精品解析：安徽省合肥市第七中学2025届高三上学期第四次统一作业数学试题

2025届高三第四次统一作业 数学试题 命题人：高明 审题人：王瑞 分值：120分 考试时间：90分钟 一、单选题（共40分） 1. 集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：B. 2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】依题意，，其中，为坐标原点， 则，所以． 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用. 【详解】由题意，. 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件得到，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 5. 与以下哪个值相同（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式来求得正确答案. 【详解】由诱导公式易得. 故选：C. 6. 已知，则在下列选项中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算法则可判断，再设，利用导数可判断其单调性，故可判断其余三项的正误. 【详解】因为， 故， 故即即， 设， 故， 因为，故， 故，故（不恒为0）， 故在上为增函数，故即, 故， 故选：C. 【点睛】思路点睛：与对数有关的大小比较，可先利用对数的运算性质改变原来的数的形式，必要时可利用同构构造函数，通过函数的单调性来比较大小. 7. 若，对恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可判断的正负，进而可知和是的两根，且，根据韦达定理列出等式，然后判断大小即可. 【详解】因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 因为在上恒成立， 所以和是的两根，且， 则，解得，， 所以，. 故选：B. 8. 定义在上的函数和的最小周期分别是和，已知的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设，可知，然后根据每一个选项的，去求，判断选项是否成立即可. 【详解】令，则有， 若，则，此时，有，此时，故A错误； 若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为， 所以，此时，故B错误； 若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为， 所以，此时，故C错误； 若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为， 所以，此时，故D正确； 故选：D 【点睛】关键点点睛：当两个最小正周期不同的函数相互加或减的时候，形成的新函数的周期为初始两个函数周期的整数倍，且相同的最小的数. 二、多选题（共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得最小正周期判断A；求得对称轴判断B；求得对称中心判断C；求得值域判断D. 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 由，可得， 所以图象的对称轴为， 当时，图象的关于对称，故B正确； 由，可得， 所以图象的对称中心为， 当时，图象的关于点对称，故C不正确； 由，故的值域为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知为奇函数，且对任意，都有，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由为奇函数可得到的图象关于点对称，由得到的图象关于直线对称，结合两者得到的周期为8，进而化简即可求解. 【详解】由为奇函数，可得，即， 则的图象关于点对称，所以， 又，所以的图象关于直线对称， 结合得， 即，所以，所以 则是以8为周期的周期函数，所以， ，，， 故选：AB. 11. 设，，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出，再由选择支分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，及其， 则，解得. AB项，，设函数， 则，故在上单调递减， 则1， 故函数的值域为. 而，，故A对B错； C项，由于， 设， 则，故在上单调递减， 所以， 故函数的值域为， 若，则，故C对； D项，，设， ， 令，则， 则当，，则在上单调递增； 当，，在上单调递减， ，，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共15分） 12. 求值：_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算性质结合运算求解. 【详解】由题意可得： 故答案为： 13. 已知和的图像的连续三个交点，，构成，则的面积为________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据函数和的图象，可知为等腰三角形，即可求的面积. 【详解】作出函数和的图象，可知为等腰三角形， 且的底边长为，高为，则的面积为. 故答案为：. 14. 若对一切恒成立，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解. 【详解】由题意可得对一切恒成立， 令，则， 当时，，故在上单调递减， 此时在上无最小值，不符合题意， 当时，令，有，令，有， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 当满足题意，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而得到，即可得，再构造函数，求出其最大值即可得. 四、解答题（共47分） 15. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是，的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：如图以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ,0,，,0,，，，,,，,1,， ，， ， 故，即 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，，根据向量的数量积即可求证垂直； （2）求得平面的法向量，即可由向量夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则，， 即,1,， 设与平面所成角为，则 ． 16. 设函数（A，，为常数，且，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图得和，结合周期公式求出，再将代入结合正弦函数的性质和即可求出，从而得解. （2）先求出在的值域，接着令，将不等式在上恒成立等价变形为在上恒成立，从而将问题转化为求函数在上的最小值，求出该最小值即可得解. 【小问1详解】 由图得，， 所以，故， 所以， 将代入得， 所以， 又，所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以，令， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以函数在上单调递增， 所以当时，有， 所以，即. 【点睛】方法点睛：分离参数最值化是解决恒成立求参问题的常用方法，在给出的不等式中，通过恒等变形分离出参数，使不等式变形为或恒成立，则或，从而只需求出函数最值即可得解. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有极小值，且极小值大于，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，的递增区间是和，递减区间是；当时，的递增区间是；当时，的递增区间是和，递减区间是；当时，的递增区间是，递减区间是. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论的取值范围即可得解； （2）利用（1）中的结论，分类讨论的取值范围，得到关于的不等式，结合构造函数法与导数即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 当时，令，得或，令，得， 所以的递增区间是和，递减区间是； 当时，恒成立，所以的递增区间是； 当时，令，得或，令得， 所以的递增区间是和，递减区间是； 当时，令得，令得， 所以的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知：若函数有极小值，则， 当或时，在取得极小值， 又， 所以，解得，则； 当时，在取得极小值， 又， 所以，即， 令，则，， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，上单调递减， 且， 所以由，可得； 综上，或，即的取值范围是. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 18. 对于函数，定义域，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．已知． （1）如果对成立．求证：为周期函数； （2）若为“的倒数点”，且只有两个不同的解，求函数的值； （3）设，若函数恰有3个“的1倒数点”，求的取值范围． 【答案】（1）证明:对成立，得， 所以2为函数的周期． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据已知结合周期公式判断即可； （2）先应用为“的倒数点”，得，再结合导函数正负得出函数单调性最后计算求参； （3）先由函数恰有3个“的倒数点”，按四种情况分类讨论得出参数. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由为“关于倒数点”，得， 即， 即，得， 设的定义域为R， 求导得， 当时，严格递增； 时，严格递减； 时，严格递增， 所以的单调递增区间为，递减区间为 所以的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 作出函数的大致图象如下， 只有两个不同的解转化为与有两个交点， 所以. 【小问3详解】 依题意，， 由恰有个“的倒数点”，得方程恰有个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内严格递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，没有意义，所以不是的实数根． ④当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：关键点是按分类讨论结合新定义计算得出参数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第四次统一作业 数学试题 命题人：高明 审题人：王瑞 分值：120分 考试时间：90分钟 一、单选题（共40分） 1. 集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 与以下哪个值相同（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则在下列选项中最小的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，对恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数和的最小周期分别是和，已知的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 的值域为 10. 已知为奇函数，且对任意，都有，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设，，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共15分） 12. 求值：_______ 13. 已知和的图像的连续三个交点，，构成，则的面积为________. 14. 若对一切恒成立，则的最大值为__________. 四、解答题（共47分） 15. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是，的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值. 16. 设函数（A，，为常数，且，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有极小值，且极小值大于，求实数的取值范围. 18. 对于函数，定义域，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．已知． （1）如果对成立．求证：为周期函数； （2）若为“的倒数点”，且只有两个不同的解，求函数的值； （3）设，若函数恰有3个“的1倒数点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $