23.5 位似图形（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第23章 图形的相似 23.5 位似图形（6大题型提分练） 题型一 位似图形的识别 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    4．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为 ． 5．如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 题型二 判断位似中心 1．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    4．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 5．如图，是经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O． (1)请在图中画出点O的位置； (2)若，，求的长． 题型三 位似图形相关概念辨析 1．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 2．如图，以点O为位似中心，作的位似图形得到，若位似比为，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C．是的中位线 D． 3．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    4．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 ． 5．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 题型四 求两个位似图形的相似比 1．如图，与是位似图形，点为位似中心，且，，则位似比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积= ． 4．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 5．如图，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，3），D（1，3）． (1)将矩形各顶点的横、纵坐标都乘以2，写出各对应点A1、B1、C1、D1的坐标；顺次连接A1B1C1D1，画出相应的图形． (2)求矩形A1B1C1D1与矩形ABCD的面积的比 ． 题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 1．如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（    ） A．只有珍珍正确 B．只有明明正确 C．两个人都正确 D．两个人都不正确 2．如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 3．总结画位似图形的一般步骤： （1）确定 ； （2）分别连接并延长 和能代表原图的关键点； （3）根据 ，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 4．把图中的四边形ABCD缩小到原来的． 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为 ． 作法： （1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得 ； （4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形． 5．如图，分别按下列要求作出四边形以O点为位似中心的位似四边形． (1)沿方向放大为原图的2倍； (2)沿的方向放大为原图的2倍． 题型六 求位似图形的对应坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，直角边落在轴的负半轴上，点的坐标是，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知点、，以原点О为位似中心，相似比位1：4，把缩小，则点A的对应点的坐标是 ． 4．已知，，将以坐标原点为位似中心，放大得到，且面积是面积的倍，则的对应顶点的坐标为 ． 5．如图，O为原点，B，C两点坐标分别为 ， ． (1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，分别写出B，C两点的对应点，的坐标； (2)已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点的坐标． 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4） 2．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 4．如图，以点O为位似中心，将放大得到．若与的周长之比为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 5．如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 6．按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 7．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 8．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 9．已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B，E在第一象限，若点A的坐标为（6，0），则点E的坐标是 ． 11．如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 12．如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标． 13．如图，△ABC与△ADE是位似图形，试说明DE与BC是否平行． 14．如图，与位似，点O为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 15．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 图形的相似 23.5 位似图形（6大题型提分练） 题型一 位似图形的识别 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 2．已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 3．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形正方形，， 又∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的外接圆的半径为， 故答案为：． 4．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似的定义、相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．由题意可得，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片， ∴， ∵的面积为6， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 5．如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【答案】见解析 【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念．位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心． 根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A； 图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形； 图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P． 题型二 判断位似中心 1．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 2．如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换的性质．根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，即可解答． 【详解】解：如图， ∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上， 点Q为位似中心． 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 4．