函数的性质的综合应用之抽象函数专题讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2024-2025学年度高一上学期函数的性质的综合应用之 抽象函数专题 一、抽象函数概念 我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征. 二、抽象函数的解题核心---赋值法 1.“赋值法”求抽象函数的值 赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1, -1等),从而使问题获得简捷有效的解决。 注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等. （2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取. （3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）. 2.“赋值法”求抽象函数的解析式 赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题 设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。 3.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性 判断抽象函数的奇偶性的关键是得到与的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留与的关系。 注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律. （1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， （2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。 （3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。 三、抽象函数的几个应用 1、求抽象函数的定义域 ①已知的定义域，求的定义域： 若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域; ②已知的定义域，求的定义域： 若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域； ③已知的定义域，求的定义域: 可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域； ④运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集. 注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的. 2、求抽象函数的单调性 （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 3、求抽象函数的奇偶性 奇偶性：抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义，判断和的关系. 4、求抽象函数的周期性 函数周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 5、求抽象函数的周期性 1、轴对称： （1）函数关于直线对称 （2）函数关于直线对称. 2、中心对称： （1）函数关于点对称； （2）函数关于点对称 3、函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称. 四、常用结论 （1）如果函数有两条对称轴，则一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍. （2）如果函数有一条对称轴，一个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍. （3）如果函数有在同一水平线上的两个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍. 例1、（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 变式：（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 例2、（2023·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ． 变式1、（23-24高一上·全国·专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 变式2、（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）（多选）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 例3、（多选）（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（ ） A． B． C． D．为奇函数 变式1、（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 变式2、（2023上·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（ ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 变式3、（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且． （1）求，，的值； （2）判断的奇偶性，并证明． 例4、（2023上·山东·高一校联考期中）设是定义域为的偶函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 变式1、（2023·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，且对任意实数，满足，若，则（ ） A． B． C．0 D．1 变式2、（2023上·黑龙江佳木斯·高一佳木斯一中校考期末）已知是定义在上的函数，满足. (1)若，求； (2)求证：的周期为4； (3)当时，，求在时的解析式. 例5、（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，其图象关于点对称，且当时，，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D． 变式1、（2023上·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A． B．2 C．0 D．2023 变式2、（多选）（2023上·四川成都·高一四川省成都列五中学校考阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（ ） A． B．函数有对称中心 C．函数为奇函数 D．函数为减函数 变式3、（多选）已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ） A．关于对称 B．关于点对称 C． D． 一、单选题 1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数对于任意实数满足条件，若，则（    ） A． B． C． D．4 3．（湖北省部分学校2025届高一上学期第一次大联考）若对任意的，函数满足，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 4．（22-23高一上·辽宁抚顺·开学考试）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知函数对任意满足，任意，且，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·四川南充·开学考试）定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知函数的定义域均是满足，，则下列结论中正确的是（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C． D． 