4.5函数的应用（二）讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5函数的应用（二） 1、 【考点聚焦】 · 函数的零点与方程的解： （1） 零点：使的实数； （2） 方程的解与函数零点间的关系：方程的解函数的零点函数的图象与轴公共点的横坐标； （3） 函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间上至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解. · 二分法： （1） 定义：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法； （2） 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： ①确定零点的初始区间，验证； ②求区间的中点； ③计算，并进一步确定零点所在的区间： 1°若（此时），则就是函数的零点； 2°若（此时），则令； 3°若（此时），则令； 4°判断是否达到精确度：若，则得到零点近似度（或）；否则重复步骤2°—4°. · 一元二次方程的根的分布问题： 设是实系数一元二次方程的两个实数根，令，则的分布情况如下表： 根的分布 图象 等价条件 两根均小于 （） 两根均大于 （） 在区间内各有一根 （） 在区间内有两个根 （） 有且只有一根在区间内 或 · 建立函数模型解决实际问题： （1） 建立函数模型解决实际问题的一般流程： （2） 常见的函数模型： 常见的函数模型 模型特征 一次函数模型 （为常数，） 直线上升，增长速度不变 二次函数模型 （为常数，） 函数值增长速度介于指数函数的对数函数之间，且存在对称性 指数函数模型 （为常数，） 随着自变量的增大，函数值增长的速度越来越快，即增长速度急剧上升，即“爆炸式增长” 对数函数模型 （为常数，） 随着自变量的增大，函数值增长的速度越来越慢，即增长速度变得平缓 幂函数 （为常数） 随着自变量的增大，函数值增长的速度介于指数函数和对数函数之间 （3） 利用函数模型解决实际问题的步骤： ①审题——根据题干条件理顺各个量之间的数量关系； ②建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型； ③建模——推理并求解函数模型； ④还原——用得到的函数模型描述实际问题. 2、 【典例分析】 · 函数的零点问题： 1.函数的零点为（ ） 2.（2024河南洛阳段考）函数的零点所在区间为（ ） 3.（多选）函数的零点所在的区间是（ ） 4.对于函数，若，则（ ） 方程一定有实数解 方程一定无实数解 方程一定有两个实数解 方程可能无实数解 5.二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，且，则的取值范围是（ ） 6.已知函数的零点在区间上，则（ ） 7.（2024株洲期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ） 8.（多选）下列说法正确的是（ ） 若函数的图象在上连续不断，且，则函数在上无零点 函数有且只有1个零点 函数有两个零点 若函数，则函数有3个零点. 9.（2024福建泉州期末）函数的零点个数为 . 10.（2024北京期末）已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 . 11.已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 12.已知函数是定义在上的单调函数，且对于任意的，都有，13.若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为 . 14.已知函数. （1） 当时，函数在区间内有且只有1个零点，求实数的取值范围； （2） 当时，关于的方程在区间内有且只有1个实数根，求实数的取值范围. · 二分法： 1.已知函数，则用二分法求的零点时，其中一个零点的初始区间可以为（ ） 2.用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） 3.设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（ ） 不能确定 4.设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），部分数据如下： -0.5 0.125 0.4375 0.75 2 -2.29 -0.74 -0.12 0.49 3.58 依此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ） 5.一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测（ ） 次 次 次 次 6.求方程的近似解（精确度为0.1） · 函数零点综合问题： 1.已知，（其中），若是的一个零点，则的取值范围是（ ） 2.（多选）已知函数的零点分别为，则（ ） 3.设函数，若方程有3个实数解，则实数的取值范围为（ ） 4.已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） 5.（2023成都石室中学期中）已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（    ） 6.若关于的方程恰好有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 7.已知函数. （1） 若，求证：函数在上恰有一个零点； （2） 若函数且有三个零点，求实数的取值范围. · 函数的实际应用： 1.在当今这个5G时代，6G的研究方兴未艾.有消息称，未来6G通讯的速率有望达到，香农公式是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率和信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比.若不改变带宽，而将信噪比从3提升到99，则最大信息传递率大约会提升到原来的（参考数据：）（ ） 2.（2023成都石室中学期中）已知当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量与死亡年数的关系为.不久前，考古学家在某遗址中提取了数百份不同类型的样品，包括木炭、骨头、陶器等，得到了一系列的碳14测年数据，发现生物组织内碳14的含量是死亡前的.则可以推断，该遗址距离今天大约多少年（参考数据ln2≈0.7，ln3≈1.1） （ ） A．2355 B．2455 C．2555 D．2655 3.（2023成都七中期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（ ） A. B. C. D. 4.（多选）某食品的保鲜时间（单位：）与储存温度（单位：）满足函数关系（为常数）.若该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是，则下列说法正确的是（ ） 储存的温度越高，该食品的保鲜时间越长 该食品在时的保鲜时间是 该食品在时的保鲜时间是 5.在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，声强级（单位：）与声强度（单位：）之间的关系为，其中，为基准值，则声强级为60时的声强度为40时的声强度的 倍. 6.（2023成都石室中学期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图”如图，该函数近似模型如下：，又已知酒后1小时测得酒精含量值为46.18毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题： (Ⅰ)当时，确定的表达式； (Ⅱ)喝1瓶啤酒后多长时间后才可以驾车?（时间以整分钟计算） （附参考数据：，，） 3、 【课后习题】 1.若函数的两个零点为，则函数的零点是（ ） 2.已知函数，若，则函数的零点个数是（ ） 3.已知函数的图象与函数的图象有三个交点，分别为，则（ ） 4.（2024天津耀华中学期末）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ） 5.若，则方程在内的所有实数根之和为 . 6.（2023成都石室中学期中）设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 7.设是方程的两个实根，则 . 8.（2023成都石室中学期中）石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业. 为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查. 若商品进货价每件10元，当售卖价格(每件元)在时，本次活动售出的件数，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为 元． 9.（2023成都石室中学期中）已知函数且过定点，且点在函数的图象上. （1）求函数的解析式； （2）若定义在上的函数恰有一个零点，求实数的取值范围. 10.（2023成都七中期中）在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台（，）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）.（以下问题请注意定义域） （1）求收入函数的最小值； （2）求成本函数的边际函数的最大值； （3）求生产台光刻机的这种设备的的利润的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$