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心． 5．如图，是经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O． (1)请在图中画出点O的位置； (2)若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键． （1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置； （2）根据位似性质即可求得答案． 【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示． （2）∵是经过位似变换得到的， ∴， ∴． ∵，， ∴． 题型三 位似图形相关概念辨析 1．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似变换得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案． 【详解】解：以点为位似中心，且相似比为， ， 的周长为6， 的周长为：， 故选：C． 2．如图，以点O为位似中心，作的位似图形得到，若位似比为，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C．是的中位线 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似图形的性质，熟记位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，，，， ∴点分别是的中点， ∴是的中位线，故选项A、B、C结论正确，不符合题意，选项D结论错误，符合题意， 故选：D． 3．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    【答案】16 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 4．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 ． 【答案】27 【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE，∴，∴=2=． ∵△ABC的面积为3， ∴△DEF的面积为27． 5．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 【答案】9 【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积． 【详解】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形， ∴△DEF∽△BCF， ∴＝（）2＝， ∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4， ∵EF：FC＝1：2， ∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF， ∴S△BEF＝2， ∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式． 题型四 求两个位似图形的相似比 1．如图，与是位似图形，点为位似中心，且，，则位似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，先根据与是位似图形，得出，相似比为，据此即可作答． 【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心， ∴， ∵，， ∴相似比为， 即位似比为． 故选：B． 2．如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质．根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：与位似，点为位似中心．已知， 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：C． 3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积= ． 【答案】18 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于2， ∴的面积为18． 故答案为：18． 4．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查位似图形的性质．根据正方形的周长为4和位似比求出，进而即可求解． 【详解】解：正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， 正方形的边长为，， ， 四边形的周长为， 故答案为：8． 5．如图，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，3），D（1，3）． (1)将矩形各顶点的横、纵坐标都乘以2，写出各对应点A1、B1、C1、D1的坐标；顺次连接A1B1C1D1，画出相应的图形． (2)求矩形A1B1C1D1与矩形ABCD的面积的比 ． 【答案】(1)A1（2，2），B1（4，2），C1（4，6），D1（2，6）；图见解析 (2)4：1 【分析】（1）先根据题意得到A1、B1、C1、D1的坐标，然后描点即可； （2）根据位似的性质和相似的性质求解． 【详解】（1）如图，四边形A1B1C1D1，其中A1（2，2），B1（4，2），C1（4，6），D1（2，6）； （2）∵矩形A1B1C1D1与矩形ABCD的位似比为2：1， ∴矩形A1B1C1D1与矩形ABCD的面积的比为4：1． 故答案为：4：1． 【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 1．如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（    ） A．只有珍珍正确 B．只有明明正确 C．两个人都正确 D．两个人都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查已知位似中心画位似图形，对应边满足比值等于位似比，根据此解题即可． 【详解】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确． 故选：C． 2．如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 【答案】C 【分析】本题考查了位似，位似比，根据位似中心位似比，结合勾股定理确定即可． 【详解】∵以A为位似中心，把放大到原来的2倍，且， ， ∴， 故， 故选C． 3．总结画位似图形的一般步骤： （1）确定 ； （2）分别连接并延长 和能代表原图的关键点； （3）根据 ，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【答案】 位似中心 位似中心 相似比 【解析】略 4．把图中的四边形ABCD缩小到原来的． 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为 ． 作法： （1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得 ； （4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形． 【答案】 1:2 【解析】略 5．如图，分别按下列要求作出四边形以O点为位似中心的位似四边形． (1)沿方向放大为原图的2倍； (2)沿的方向放大为原图的2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了位似图形的画法，利用已知得出对应点坐标是解题的关键； （1）分别反向延长使得，，进而得出符合题意的图形； （2）分别延长使得，，进而得出符合题意的图形． 【详解】（1）解：沿方向放大为原图的2倍的图如下图所示， （2）解：沿的方向放大为原图的2倍的图如下图所示， 题型六 求位似图形的对应坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标． 【详解】解：与位似，原点是位似中心， 而，， 与的位似比为， ， 点的坐标是为，，即． 故选：C． 2．如图，中，直角边落在轴的负半轴上，点的坐标是，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据位似的性质，分类讨论对应点的位置，即可． 【详解】以为位似中心，按比例尺把缩小， 当对应点与在位似中心同侧时，则的坐标乘以， ∴的坐标为：； 当对应点与在位似中心异侧时，则的坐标乘以， ∴的坐标为：； ∴点的对应点的坐标为：或． 故选：B． 【点睛】本题考查位似的知识，解题的关键是掌握位似图形的性质． 【解析】略 3．已知点、，以原点О为位似中心，相似比位1：4，把缩小，则点A的对应点的坐标是 ． 【答案】（﹣1，2）或（1，﹣2）． 【分析】分对应点与AB在位似中心O同侧时，以及与AB在位似中心O异侧时，根据位似图形的性质得出即可． 