9．（24-25高一上·全国·阶段练习）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（    ） A．651 B．676 C．1226 D．1275 二、多选题 10．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知为奇函数，且对任意，都有，，则（    ） A． B． C． D． 11．（四川省2025届高一上学期10月阶段检测联考数学试卷）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的最小正周期为4 D． 12．（福建省百校联考2024-2025学年高一上学期10月联合测评数学试题）已知函数的定义域为R，对于，，恒有，且当时，，则下列命题正确的有（   ） A． B． C． D．， 13．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，且对任意，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是周期为4的奇函数 B．图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D． 14．（2024·吉林长春高一上·模拟预测）设，定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．为偶函数 D． 15．（山东省新高考联合质量测评2025届高一上学期10月联考数学试题）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 16．（24-25高一上·河北邯郸·开学考试）已知函数满足：，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D． 17．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D．是以8为周期的周期函数 三、填空题 18．（24-25高一上·福建宁德·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 19．（23-24高一上·吉林·阶段练习）若函数是R上的奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是 . 20．（24-25高一上·上海·开学考试）奇函数满足对任意都有，且，则 21．（23-24高一上·青海西宁·开学考试）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 ． 22．（24-25高一上·全国·阶段练习）定义在上的函数满足：①；②；③，则 ， ． 四、解答题 23．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 24．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知在上有意义，单调递增且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 25．（24-25高一上·吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)当时，，解不等式. 26．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令. (1)求实数的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，不用说明理由； (3)已知，且，证明：. 27．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 28．（24-25高一上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 29．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 30．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②当时，有．求证： (1)是奇函数； (2)．其中 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高一上学期函数的性质的综合应用之 抽象函数专题 一、抽象函数概念 我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征. 二、抽象函数的解题核心---赋值法 1.“赋值法”求抽象函数的值 赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1, -1等),从而使问题获得简捷有效的解决。 注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等. （2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取. （3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）. 2.“赋值法”求抽象函数的解析式 赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题 设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。 3.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性 判断抽象函数的奇偶性的关键是得到与的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留与的关系。 注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律. （1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， （2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。 （3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。 三、抽象函数的几个应用 1、求抽象函数的定义域 ①已知的定义域，求的定义域： 若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域; ②已知的定义域，求的定义域： 若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域； ③已知的定义域，求的定义域: 可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域； ④运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集. 注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的. 2、求抽象函数的单调性 （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 3、求抽象函数的奇偶性 奇偶性：抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义，判断和的关系. 4、求抽象函数的周期性 函数周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 5、求抽象函数的周期性 1、轴对称： （1）函数关于直线对称 （2）函数关于直线对称. 2、中心对称： （1）函数关于点对称； （2）函数关于点对称 3、函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称. 四、常用结论 （1）如果函数有两条对称轴，则一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍. （2）如果函数有一条对称轴，一个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍. （3）如果函数有在同一水平线上的两个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍. 例1、（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为.故选：C. 变式：（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 所以函数的定义域为， 由，得，所以函数的定义域为. 故选：B. 例2、（2023·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】令得， 令，得，则为奇函数， 设，则， 因为当时，，所以，则， 所以在R上单调递增． 由，得， 所以． 可化为，所以，解得． 变式1、（23-24高一上·全国·专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）令，得，则， 而， 又，所以； （2）任取，且，， 当时，，， ，即 在上为减函数． 变式2、（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）（多选）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 【答案】ABD 【解析】依题意，当时，恒有， 令，则，所以A选项正确. 不妨设，设，， 由于，所以， 所以，， 所以在为增函数，所以B选项正确. 设的符号无法判断， 所以的单调性无法判断，所以C选项错误. 由上述分析可知，函数在为增函数， 所以， 所以， 同理， 所以， 所以 ，所以D选项正确.故选：ABD 例3、（多选）（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（ ） A． B． C． D．为奇函数 【答案】ABD 【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有， 对于A中，令，得，所以A正确； 对于B中，令，得，则，所以B正确； 对于C中，令，得， 再令，得， 可得，所以C错误. 对于D中，令，得，则， 再令，得，则为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 变式1、（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确.故选：BCD. 变式2、（2023上·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（ ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】D 【详解】令，则，，，选项A错误； 令，，则，即，则，选项B错误； ，不是奇函数，选项C错误； 令，则，即，故，为偶函数，选项D正确； 故选：D． 变式3、（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且． （1）求，，的值； （2）判断的奇偶性，并证明． 【答案】（1），，；（2）偶函数，证明见解析 【解析】（1）令，得， 因为，所以． 令，得， 因为，所以． 令，得，即， 因为，所以，所以． （2）为偶函数． 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数． 例4、（2023上·山东·高一校联考期中）设是定义域为的偶函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为是偶函数，且， 所以 所以 所以 又因为，且是偶函数， 所以， 故选：C. 变式1、（2023·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，且对任意实数，满足，若，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】因为且， 令，， 则，故，即， 所以：，， 所以函数是周期为6的周期函数. 在中， 令，，得，则； 令，，得，则； 由得： ，，，， 所以 故由函数的周期性知中， 任意连续6个数之和为，而， 所以，故选：B 变式2、（2023上·黑龙江佳木斯·高一佳木斯一中校考期末）已知是定义在上的函数，满足. (1)若，求； (2)求证：的周期为4； (3)当时，，求在时的解析式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）∵， ∴. （2）∵对任意的，满足 ∴， ∴函数是以4为周期的周期函数. （3）设，则， ∵当时，， ∴当时，， 又∵， ∴ ∴. 例5、（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，其图象关于点对称，且当时，，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】由已知可得，. 因为是定义在R上的偶函数，所以，. 又的图象关于点对称，所以，.故选：B. 变式1、（2023上·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A． B．2 C．0 D．2023 【答案】C 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以且. 因为，所以 所以 所以是周期为4的周期函数. 因为， 所以在中令可得， 在令可得， 在令可得 所以. 故选：C 变式2、（多选）（2023上·四川成都·高一四川省成都列五中学校考阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（ ） A． B．函数有对称中心 C．函数为奇函数 D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】令，可得，再令，判断选项A；令，即可判断选项B；由，判断选项C；令,利用函数的单调性定义进行判断选项D. 【详解】由对于任意实数， ， 令，则，即, 再令,则， 即，故A正确; 令，则，即，故B正确； 由，则，即是奇函数，故C正确； 对于任意,则，当时，，则，所以单调递增，即单调递增，故D错误. 故选：ABC 变式3、（多选）已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ） A．关于对称 B．关于点对称 C． D． 【答案】BC 【解析】对于A项，因为为偶函数，所以关于对称. 若关于对称，则导函数关于点对称， 这与关于对称矛盾，所以A错误； 对于B项，因为为偶函数，所以，即， 所以，所以B正确； 对于C项，因为为偶函数，所以为奇函数， 所以关于对称，关于对称，所以. 又关于对称，所以. 所以，， 所以，故C正确； 对于D项，由A知，关于点对称，. 但无法确定.故D错误，故选：BC. 一、单选题 1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数对于任意实数满足条件，若，则（    ） A． B． C． D．4 3．（湖北省部分学校2025届高一上学期第一次大联考）若对任意的，函数满足，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 4．（22-23高一上·辽宁抚顺·开学考试）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知函数对任意满足，任意，且，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·四川南充·开学考试）定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知函数的定义域均是满足，，则下列结论中正确的是（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C． D． 9．