2024-2025学年苏科版数学九年级上册 期中复习冲刺(4-5)

2024 年初三数学期中考试复习冲刺练习(4) 参考答案与解析 第 4 练：二次函数中存在特殊三角形 (等腰、直角、等腰直角)、四边形 (平行四边形) 一、利用坐标轴上的点，将未知等线段转化为确定线段 1. 抛物线y = ax2 + bx + c 交 x 轴于点A(-1,0)，B(3,0)，与y 轴交于点 C(0, -4) . (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图，连接BC，D 是抛物线第四象限，直线AD 交BC 于F，交y 轴于点 Q，若 CP = CQ，求D 点坐标； 【解析】解：(1) 由题意得：y = a(x + 1) (x - 3) = a(x2 - 2x - 3)， 则 -3a =-4，解得：a = ， 则抛物线的表达式为 x - 4； (2) 作BT ⎳ AD 交y 轴于点 又 ∵ CP = CQ， ∴ CB = CT = OB2 +OC2 = 32 +42 = 5， ∴ OT = CT - CO = 1， 由B(3,0)，7(0,1) 得直线BT 的解析式为x + 1， ∴ 直线AD 的解析式为 联立上式和抛物线的表达式得 x - 4， 解得：x =-1(舍去) 或 ，点D，- ； 二、利用等腰三角形的高与坐标轴的交点，转化为确定线段 2. 如图，抛物线x + 2 与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 在 y 轴右侧的抛物线上，且 AC = BC，求点 C 的坐标. 解：令 y = 0，0 =- x + 2 ① , ∴ x =-1 或x = 4， 期中考试复习冲刺 第1页 共5页 ∴ A(-1,0)， 令 x = 0，则y = 2， ∴ B(0,2)； ∵ AC = BC， ∴ C 点在AB 的垂直平分线上， ∵ A(-1,0)，B(0,2)， ∴ AB 的中点H( - ，1( ， ∵ ∠AHG = 90° , ∴ ∠HAG + ∠HGA = 90° , ∠BAG + ∠ABO = 90° , ∴ ∠ABO = ∠HGA， ∵ AB = 5 ， ∵ sin ∠ABO = = ， ∴ sin ∠AGH = = ， ∴ G，0( ， 由点 G、H 的坐标得，直线HC 的表达式为：y =- x + ②, 联立①②得：- x + =- x2 + x + 2， 解得 x = ∴ C， ( . 3. 如图，已知直线 y = x + 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，抛物线 y=-x2 + bx + c 经过 A、B 两点，与 x 轴交 于另一个点 C，对称轴与直线AB 交于点E，抛物线顶点为D . (1) 求抛物线的解析式； (2) 在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A、E、F 为顶点的三角形面积为 3，求点F 的横坐标； (3) 点P 是对称轴上的一动点，是否存在某一点 P 使P、B、C 为顶点的三角形是以 BC 为直角边的直角三角形？ 若存在，请直接写出所有符合条件的P 点坐标；不存在，说明理由. 【解析】解：(1) ∵ y = x + 3 与 x 轴的交点A，与y 轴的交点B 的坐标， ∴ 当y = 0 时，x=-3，即点A 的坐标为 (-3,0)， 当 x = 0 时，y = 3，即点B 的坐标为 (0,3)， 期中考试复习冲刺 第2 页 共5 页 学科网（北京）股份有限公司 将A(-3,0)，B(0,3) 代入 y =-x2 + bx + c，得 {c-3 (-)3b + c = 0 ， ∴ {c (b)3 (-)2 ， ∴ 抛物线的解析式为 y =-x2 - 2x + 3； (2) 如图 1，设第三象限内的点F 的坐标为 (m, -m2 - 2m + 3)， 则m < 0，-m2 - 2m + 3 < 0 . ∵ y =-x2 - 2x + 3 =- (x + 1)2 + 4， ∴ 对称轴为直线 x=-1，顶点D 的坐标为 (-1,4)， 设抛物线的对称轴与轴交于点 G，连接FG，则 G(-1,0)，AG = ∵ 直线AB 的解析式为 y = x + 3， ∴ 当 x =-1 时，y =-1 + 3 = 2 ， ∴ E 点坐标为 (-1,2) . ∵ SΔAEF = SΔAEG + SΔAFG - SΔEFG = × 2 × 2 + × 2 × (m2 + 2m - 3) - × 2 × (-1 -m) = m2 + 3m， ∴ 以A、E、F 为顶点的三角形面积为 3 时，m2 + 3m = 3， 