【详解】解：∵点A（﹣4，8）、B（﹣12，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为1：4，把△ABO缩小， ∴A点坐标都乘以或﹣即可得出答案， 则点A的对应点的坐标为：（﹣1，2）或（1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，注意要分在位似中心的同侧与异侧两种情况求解． 4．已知，，将以坐标原点为位似中心，放大得到，且面积是面积的倍，则的对应顶点的坐标为 ． 【答案】或． 【分析】根据面积是面积的倍，可得到与的相似比为，当与在位似中心的同侧时，点横纵坐标都乘以，当与在位似中心的异侧时，点横纵坐标都乘以，即可求解． 【详解】解：如图， 以坐标原点为位似中心，放大得到， ∽， 面积是面积的倍， ， 相似比， ， ， ， 同理可得：． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了位似变换，位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标比等于或，本题知道位似图形面积之比是相似比的平方是解题的关键． 5．如图，O为原点，B，C两点坐标分别为 ， ． (1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，分别写出B，C两点的对应点，的坐标； (2)已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）如图根据题意作图，反向延长至，使得，， 观察可知， （2）根据位似图形的坐标变换可知，以为位似中心作异侧位似变换，点将变换为，其中k为放大倍数； 故M的对应点的坐标为： 【点睛】本题考查位似的坐标变换，熟练掌握位似的变换性质是本题的解题关键． 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4） 【答案】B 【分析】如图，连接BF交y轴于P，根据位似图形的定义可得点P为位似中心，根据点B、F坐标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求出点P的坐标． 【详解】如图，连接BF交y轴于P， ∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点， ∴点P为位似中心， ∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）， ∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1， ∴CG＝3， ∵BC∥GF， ∴△BCP∽△FGP， ∴＝＝，PC=CG-PG， 解得：GP＝1， ∴OP=OG+GP=2， ∴点P的坐标为（0，2）， 故选：B． 【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 2．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 【答案】B 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上． 【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键． 3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质求解，即得答案． 【详解】， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ． 故选：D． 4．如图，以点O为位似中心，将放大得到．若与的周长之比为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比． 根据题意求出与的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比． 【详解】解：∵将放大得到， ∴，， ∵与的周长之比为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先由可得，再由矩形与矩形位似可得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形与矩形位似， ∴ ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到是解答本题的关键． 6．按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 7．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 【答案】 / 【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比． 【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 8．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 9．已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为 ． 【答案】（4，6） 【分析】根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，即可得出对应点的坐标应乘以2，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得， ∴对应点的坐标应乘以2， ∵点的坐标为（2，3）， ∴点的坐标为，即（4，6） 故答案为（4，6）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解答本题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B，E在第一象限，若点A的坐标为（6，0），则点E的坐标是 ． 【答案】（9，9）． 【分析】根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3， ∴， ， 解得，OD＝9，OF＝9， 则点E的坐标为（9，9）， 故答案为：（9，9）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换的两个图形相似是解题的关键． 11．如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，与不是位似图形； (2)6 【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可； （2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； ∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点， ∴与不是位似图形； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 12．如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标． 【答案】或 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论是解题的关键； 当B与F是对应点时，利用待定系数法求出直线的解析式，再求得直线与y轴的交点，即可求出位似中心的坐标； 当C与E是对应点时，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：①若B和F是对应点，点A与点E是对应点，则位似中心在y轴上， 由题意可得，， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 当时，， 即位似中心是：； ②若点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 则， 解得：， 即位似中心是：， 综上所述：所述位似中心为：或． 13．如图，△ABC与△ADE是位似图形，试说明DE与BC是否平行． 【答案】BC∥DE 【分析】由两三角形位似可知其相似，则可得∠C=∠AED，故可得BC∥DE． 【详解】解：BC∥DE． 理由：∵△ABC与△ADE是位似图形， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠C=∠AED， ∴BC∥DE． 【点睛】本题考查了位似的概念，两位似图形一定相似. 14．如图，与位似，点O为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）由与的相似比为，可得，再求的长即可； （2）先求出的度数，再根据位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）∵与的相似比为， ∴， ∴． （2）∵，， ∴． ∵与位似，点O为位似中心， ∴， ∴， ∴． 15．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$