23.4 中位线（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第23章 图形的相似 23.4 中位线（4大题型提分练） 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，是的中位线，若，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在中，，点为的中点，，垂足为，点是的中点，则 ． 4．在中，D，E分别为的中点，若，则 ． 5．如图，在平行四边形 中，点 P 在上，连接，E、F分别为的中点，连接，若平行四边形 的周长为40， ，求的长． 题型二 三角形中位线与三角形面积问题 1．如图，在中，点D、E、F分别是边上的中点，且，则（    ）.    A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且，则的值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在与中，点，，分别是，，的中点，若的面积等于，则的面积为    4．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于 ． 5．如图，点A、B、C是4× 4网格上的格点，连接点A、B、C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，在AC上找一点M，使； （2）在图2中，在△ABC 内部（不含边界）找一点N，使． 题型三 与三角形中位线有关的证明 1．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 2．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 4．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 5．如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 题型四 三角形中位线的实际应用 1．如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 3．要测池塘B、C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段、，并取、的中点D、E，连接，测得米，则 米． 4．如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离．可以在外选一点连接，，并分别找出它们的中点，，连接．现测得，则 m． 5．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 1．如图，在中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，则（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．4 2．如图，在中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点P，取的中点Q，连结．若，则的面积为（    ） A． B． C． D．7 3．如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（　） A．4 B．5 C．6 D．8 4．已知D是中边上的点，连接并延长至点E，使得．当点D从点B运动到点C时，点E走过的距离d为（    ） A． B． C． D． 5．如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，，是边的中点，点是边的中点，若，则的长是 ． 7．如图，的面积是16，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则四边形的面积是 ．    8．如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．    9．如图，在四边形中，，连接，点分别为的中点，若，，则四边形的周长为 ． 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝ 11．如图，点D、E分别是的边、的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F，若，求的长． 12．在与中，，，．    (1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________． (2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由 (3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值． 13．如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 14．如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形，保留作图痕迹．    (1)在网格①中的边上找点，在边上找点，连接，使． (2)在网格②中的边上找点，连接，使． (3)在网格③中的边上找点，连接，使的面积是面积的4倍． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 图形的相似 23.4 中位线（4大题型提分练） 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，在中，根据点为中点可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，在中，点为的中点， ∴， 同理，在中，， 在中，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：B ． 2．如图，是的中位线，若，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，，点为的中点，，垂足为，点是的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识点，连接可得，求出；根据求出，再由求出即可. 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，点为的中点， ，， ， ， ， ． 为的中点， ． 故答案为：． 4．在中，D，E分别为的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线等于第三边长的一半进行求解即可． 【详解】解：∵在中，D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 5．如图，在平行四边形 中，点 P 在上，连接，E、F分别为的中点，连接，若平行四边形 的周长为40， ，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，先根据平行四边形对边相等结合其周长计算公式得到，再证明是的中位线，则． 【详解】解：∵平行四边形的周长为40，， ∴． ∵E、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 题型二 三角形中位线与三角形面积问题 1．如图，在中，点D、E、F分别是边上的中点，且，则（    ）.    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形中线的性质、 ，进而得到，最后再根据三角形中线的性质即可解答. 【详解】解：∵D是的中点， ∴, ∵E是的中点， ∴, ∴, ∵F是的中点， ∴. 故选B. 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线将三角形分成面积相等的两份是解答本题的关键. 2．如图所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且，则的值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】点D，E，F分别是，，的中点，可判断出，，，为，，，的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 3．如图，在与中，点，，分别是，，的中点，若的面积等于，则的面积为    【答案】10 【分析】根据线段的中点得出，依次求出、的面积，求出的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵点D，E，F分别是，，的中点， ， ∵的面积等于40， ， ，， ， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的中线及三角形的面积，能求出各个三角形的面积是解此题的关键． 4．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于 ． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵中边上的高与中边上的高相等， ∴， 同理，∵E是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴即阴影部分图形的面积为． 故答案为：2． 【点睛】本题考查利用中线的性质求三角形的面积，解题的关键是掌握“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”． 5．如图，点A、B、C是4× 4网格上的格点，连接点A、B、C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，在AC上找一点M，使； （2）在图2中，在△ABC 内部（不含边界）找一点N，使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据格线的特征找出AC的中点即可； （2）连接AB、AC的中点，则该线上的任一点都符合要求. 【详解】（1）在图1中，点M即为所求； （2）在图2中，点N即为所求． 【点睛】本题考查了三角形的面积及三角形的中位线，当三角形的底相同时，三角形的面积与高成正比例关系，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 题型三 与三角形中位线有关的证明 1．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 2．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线的性质，证明对边平行且相等，由此可得到平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，E，N，M，F分别是，，，的中点，连接，， ∵E，N，M，F分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 故选：A． 3．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 【答案】/37度 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，、、分别是，，的中点， ， ∵，， ，， ∴， ， 解得． 故答案为：． 4．