（24-25高一上·全国·阶段练习）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（    ） A．651 B．676 C．1226 D．1275 二、多选题 10．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知为奇函数，且对任意，都有，，则（    ） A． B． C． D． 11．（四川省2025届高一上学期10月阶段检测联考数学试卷）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的最小正周期为4 D． 12．（福建省百校联考2024-2025学年高一上学期10月联合测评数学试题）已知函数的定义域为R，对于，，恒有，且当时，，则下列命题正确的有（   ） A． B． C． D．， 13．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，且对任意，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是周期为4的奇函数 B．图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D． 14．（2024·吉林长春高一上·模拟预测）设，定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．为偶函数 D． 15．（山东省新高考联合质量测评2025届高一上学期10月联考数学试题）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 16．（24-25高一上·河北邯郸·开学考试）已知函数满足：，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D． 17．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D．是以8为周期的周期函数 三、填空题 18．（24-25高一上·福建宁德·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 19．（23-24高一上·吉林·阶段练习）若函数是R上的奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是 . 20．（24-25高一上·上海·开学考试）奇函数满足对任意都有，且，则 21．（23-24高一上·青海西宁·开学考试）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 ． 22．（24-25高一上·全国·阶段练习）定义在上的函数满足：①；②；③，则 ， ． 四、解答题 23．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 24．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知在上有意义，单调递增且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 25．（24-25高一上·吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)当时，，解不等式. 26．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令. (1)求实数的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，不用说明理由； (3)已知，且，证明：. 27．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 28．（24-25高一上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 29．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 30．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②当时，有．求证： (1)是奇函数； (2)．其中 参考答案： 1．B 【分析】由求的范围，然后解不等式可得. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 由解得，所以函数的定义域为. 故选：B 2．D 【分析】根据函数关系计算得出函数周期为4，再结合已知求得，从而得解. 【详解】因为， 所以，则周期为4， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 3．D 【分析】用赋值法即可求解. 【详解】令，则由，可得， 所以为常数函数，令，可得，故. 故选：D. 4．B 【分析】由函数奇偶性与已知关系，证明是周期函数，利用函数周期性与奇偶性结合已知条件，求函数值即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 则，故是以为周期的周期函数， 由，则. 故选：B. 5．B 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质及赋值法逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由为奇函数，得，则，，A错误； 对于D，由，得，则，D错误； 对于B，由，得，则， ，又，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C错误. 故选：B 6．D 【分析】由已知可得的图象关于直线对称轴，在上单调递增，在上单调递减，结合函数单调性和对称性解不等式. 【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线， 因为函数对任意，都有， 又，所以对任意，都有， 所以函数在上单调递增，则有在上单调递减， 因为，所以，即，解得． 所以不等式的解集是. 故选：D. 7．C 【分析】先根据以及求出，再根据函数的单调性以及定义域即可求解. 【详解】解： ， 即， ， ，可转化为：， 即， 即， 满足，且，有， 在上单调递增， 即 ， 解得：， 即不等式的解集为：. 故选：C. 8．D 【分析】关键是利用恒等式的赋值思想，求出一些常数值，如，，有了这两个值，就可以把原恒等式化为，，这样对函数的研究就具了周期性和轴对称性，从而再作出选项判断. 【详解】令代入得：， 又由，可得，所以的图象不过原点，故A错误； 令代入得：， 再令代入得：， 由上两个式子可得， 再令代入得：， 因为，所以，即，结合上式可知， 令代入可知，， 再令代入得：，可知， 再令代入得：，由上式可知，， 结合，所以， 因为，，所以不可能为偶函数，故B错误； 再令代入得：， 由上式可知， ，故C错误； 再把用代入可得：， 再令代入得：， 从而可知，结合可得， ，故D正确； 故选：D. 9．A 【分析】由条件可以推出，结合，即可求解. 【详解】由， 所以， 即， 所以 . 故选：A. 10．AB 【分析】由为奇函数可得到的图象关于点对称，由得到的图象关于直线对称，结合两者得到的周期为8，进而化简即可求解. 【详解】由为奇函数，可得，即， 则的图象关于点对称，所以， 又，所以的图象关于直线对称， 结合得， 即，所以，所以 则是以8为周期的周期函数，所以， ，，， 故选：AB. 11．AB 【分析】由可判断A选项；由可得，结合奇偶性可判断B选项；由题意化简可得，可判断C选项；用代入得，用，代入可得，可判断D选项. 【详解】对于A：因为，故函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：由，故为奇函数，故B正确； 对于C：因为 所以，即，故的最小正周期为2，故C错误； 对于D：由题意可得， 对于，令可得，故D错误. 故选：AB. 12．ACD 【分析】对于A，令即可判断；对于B，令，结合即可判断；对于C，由B选项分析即可判断；对于D，由单调性的定义结合的性质即可判断. 【详解】对于A，令，得，A正确； 对于B，令得，，结合A知，图象关于点中心对称，B错误； 对于C，结合B知，取得，C正确； 对于D，设，则， 由于，，，为R上的减函数，D正确． 