解得：m1 = ，m2 = ， 当m = 时， -m2 - 2m + 3 =-m2 - 3m + m + 3 =-3 + m + 3 =m -3 - 21 = ( , )2 ∴ 点F 的坐标为 , ； (3) 设点P 坐标为 (-1,n)， ∵ B(0,3)，C(1,0)， ∴ BC2 = 12 + 32 = 10，分两种情况： ①如图 2，若 ∠PBC = 90° , 则PB2 + BC2 = PC2，即 (0 + 1)2 + (n - 3)2 + 10 = (1 + 1)2 + (n - 0)2， ∴ n = ， ∴ 点P 的坐标为 (-1, ； ②如图 3， 若 ∠BCP = 90° ,则BC2 + PC2 = PB2， 即 10 + (1 + 1)2 + (n - 0)2 = (0 + 1)2 + (n - 3)2， ∴ n =- ， ∴ 点P 的坐标为 (-1, - ； 综上所述，P 点坐标为 (-1, 或 (-1, - . 期中考试复习冲刺 第3页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 三、二次函数与平行四边形 4. 如图，抛物线 y=-x2 + 2x + 3 分别交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴正半轴于点 C，过点 A 作 CB 的平行线 AE 交抛 物线于另一点E，交y 轴于点D . (1) 直接写出点A 的坐标和直线 CB 的解析式； (2) 直线 AE 上有两点F，G，横坐标分别为t，t + 1，分别过 F，G 两点作 y 轴的平行线交抛物线于M，N两点．若 以F，G，M，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，求 t 的值. 【解析】解：(1) ①对于 y =-x2 + 2x + 3， 令y =-x2 + 2x + 3 = 0，解得 x = 3 或 -1，令 x = 0，则 t = 3， 故点A、B、C 的坐标分别为 (-1,0)、(3,0)、(0,3)； 设直线BC 的表达式为 y = mx + n，则m + n ，解得 故直线BC 的表达式为 y=-x + 3； (2) ∵ BC ⎳ AE，故设直线AE 的表达式为 y=-x + s， 将点A 的坐标代入上式并解得s =-1， 故直线AE 的表达式为 y=-x - 1， 设点F、G 的坐标分别为 (t, -t - 1)、(t + 1, -t - 2)， 则点M、N 的坐标分别为 (t, -t2 + 2t + 3)、(t + 1, -t2 + 4)， 则MF= |(-t2 + 2t + 3) - (-t - 1)| = | -t2 + 3t + 4|， 同理可得：GN = | -t2 + t + 6|， ∵ 以F，G，M，N 四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴ MF = GN，即 | -t2 + 3t + 4| = | -t2 + t + 6|， 解得 t = 1 或 1 ± 、6 . 5. 抛物线 y = x2 - 1 交 x 轴于 A，B 两点 (A 在B 的左边)，平行四边形 ACDE 的顶点 C 在 y 轴的正半轴上，顶点E 在y 轴右侧的抛物线上. (1) 如图 1，若点 C 的坐标是 (0,3)，点E 的横坐标是，直接写出点A，D 的坐标； (2) 如图 2，若点D 在抛物线上，且平行四边形ACDE 的面积是 12，求点E 的坐标. 期中考试复习冲刺 第4页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：(1) 对于 y = x2 - 1，令y = x2 - 1 = 0，解得 x =±1，令 x = 0，则y =-1， 故点A、B 的坐标分别为 (-1,0)、(1,0)，顶点坐标为 (0, -1)， 当 x = 时，y = x2 - 1 = 由点A、C 的坐标知，点 A 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到点 ∵ 四边形ACDE 为平行四边形， 故点E 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到点D， 则 + 1 = ， + 3 = ， 故点D 的坐标为 ， ； (2) 设点 C(0,n)，点E 的坐标为 (m,m2 - 1)， 同理可得，点D 的坐标为 (m + 1,m2 - 1 +n)， 将点D 的坐标代入抛物线表达式得：m2 - 1 +n = (m + 1)2 - 1， 解得n = 2m + 1， 故点 C 的坐标为 (0,2m + 1)； 连接 CE，过点E 作y 轴的平行线交 x 轴于点M，交过点 C 与 x 轴的平行线与点N， 解得m =-5(舍去) 或 2， 故点E 的坐标为 (2,3) . 