24.1.2垂直于弦的直径同步练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版2024-2025学年九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，已知的半径为10，弦，M是上任意一点，则线段的长可能是（    ） A．3 B．5 C．9 D．11 3．如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 4．把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值是（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 6．⊙O的直径是15cm，CD经过圆心O，与⊙O交于C、D两点，垂直弦AB于M，且OM：OC=3 ：5，则AB=（    ） A．24cm B．12cm C．6cm D．3cm 7．如图，在中，为弦上的一点，，，则的长度为（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题 8．半径为5的⊙O内，弦AB长6，则圆心到弦AB距离为 ． 9．如图，⊙O的半径OA＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：BC＝3：2，则DE的长为 ． 10．如图，某圆弧形拱桥的跨度，拱高，则该拱桥的半径为 m. 11．如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为 ． 12．半径为5的中，两平行弦的长度分别为6、8，则两平行弦间的距离等于 ． 三、解答题 13．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 14．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求： (1)桥拱的半径； (2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 15．一辆卡车装满货物后，它的高比宽多，且恰好通过如图所示的隧道（上部为半圆形）．卡车有多高？（结果精确到） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C D A B B B 1．C 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米． 故选：． 2．C 【分析】由题意知，的最大值是10，弦的弦心距是的最小值，利用垂径定理和勾股定理，可求出的最小值为6，再根据答案中选出符合条件的值即可． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示： ，， ， 在Rt中，， ， ∴线段的长可能是9， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，一般是构造直角三角形，利用勾股定理解题． 3．D 【分析】先求出OE再利用勾股定理即可的得出AE，最后用垂径定理即可得出AB． 【详解】如图， 连接OA， ∵⊙O的直径CD＝12cm， ∴OD＝OA＝OC＝6， ∵OE：OC＝1：3， ∴OE＝2， ∵AB⊥CD， ∴AB＝2AE，∠OEA＝90°， 在Rt△OAE中，AE＝， ∴AB＝2AE＝8cm， 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 4．A 【分析】设球心为O，过O作交于M，交于N，连接，结合题意可解得， ，根据勾股定理求得，最后由垂径定理求得结果． 【详解】解：如图，设球心为O，过O作交于M，交于N，连接， 由题意可知是矩形，． ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理解三角形和垂径定理；掌握求弦长通常运用垂径定理构造直角三角形的方法是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 作于，连接、，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，则最小时，最大，根据垂线段最短得到当时，的值最大，从而得到的最大值为4． 【详解】解：作于，连接、，如图， ∵， ∴， 而为定值，最小时，最大， ∴当时，的值最大，最大值， ∴的最大值为4． 故选：B．    6．B 【分析】根据题意画出图形，设OM=3x，OC=5x，则DM=2x，由CD=15cm，可得3x+5x+2x=15，解方程求得x的值，再根据勾股定理求出AM的长，由垂径定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接OA，设OM=3x，OC=5x，则DM=2x， ∵CD=15cm， ∴3x+5x+2x=15， 解得x=1.5cm， ∴OM=3×1.5cm=4.5cm， ∴AM===6cm， ∵AB⊥CD， ∴AB=2AM=12cm． 故选B． 【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理，解题的关键是能作出正确的辅助线． 7．B 【分析】先通过作辅助线构造直角三角形，求出弦心距，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过O点作于G， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题关键是构造直角三角形． 8．4 【分析】根据题意画出图形，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，再根据垂径定理和勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，则OC为圆心到弦AB距离，连结OA， ∵OC⊥AB，AB=6， ∴AC=AB=3， 在中，OA=5，AC=3， 由勾股定理得：， 即圆心到弦AB距离为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 9．24 【分析】连结OD，利用比例求出OC=9，利用垂径定理可得DC=EC，由勾股定理DC=即可． 【详解】解：连结OD， ∵⊙O的半径OA＝15， ∴OB=OD=OA=15， ∵OC：BC＝3：2， 设BC=2x，OC=3x， ∵OC+BC=15， ∴2x+3x=15, 解得x=3， ∴OC=3x=9， ∵DE为弦，AB为直径，DE⊥AB， ∴DC=EC， 在Rt△DCO中， DC=， ∴DE=2DC=2×12=24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查线段比例问题，垂径定理，勾股定理，掌握线段比例问题，垂径定理，勾股定理是解题关键． 10．8.9 【分析】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心是，半径为，连接．根据垂径定理得，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上， 设圆心是，半径是，连接． 根据垂径定理，得：， 在中，根据勾股定理，得， 解得：， 即该拱桥的半径为， 故答案为：8.9 11． 【分析】先根据的直径求出的长，再根据得出的长，进而得出的长，连接，根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：的直径， ， ， ， ， 连接， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 12．7或1 【分析】本题考查垂径定理，分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， ∴E为中点，F为中点， ∴，， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得， 综上，两平行弦间的距离等于7或1． 故答案为：7或1． 13．此桥拱圆弧的半径约为 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图2所示，设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为， 由垂径定理可知，， ，，三点共线， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 此桥拱圆弧的半径约为． 14．(1)桥拱的半径为50米； (2)水面上涨的高度为10米． 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用． （1）根据垂径定理和勾股定理求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】（1）解：如图1， 设圆的半径是r， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 15．约 【分析】作弦EF∥AD，OH⊥EF于H，连接OF，在直角△OFH中，根据三角函数就可以求出OH，求出隧道的高，就可以判断． 【详解】解：设该卡车的宽是x米，高是（x+2）米． 如图，设半圆O的半径为R，则R=2.5米， 作弦EF∥AD，且EF=x米，OH⊥EF于H， 连接OF， 由OH⊥EF，得HF=x米， 在Rt△OHF中，米， 则OH+4=x+2，即+4=x+2， 整理得 5x2-16x-9=0， 解得 （舍去）， 则该卡车的高度为：（米）． 答：卡车的高度大约是5.7m． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，本题的关键是建立数学模型，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$