－a<x<3， ∴f(x)在(0，－a)，(3，＋∞)上单调递减，在(－a，3)上单调递增； ③若a＝－3，则f′(x)≤0恒成立， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ④若a<－3，由f′(x)<0， 得0<x<3或x>－a， 由f′(x)>0，得3<x<－a， ∴f(x)在(0，3)，(－a，＋∞)上单调递减，在(3，－a)上单调递增. 13.(2024·北京顺义区模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋1)－x，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A.(1，＋∞) B.(0，＋∞) C.(0，1) D.(－1，0)∪(1，＋∞) C 故此时f(x)＝log2(x＋1)－x趋近于－∞， 又f(0)＝0，f(1)＝log22－1＝0， 所以可作出函数f(x)＝log2(x＋1)－x的大致图象如图， 由图可知不等式f(x)>0的解集是(0，1). D ∴y＝x－1－ln x在(1，＋∞)上单调递增， ∴x－1－ln x>0， ∴ln x<x－1，x∈(1，＋∞)， ∴0<ln x<x－1， 又f(ln x)<f(x－1)在(1，＋∞)上恒成立， ∴需要f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴f′(x)＝(a2－1)ex－1－x≥0对∀x∈(1，＋∞)恒成立， (3，＋∞) 16.已知函数f(x)＝aln x－ax－3. (1)求f(x)的单调区间； 当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)， 单调递减区间为(1，＋∞)； 当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1)； 当a＝0时，f(x)为常数函数，无单调区间. ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在区间(t，3)上不是单调函数， 即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点. 当g′(t)＜0时，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立， 由于g′(0)＜0， 故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0， 即m＜－5且m＜－9，即m＜－9， 本课结束 (3)反例，f(x)＝－，虽然f′(x)＝＞0，但f(x)＝－在其定义域(－∞，0)∪(0， ＋∞)上不具有单调性. (－∞，－2)， 得x＜－2或x＞， 故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，. 对于D，f′(x)＝－1＋，f′(2)＝－＜0，不符合题意. 解析　对于A，f′(x)＝2cos 2x，f′＝－1＜0，不符合题意； 对于C，f′(x)＝3x2－1，f′＝－＜0，不符合题意； (2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递减区间为___________. 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， 令φ(x)＝－ln x－1(x＞0)，φ′(x)＝－－＜0， 即g′(x)＝>0， 则函数g(x)＝的单调递增区间为(－∞，0)，(1，4). 训练1 (1)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递增区间为(　　) A.(0，4) 　　 　B.， C. 　　 　D.(－∞，0)，(1，4) 解析　易知f′(x)过点(0，0)与， 当x<0或1<x<4时，f′(x)>f(x)， 当<x<时，f′(x)<0， ∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减. ， 令f′(x)＝0，得x＝或x＝， 当0<x<，<x<π时，f′(x)>0， ①当≤0，即a≤0时， ②当＝1时，a＝2时，对任意的x>0，f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 例2 已知函数f(x)＝2x－－(a＋2)ln x(a∈R)，讨论f(x)的单调性. 解　∵f(x)＝2x－－(a＋2)ln x，x>0， 则f′(x)＝2＋－＝＝. ④当>1，即a>2时， 由f′(x)>0，得0<x<1或x>， 由f′(x)<0，得1<x<， 此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，，单调递减区间为. ③当0<<1时，即0<a<2时， 由f′(x)>0，得0<x<或x>1， 由f′(x)<0，得<x<1， 此时，函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为； 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为 (1，＋∞)； 当0<a<2时，函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为； 当a＝2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a>2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，，单调递减区间为. ①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增； ②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0， 解得x1＝，x2＝， 综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增； 当a<时，f(x)在，(，＋∞)上单调递增， 在上单调递减. 即x2＋(2－m)x＋2－m<0在上有解，即m>在上有解. 则m>，＝x＋1＋≥2， 角度1　由单调性求参数 例3 (1)(2024·浙江名校联考)若函数f(x)＝(x2－mx＋2)ex在上存在单调递减区间，则m的取值范围是___________. 则原问题等价于f′(x)<0在上有解， 因为a∈(0，1)，所以ln(1＋a)＞0，＋1＞1， 所以a＋a2≥1，解得a≤－或a≥， 又0＜a＜1，所以a的取值范围为[，1). [，1) f′(x)＝axln a＋(1＋a)xln(1＋a)＝ax[ln a＋(＋1)xln(1＋a)]≥0. 设g(x)＝ln a＋(＋1)xln(1＋a) ，因为ax＞0，所以g(x)≥0. 所以f(2)<f(log27)<f(3)，即b<c<a. 角度2　比较大小 例4 (1)(2024·金华调考)已知函数f(x)＝3x＋2cos x.若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 因为>1，所以3>3. 又log24<log27<log28，即2<log27<3，所以2<log27<3， 所以f(x)在上单调递增， 所以f＜f(1)＜f，即f＜f(1)＜f. (2)已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为 __________________. f＜f(1)＜f 解析　由题意易得f(x)是偶函数，所以f＝f. 又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x＞0， 由f(2x－1)<f(1－x)，可得 解得<x<1，即原不等式的解集为. 角度3　解不等式 例5 已知函数f(x)＝2ln x＋－x，则不等式f(2x－1)<f(1－x)的解集为(　　) A. B. C. D. 