期中考试复习冲刺 第5 页 共5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初三数学期中考试复习冲刺练习(5) 第 5 练：二次函数与特殊角 (等角、二倍角、固定角) 1. 如图，抛物线 y=-x2 + 2x + 3 交 x 轴于 A，B 两点 (点 A 在点B 的左边)，交 y 轴正半轴于点 C，若抛物线上有 一点P，使 ∠ACP = ∠BAC，求点P 的坐标. 2. 如图，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点，顶点为 C，点P(1, -3) 在抛物线上，D 是抛物线上一点，满 足 ∠DPO = ∠POB，求点D 的坐标. 3. 如图，抛物线x - 2 与 x 轴交于点 A 和B 两点，点 C(6,4) 在抛物线上，D 为 y 轴左侧抛物线上一 点，且 ∠DCA = 2∠CAB，求点D 的坐标. 4. 如图，抛物线x2 + x + 4 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 P 是第四象限抛物线上的一 点，且 ∠PAB = 2∠ACO，求点P 的横坐标. 期中考试复习冲刺 第1页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 期中考试复习冲刺 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初三数学期中考试复习冲刺练习(5) 参考答案与解析 第 5 练：二次函数与特殊角 (等角、二倍角、固定角) 1. 如图，抛物线 y=-x2 + 2x + 3 交 x 轴于 A，B 两点 (点 A 在点B 的左边)，交 y 轴正半轴于点 C，若抛物线上有 一点P，使 上ACP = 上BAC，求点P 的坐标. 【解析】解：对于 y =-x2 + 2x + 3，当 x = 0 时，y = 3，则点 C(0,3)， 当y = 0 时，0 =-x2 + 2x + 3， : x1 = 3，x2 =-1，则点A(-1,0)，点B(3,0)， 如图，延长 CP 交 x 轴于点E，作DE 丄AC， “ 点A(-1,0)，点B(3,0)， : OA = 1，OC = 3， : AC = 1+9 = 10 ， “ 上ACP = 上BAC， : AE = CE，且DE 丄AC， “ 上CAO = 上CAO，上AOC = 上ADE = 90。， : ΔACO 一 ΔAED， AO AC ( : = )AD AE ， : AE = 5，且点A(-1,0) ， : 点E(4,0)，且点 C(0,3)， : 直线 CE 解析式为：y =- x + 3， :-x2 + 2x + 3 =- x + 3， : 点P 坐标 ， . 2. 如图，抛物线 y = x2 - 与 x 轴交于 A，B 两点，顶点为 C，点P(1, -3) 在抛物线上，D 是抛物线上一点，满 足 上DPO = 上POB，求点D 的坐标. 期中考试复习冲刺 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：如图， 抛物线 与 x 轴交于A，B 两点，令 y = 0，0 = x1 =-4，x2 = 4 . ∴ A(-4,0)，B(4,0)， 当点D 在 OP 左侧时，如图： 由 ∠D1PO = ∠POB，得D1P ⎳ OB， ∴ D1 与P 关于 y 轴对称，且P(1, -3) ， ∴ D1 (-1, -3)； 当点D 在 OP 右侧时，延长PD2 交 x 轴于点 G . 作PH ⊥ OB 于点H，则 OH = 1，PH = 3 . ∵ ∠D2PO = ∠POB， ∴ PG = OG . 设 OG = x，则PG = x，HG = x - 1 ．在RtΔPGH 中，由 x2 = (x - 1)2 + 32，得 x = 5 . ∴ 点 G(5,0) . ∴ 直线PG 的解析式为 解方程组 得 或 . ∵ P(1, -3)， ∴ 点D 的坐标为 或 ( 3. 如图，抛物线x - 2 与 x 轴交于点 A 和B 两点，点 C(6,4) 在抛物线上，D 为 y 轴左侧抛物线上一 点，且 ∠DCA = 2∠CAB，求点D 的坐标. 【解析】解：延长DC 交 x 轴于点M， ∵ ∠DCA = 2∠CAB ， ∴ ∠CAB = ∠CMA . ∴ CA = CM . ∵ 抛物线 x - 2 与 x 轴交于点A，B， ∴ A(-2,0)，B(4,0) . 