二次函数的最大（小)值问题限时练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1（补充）二次函数的最大（小）值问题40分钟限时练习 1.已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______ 2. 已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则实数的取值范围是________． 3. 函数 在上有最大值和最小值，求的值． 4．已知函数 (1)当时，求函数的最值； (2)若是单调函数，求实数的取值范围． 5.知，函数， (1)当时，写出函数的单调递增区间； (2)当时，求函数在区间上的最小值； (3)设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示） 6.求函数在区间上的最小值. 7. 已知，若的最小值为，写出的表达式． 8.已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4. (1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值； (2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 9.设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________． 10.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值． 11.已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值． 12.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m 的图象的上方，求实数m的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1（补充）二次函数的最大（小）值问题40分钟限时练习 1.已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______ 【答案】80 【解析】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为. 故答案为：80 2. 已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则实数的取值范围是________． 【答案】　 【解析】，作出图像，由图像知，. 3．函数 在上有最大值和最小值，求的值． 【解析】　由的对称轴为知，无论的单调性怎样， 在上存在最值的情况有两种： 或解得或 4．已知函数 (1)当时，求函数的最值； (2)若是单调函数，求实数的取值范围． 【解析】(1)当时，∵，∴当时，取得最小值；当时，取得最大值. (2)函数的图像是抛物线，其对称轴为. 若函数是单调函数，则有或， ∴，或. 故所求实数的取值范围是 5.知，函数， (1)当时，写出函数的单调递增区间； (2)当时，求函数在区间上的最小值； (3)设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示） 【解析】（1）当时，由二次函数的性质知，单调递增区间为，，，. （2）因为，，时，所以当，即时，（2）当，即时，（1） （3） ①当时，图象如上图左所示由得，②当时，图象如上图右所示由得， 6.求函数在区间上的最小值. 错解：原函数即. 错因：忽视了约束条件[-2,1]而导致的错误.事实上，对称轴在区间[-2,1]的何种位置必须讨论求解. 正确解法：原函数即 对称轴，以此为界分三种情况讨论： (1)当-2<，即时，则 (2) 当，即时，[-2,1]为该函数的递增区间， 则 (3)当，即时，[-2,1]为该函数的递减区间， 则 7. 已知，若的最小值为，写出的表达式． 【解析】如图所示， ∵函数图象的对称轴为， (1)当，即时，， 即 (2)当，即时， (3)当时，. 综上可得， 8.已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4. (1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值； (2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝ 当x∈[0，2)时，－1≤f(x)<0，当x∈[2，3]时，0≤f(x)≤7， 所以f(x)在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1. (2)因为f(x)＝ 又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增， 所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4. 当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1. 即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立， 故a的取值范围为[－4，－2]． 9.设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________． 【解析】因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，所以a的取值范围是0≤a≤2. 答案：[0，2] 10.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值． 【解析】f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. (1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝； (3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3. 综上可知，a的值为或－3. 11.已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值． 【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减， 所以f(x)min＝f(1)＝－2； (2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上且对称轴为x＝. ①当0<≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的对称轴在(0，1]内，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．所以f(x)min＝f＝－＝－；②当>1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x的对称轴在[0，1]的右侧，所以f(x)在[0，1]上单调递减． 所以f(x)min＝f(1)＝a－2； (3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，所以f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝a－2. 综上所述，f(x)min＝ 12.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m 的图象的上方，求实数m的取值范围． 【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x. 所以2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1. (2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方， 所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立； 即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立． 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－， 因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1， 所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$