因为f′(x)＝－－1＝－≤0恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 因为f(x)在其定义域的一个子区间(2k－1，2k＋1)内不单调， 所以2k－1<<2k＋1，得－<k<. 综上，≤k<. 训练3 (1)(2024·湖北名校联考)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(2k－1，2k＋1)内不单调，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则2k－1≥0，即k≥. f′(x)＝4x－＝＝，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)， 所以f′(x)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故f＞f(2)＞f，即c＞b＞a. (2)已知函数f(x)＝ln x－，设a＝f，b＝f(2)，c＝f，则(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 解析　易知f′(x)＝＝， 又x∈(0，＋∞)时，ex＞1，－≥－， 即3a2≤1－2a ，解得－1≤a≤. (3)已知函数f(x)＝－ex＋2x－x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范 围是____________. 解析　由题意得f′(x)＝－－ex＋2－x2＝－＋2－x2， 因为ex＋≥2＝2，当且仅当x＝0时等号成立， 令f′(x)>0，得x>， 故f(x)的单调递增区间是. 2.函数f(x)＝x－ln(2x＋1)的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 解析　f(x)的定义域是， f′(x)＝1－＝， 4.(2024·苏北四市调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ ex＋sin x，则不等式f(2x－1)<eπ的解集是(　　) A. 　　B. 　 　C. 　 　D. 所以由f(2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π，解得x∈. 因为y＝tan x在上单调递增，所以y＝tan x>1， 所以当x∈时，0<<1，所以a≥1. 5.(2024·河南名校联考)已知函数f(x)＝sin x＋acos x在上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A.(－1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(1－，＋∞) D.[－1，＋∞) 解析　由题意，f′(x)＝cos x－asin x≤0在上恒成立， 即a≥＝在上恒成立. 则f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∵0＜＜＜，∴f＞f，即b＜c， ∵c＝f＝ln ＜0，a＝f(2)＝2ln 2＞0， ∴c＜a，即b＜c＜a. 6.函数f(x)＝xln x，a＝f(2)，b＝f，c＝f，则(　　) A.b＜c＜a B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.a＜c＜b 解析　由f′(x)＝1＋ln x＞0得x＞， 由f′(x)＜0，得0＜x＜， 解析　因为f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝＋2x－a≥0对任意的x>0恒成立，即a≤2x＋， 当x>0时，由基本不等式可得2x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，所以a≤2. 因为{a|a≤2}{a|a≤2}，因此，“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件. 9.(2024·丽水模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为________. 即≥4x－或≤4x－在[1，2]上恒成立. 令h(x)＝4x－，则h(x)在[1，2]上单调递增， 所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3， 又a>0，所以0<a≤或a≥1. 因为f(x)在[1，2]上不单调，故<a<1. 10.已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1，2]上不单调，则实数a 的取值范围是________. 解析　f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1，2]上为单调函数， 即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1，2]上恒成立， 11.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行. 求：(1)实数k的值； 解　f′(x)＝(x>0). 又由题意知f′(1)＝＝0，所以k＝1. 解　由(1)知，f′(x)＝(x>0). 设h(x)＝－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0， 12.(2024·吉安质检节选)已知函数f(x)＝3aln x－x2－(a－3)x，x∈R，试讨论f(x)的单调性. f′(x)＝－x－(a－3)＝－＝－， 当x>－1时，f′(x)<0， 解析　f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝－1， 易知f′(x)在(－1，＋∞)上单调递减， 令f′(x)＝0，得x＝－1， 当－1<x<－1时，f′(x)>0， 则f(x)在上单调递增，在上单调递减. 当x>－1且x趋近于－1时，log2(x＋1)趋近于－∞， 14.已知f(x)＝(a2－1)ex－1－x2，若不等式f(ln x)<f(x－1)在(1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围为(　　) A.[－1，1] B.[－，] C.[0，1] D.(－∞，－]∪[，＋∞) 解析　设y＝x－1－ln x(x>1)，则y′＝1－>0， ∴a2－1≥1，解得a≥或a≤－. 即a2－1≥在(1，＋∞)上恒成立. 令g(x)＝，x∈(1，＋∞)，g′(x)＝， 当x>1时，g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故g(x)<g(1)＝1， 即＋x－(b－1)<0有解. 因为g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＋≥2. 要使＋x－(b－1)<0有解，只需2<b－1， 即b>3，所以实数b的取值范围是(3，＋∞). 15.(2024·青岛调研)若函数g(x)＝ln x＋x2－(b－1)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是____________. 解析　g(x)的定义域为(0，＋∞)，且其导函数为g′(x)＝＋x－(b－1). 由g(x)存在单调递减区间知g′(x)<0在(0，＋∞)上有解， 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝， (2)若y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上不是单调函数，求实数m的取值范围. 解　由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2， ∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝(x＞0). ∴g(x)＝x3＋x2－2x， 即实数m的取值范围是. 由于g′(0)＝－2，∴ 又g′(3)＞0，即m＞－， ∴－＜m＜－9. $$