故选：ACD． 13．ABD 【分析】由赋值法可得是定义在上的奇函数，则，结合可得函数的图象关于直线对称，且是以4为周期的周期函数，从而可判断AB选项，由条件，可得在上为增函数，结合函数的对称性和周期性可判断CD选项. 【详解】任意，有， 令，则，解得， 任意，令，则， 即，所以是奇函数，则的图象关于原点对称； 又，则函数的图象关于直线对称； 又，则， 所以函数为周期函数，4为函数的一个周期， 故A正确，B正确； C项，对任意，都有， 故在单调递增，又图象关于原点对称， 则在单调递增，又的图象关于直线对称， 则在单调递减，故C错误； D项，由的周期为4，且的图象关于直线对称， 则，故D正确： 故选：ABD. 14．ABD 【分析】对于A，令，又，即可求得；对于B，令，再由，即可推得；对于C，令，可得，从而为奇函数；对于D，可推得，即的周期为，则. 【详解】对于A，令，得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，代入可得， 因为，所以， 从而，故B正确； 对于C，令，代入得， 又因为对，恒成立且不恒为0， 所以，从而为奇函数， 又不恒等于0，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以为的周期， 所以，故D正确． 故选：ABD． 15．BCD 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；然后令可判断奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 16．ACD 【分析】通过代入特殊值即可判断AB两个选项，将代入关系式即可得到关系式，从而判断出C选项，由C中的关系式判断出D选项. 【详解】取，代入， 得，解得，故A正确，B错误； 令，则，即， 故， 所以是周期为6的周期函数，故C正确； 又，，所以，故D正确． 故选：ACD 17．ACD 【分析】根据偶函数和奇函数以及，令联立方程组即可得到函数的对称性以及的周期性，即可判断A，C，D选项， 由的对称性可知，通过累加法即可判断B选项. 【详解】A选项，由题意，，所以①， 令，则②， ①+②得，，则的图象关于中心对称，故A正确； B 选项，令，则， 因为为偶函数，则，则 令，； 令，，， 令，， 所以， 所以，故B错误； D选项，因为为定义为R上的偶函数，且的图象关于中心对称，则函数具有周期性，且周期为，故D正确. C选项，由①知，则，则，故C正确； 故选：ACD 18． 【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可． 【详解】由，得，所以函数的定义域为． 故答案为： 19． 【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而得到不等式的解集. 【详解】因为为R上的奇函数，则，在上是增函数，则在上也单调递增， 又，故， 当或时，，当或时，， 故当时，，满足， 当时，，满足， 综上，的解集为. 故答案为： 20． 【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为为奇函数，所以， 即，则有， 所以函数是以4为周期的周期函数， 所以， 因为奇函数的定义域为，所以， 在中，令，则有，所以， 在中，令，则有，所以， 所以， 故答案为：. 21．1 【分析】根据题意可得函数的周期为4，再由解析式可求得一个周期内的函数值，即可得出答案. 【详解】由得， 所以函数是周期为4的周期函数， 又是奇函数，所以，，，， 所以， 可得. 故答案为：1 22． 1 【分析】利用赋值法可得，，进而根据条件③得均有，即可赋值求解. 【详解】在①中，令，得， 在②中，令，得， 在①中，令，得，所以； 在②中，令，得， 由③知，在上非严格单调递增，又因为，所以均有． 注意到，因此， 于是 , 故答案为：1， 23． 【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果. 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，通过令，即可证明结果； （2）根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求出结果. 【详解】（1）因为，令，得到， 所以. （2）， 又函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的的解集为. 25．(1)， (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，即可求得答案； （2）利用赋值法结合奇偶函数的定义即可得结论，进而证明； （3）判断出函数的单调性，利用单调性可得不等式，求得答案. 【详解】（1）令，得，所以. 令，，得， 所以. （2）为奇函数，证明如下： 由题意，任意x，， 令得，，即， 所以函数为奇函数. （3）设，，且，则， 所以， 所以， 故在上为增函数. 等价于， 所以，解得， 故原不等式的解集为. 26．(1)， (2)在上单调递增，在上单调递减 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，令和，得到，再由二次函数的性质，求得，得到，进而得到的解析式； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由，化简得到，结合基本不等式，即可得证. 【详解】（1）解：由，均有且， 令，可得， 令，可得. 因为曲线与恰有一个交点且交点横坐标为，所以， 又因为曲线与恰有一个交点，所以有两个相等的实数根， 则， 因为，可得，解得， 所以，则. （2）函数在上单调递增，在上单调递减. 设且， 则 ， 其中 当时，，则，即， 此时函数在上单调递增； 当时，，则，即， 此时函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （3）证明：因为， 由，可得，即， 所以，整理得， 又因为，由基本不等式，可得. 27．(1)奇函数 (2)，作图见解析 (3)或． 【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可； （2）根据求解即可； （3）利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）令可得：，故， 令可得：，故． 又函数的定义域是，故函数为奇函数． （2）令，则，故 ， 又，所以，， 综上可知，． 故函数图像如下：    （3）由（2）可知，函数为上的增函数， 因为． 所以． 所以，解得或． 28．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数； （2）令，求得，再由，求得，进而得出，即可证明结论； （3）由（2）可得不等式可变为，结合（1）可求得不等式的解集. 【详解】（1）设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； （2）因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． （3）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 29．(1)， (2)证明见解析 (3)或， 【分析】（1）令以及即可求解， （2）令，即可根据偶函数的定义求解， （3）先得出，根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】（1）令得：，故， 令得：，故. （2）因为是定义在非零实数集上的函数， 令，故， 为偶函数； （3）在上单调递增，且为偶函数， 故在上是减函数，由于， 则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为或. 30．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）令代入，得到． 令，得，即． ∴在上是奇函数． （2） ， ∴ ． ，，． 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$