过点 C 作 CQ ⊥ AM于点 Q， ∴ QM = AQ = 8 . ∴ 点M坐标为 (14,0) . 由点 C、M 的坐标得，直线DM 的解析式为：y =- x + 7， 期中考试复习冲刺 第2 页 共3 页 学科网（北京）股份有限公司 解得 x=-6 或 6(舍去)， ∴ 点D 坐标为 (-6,10) . 4. 如图，抛物线x2 + x + 4 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 P 是第四象限抛物线上的一 点，且 ∠PAB = 2∠ACO，求点P 的横坐标. 【解析】解：在 OB 上取 OR = OA = 2， 则 ∠ACR = 2∠ACO = ∠PAB， 过点A 作AK ⊥ CR 于点K，设直线AP 交y 轴于点H， 则 SΔACR = AR × CO = × CR × AK，即 × 4 × 4 = × 、22 +42 × AK， 解得AK = ，则 sin ∠ACK = = = ，则tan ∠ACK = = tan ∠BAP， 在RtΔAOH 中，OH = AO × tan ∠BAP = 2 × = ， 由点A、H 的坐标得，直线 AP 的表达式为 y =- x - ②; 联立①②并解得 x = ， ( 故点 P 的横坐标为 20 )3 . 期中考试复习冲刺 第3页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年初三数学期中考试复习冲刺练习(4) 第 4 练：二次函数中存在特殊三角形 (等腰、直角、等腰直角)、四边形 (平行四边形) 一、利用坐标轴上的点，将未知等线段转化为确定线段 1. 抛物线y = ax2 + bx + c 交 x 轴于点A(-1,0)，B(3,0)，与y 轴交于点 C(0, -4) . (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图，连接BC，D 是抛物线第四象限，直线AD 交BC 于F，交y 轴于点 Q，若 CP = CQ，求D 点坐标； 二、利用等腰三角形的高与坐标轴的交点，转化为确定线段 2. 如图，抛物线 y =- x2 + x + 2 与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 在 y 轴右侧的抛物线上，且 AC = BC，求点 C 的坐标. 期中考试复习冲刺 第1页 共3页 3. 如图，已知直线 y = x + 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，抛物线 y=-x2 + bx + c 经过 A、B 两点，与 x 轴交 于另一个点 C，对称轴与直线AB 交于点E，抛物线顶点为D . (1) 求抛物线的解析式； (2) 在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A、E、F 为顶点的三角形面积为 3，求点F 的横坐标； (3) 点P 是对称轴上的一动点，是否存在某一点 P 使P、B、C 为顶点的三角形是以 BC 为直角边的直角三角形？ 若存在，请直接写出所有符合条件的P 点坐标；不存在，说明理由. 三、二次函数与平行四边形 4. 如图，抛物线 y=-x2 + 2x + 3 分别交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴正半轴于点 C，过点 A 作 CB 的平行线 AE 交抛 物线于另一点E，交y 轴于点D . (1) 直接写出点A 的坐标和直线 CB 的解析式； (2) 直线 AE 上有两点F，G，横坐标分别为t，t + 1，分别过 F，G 两点作 y 轴的平行线交抛物线于M，N两点．若 以F，G，M，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，求 t 的值. 期中考试复习冲刺 第2页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 5. 抛物线 y = x2 - 1 交 x 轴于 A，B 两点 (A 在B 的左边)，平行四边形 ACDE 的顶点 C 在 y 轴的正半轴上，顶点E 在y 轴右侧的抛物线上. (1) 如图 1，若点 C 的坐标是 (0,3)，点E 的横坐标是，直接写出点A，D 的坐标； (2) 如图 2，若点D 在抛物线上，且平行四边形ACDE 的面积是 12，求点E 的坐标. 期中考试复习冲刺 第3页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$