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 【答案】平行四边 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理推出且，则可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：、分别是、的中点，、分别是、的中点， ，且， 且， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边． 5．如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证． 【详解】证明：∵ ∴点是的中点． ∵点F是的中点． ∴是的中位线， ∴ 题型四 三角形中位线的实际应用 1．如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴之间的距离是， 故选：D． 2．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 3．要测池塘B、C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段、，并取、的中点D、E，连接，测得米，则 米． 【答案】40 【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，根据三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：40． 4．如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离．可以在外选一点连接，，并分别找出它们的中点，，连接．现测得，则 m． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 根据中位线定理可得：． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可． 【详解】点，分别为，的中点， ， ∴ 答：、两地的距离为． 1．如图，在中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，则（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线和角平分线．熟练掌握三角形中位线的判定和性质，角平分线性质；等腰三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 根据中点性质得到，，根据的中位线性质得到，，，得到，根据角平分线定义得到，得到，得到，即得． 【详解】解：，分别是，的中点， 为的中位线， ，，， ． 的平分线交于点， ， ， ， ． 故选：B． 2．如图，在中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点P，取的中点Q，连结．若，则的面积为（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出的面积，再利用三角形中线的性质求解，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：∵，平分， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】延长交于E，利用“”证明得到，，再根据三角形的中线平分三角形的面积得到，进而可求解． 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， , ∴， ∴，， ∴，又， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，添加辅助线构造全等三角形求图形的面积是解答的关键． 4．已知D是中边上的点，连接并延长至点E，使得．当点D从点B运动到点C时，点E走过的距离d为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造三角形中位线定理，证明即可． 本题考查了三角形中位线定理的应用，正确构造三角形中位线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，延长到点M，使，延长到点N，使， ∵，， ∴是的中位线， 则， ∴点E在一条与平行的直线上运动． 当点D在点B时，点E在点M处；当点D在点C时，点E在点N处． ∴当点D从点B运动到点C时，点E从点M运动到点N． ∵B，C分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，点E在上运动， 当点D在点B时，点E在点M处；当点D在点C时，点E在点N处． ∴当点D从点B运动到点C时，点E从点M运动到点N． ∴． 故选：B． 5．如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 6．如图，在中，，，是边的中点，点是边的中点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 根据含角的直角三角形的性质得，根据三角形的中位线的性质即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， 是边的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 7．如图，的面积是16，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则四边形的面积是 ．    【答案】8 【分析】根据中线的性质，可得，同理可得，，，即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点D，E，F，G分别是，，，的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， 同理可得：，，， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形中线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 8．如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．    【答案】/0.6 【分析】取中点可证得，进一步推出故可得出结论． 【详解】解：取中点，则是中位线， ∴， ， ∴， ∴ 设，则，， ∴， 故答案为．    【点睛】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点．结合条件进行几何推导是解题关键． 9．如图，在四边形中，，连接，点分别为的中点，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理，三角形中位线的性质及判定，熟练掌握三角形中位线的性质及判定是解题的关键， 连接，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理分别求出、、、，计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 11．如图，点D、E分别是的边、的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定及性质；由三角形中位线定理得，，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质，即可求解；掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：D、E分别是的边、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 12．在与中，，，．    (1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________． (2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由 (3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值． 【答案】(1)，； (2)，；理由见解析； (3)最小值为2，最大值为8． 【分析】（1）延长交于，证明，得出，，根据，得出，即可得出结论； （2）延长交于点，交于点，通过证明，得出，，根据，，得出，即可得出结论； （3）连接，由（1）（2）同理可得，，，根据三角形的中位线定理可得，，进而得出，，则，当点E在上时，取最小值，此时也取最小值，则最小；当点E在延长线上时，取最大值，此时也取最大值，则最大． 【详解】（1）解：延长交于，    在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：，； 理由：延长交于点，交于点，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，； （3）解：连接，    由（1）（2）同理可得，， ∵点M，P，N为，，的中点， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵绕点B在平面内顺时针旋转， ∴点E在以点B为圆心，为半径的圆上运动， 当点E在上时，取最小值，此时也取最小值，则最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值；      当点E在延长线上时，取最大值，此时也取最大值，则最大， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值；      综上：最小值为2，最大值为8． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 13．如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质．熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是解决问题的关键． 取中点G，连接，根据三角形中位线定理可得到，由平行线的性质可得，从而可推出为等腰三角形，从而证得． 【详解】证明：连接，取中点G，连接， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 【答案】(1) (2) 【解析】略 15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形，保留作图痕迹．    (1)在网格①中的边上找点，在边上找点，连接，使． (2)在网格②中的边上找点，连接，使． (3)在网格③中的边上找点，连接，使的面积是面积的4倍． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据中位线性质可知，当是的中位线即可得到，取边上中点，边上中点，连接即可得到答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可知，根据，若要使，过点作交于，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式，和以边上的高为高，从而两个三角形高相等，若的面积是面积的4倍，则，取中点，再利用三角形中位线性质取中点，连接即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：   点、点即为所求； （2）解：如图所示：   点即为所求； （3）解：如图所示：   点即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是读懂题意，灵活运用所学的几何性质解决问题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$