11.2.1. 三角形内角和 教学课件-2024-—2025学年人教版八年级数学上册

三角形的内角和 初中数学 八年级上册 人民教育出版社 1 为迎接十一国庆节，喜庆祖国75华诞.水泊梁山景区悉心筹备，运用“中国红”为主色调，在主要景点装扮红旗、悬挂红灯笼、摆放花盆营造节日气氛，勾勒一幅焕然一新的节日盛景. 现在景区工作人员想请同学们设计一些三角形图案的旗帜.那同学们认识三角形吗？三角形的三边有什么关系呢？那三角形的内角具有什么性质呢？这节课就让我们继续认识三角形. 国富民安，爱我中华 学习目标 1.探索并证明三角形的内角和定理；（重点） 2.获取添加辅助线的思路和方法，能用平行线的性质证明三角形内角和等于180°；（难点） 3.应用三角形内角和定理解决实际问题，提高发现问题和解决问题的能力.（重点） 3 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于 180° ，与三角形的 形状 大小 无关. 思考： 你有什么办法可以知道三角形的内角和为 180 °呢? 请同学们完成活动一. 活动提示 1.测量学案中三角形三个内角的度数，并计算三角形的三个内角的和. 2.两人一组，一人测量，一人记录计算. 3.观察计算结果，得出自己的猜想： . 活动一：量一量 温故 思考： 你还有什么办法可以验证三角形的内角和为 180 °呢? 请大家完成下面的活动二 . 活动二：拼一拼 合作交流 1.利用手中的三角形纸片，裁一裁，拼一拼； 2.组内交流，说说自己的想法. 思考1：如何通过剪拼的方式得到三角形的三个内角和是180°呢？并说明应用了什么知识点？ 温故 温故 B 移动一个角 移动两个角 温故 证明：过点C作CD∥AB ∴∠A=∠1，（两直线平行,内错角相等） ∠B+∠BCD=180°（两直线平行,同旁内角互补） ∴∠B+∠BCA+∠A= 180° （等量代换） 求证：∠A +∠B +∠C =180°. D A C B 辅助线添加 转 化 三角形内角和 同旁内角 思路总结 1 已知：△ABC； 题设 结论 命题：三角形的内角和等于180°. 知新 8 在刚才的拼剪环节，我们把三个角“凑”到顶点A处，想想还可以如何添加辅助线呢？ ∵∠1+∠BAC+∠2=180 °(平角的定义) (两直线平行,内错角相等) ∠B=∠1，∠C=∠2 证明:过点A作直线EF∥BC,则 ∴ ∠B+∠BAC+∠C=180 °(等量代换) F E A C B 2 1 3 辅助线添加 转 化 三角形内角和 平 角 思路总结 知新 A B C l 【证法二】 A B C l 【证法三】 A B C F D E 【证法四】 A B C l 【证法一】 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 辅助线 依据平角定义，得到180°； 两直线平行，同旁内角互补． 利用平行线的性质，转移角 添加平行线 （辅助线） 思路 （转化法） 归纳 一题多解 转化思想 几何语言： 在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°. 命题：三角形的内角和等于180°. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°. 归纳 1.如图，说出各图中∠1 的度数．　　 80° 45° 1 30° 106° 1 24° 1 （1） （2） （3） 55° 44° 66° 练习反馈 2.如图，已知∠A=30°,∠B=40°,∠C=50°,则∠D=____. A B C D E A B C D E 练习反馈 温馨提示： 独立审题， 圈画已知条件. 例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°, ∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 典例精析 解：由∠BAC ＝ 40°, AD是△ ABC 的角平分线，得 ∠BAD ＝ ∠BAC ＝ 20°. 在△ABD中， ∠ADB ＝180°－∠B－∠BAD ＝180° － 75°－ 20° ＝85°. 北 北 C A B D E 下图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 80° 40° 分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ABC ，∠ACB是△ABC的内角.如果能求出∠ABC，就能求∠ACB. ? ? ？ 50° ？ 能力提升 北 北 C A B D E 80° 40° ？ 50° ？ 解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD ＝ 80°－ 50° ＝ 30°. 由AD∥BE，得 ∠BAD＋∠ABE ＝ 180°. 在△ABC中， ∠ACB ＝ 180°－∠ABC －∠CAB ＝ 180°－60°－30°＝ 90°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°， 从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 所以∠ABE ＝ 180°－∠BAD ＝ 180°－80°＝ 100°， ∠ABC ＝ ∠ABE －∠EBC ＝ 100° － 40°＝ 60°. 能力提升 你还能想出其他解法吗？ C A B D E 1 2 【添加辅助线】 解：过点C作CF∥AD，则CF∥BE. ∠1 ＝ ∠3 ，∠2 ＝ ∠4 ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACB ＝ ∠1 ＋∠2 ＝ ∠3 ＋∠4 （等量代换） ＝ 50°＋ 40°＝ 90° ∠CAB ＝∠BAD － ∠3 ＝80 °－50 °＝30 °. 50° 40° 80° ∠ABC ＝ 180°－∠ACB －∠CAB ＝ 180°－90°－30°＝ 60°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. F 3 4 能力提升 畅想成果 求角度 证法 应用 转化为一个平角 或同旁内角互补 三角形的内角和等于180 ° 作平行线 转化思想 作业布置 基础题：P13练习 1题，2题；(必做) 能力提升题：P17 7题 .（必做） 拓展提高题： 我们已经知道三角形内角和等于 180°，那么，你能根据三角形内角和求出四边形内角和吗？五边形呢？ 1.在△ABC中，∠A=80°， ∠B=52°， 则∠C=_____. 2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:3:5,则最大的角为_____. 3.在△ABC中， ∠A=∠B=∠C，则∠A=____. 4.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C，则此三角形为三角形，若 ∠A+∠B<∠C，则此三角形是______三角形. 48° 100° 60° 钝角 达标检测 2.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°,从B处观测C处的仰角∠CBD=45°,从C处观测A、B两处的视角∠ACB是多少度？ 解：∵∠ABC+∠CBD=180° ∴∠ABC=180°-∠CBD=180°-45°=135° 在△ABC中， ∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC =180°-30°-135° =15° 达标检测 3. 如图，在 △ABC 中， ∠ABC ， ∠ACB 的平分线相交于点 O . （1） 若 ∠ABC=32∘， ∠ACB=58∘，求 ∠BOC 的度数； （2） 若 ∠A=76∘ ，求 ∠BOC 的度数. $$