13.1.1等腰三角形同步练习 2024-2025学年人教版数学八年级上册

等腰三角形-同步练习 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，点D和E分别在和上，且，连接，过点A 的直线与平行，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，点E在上，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，若，，则图中全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 4．中，平分于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 6．如图，在中，， 为边 上的中线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D．平分 8．如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 11．如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，平分是的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 15．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 16．由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（    ）    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 17．下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（    ） A． B． C． D． 18．在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　）    A．4 B．6 C．8 D．10 19．如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 20．如图，在中，，，以为圆心、任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以、为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下列说法：①是的平分线：②；③点在的垂直平分线上；④点是线段的中点． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 21．如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（   ） A．8 B．9 C．9.5 D．10 二、解答题 22．如图，是上一点，，，．求证：平分． 23．已知：如图，在中，，点，在边上，且求证：．求证：． 24．如图，是的外角的平分线，且，，，求的周长． 25．如图，已知在四边形中，，．求证：是的平分线． 26．如图已知，，，， 求证：． 27．如图，是的角平分线，过E作交的外角的平分线于点F，交边于点G． (1)的大小为__________度； (2)求证：G为线段的中点． 28．已知：如图，，垂足分别为E、D．    (1)求证：； (2)连接，判断直线与的关系． 29．如图，中，平分，平分，过点作的平行线，交于，交于，若，，求的周长． 30．如图，是上一点，且． (1)求证：． (2)若，求梯形的面积． 31．如图，已知在中，厘米，厘米，点D为的中点，点P在线段上以3厘米/秒如果点P在线段上以3厘米每秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若点Q的运动速度与点p的运动速度相等，经一秒后，三角形与三角形是否全等，请说明理由； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度是多少时，能够使三角形与三角形全等？ 32．如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，． (1)，请你说明理由． (2)求的度数． (3)点关于直线的对称点为，连接，．补全图形，判断与之间的数量关系并说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等腰三角形-同步练习 --参考答案 1．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，再由等边对等角得到，据此根据三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先依据等边对等角的性质得到，然后再结合全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：连接BC， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴， ∵在和中，， ∴． 故选C． 4．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由“”可证可得可判断①④，由等腰直角三角形的性质可判断②③. 【详解】解：∵平分 且， 平分 ∴①④正确， ， 且， ∴ ∴， ∴②正确，③错误， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一得出，再由三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形底边上三线合一及三角形全等的判定，根据垂直平分线得到，，，根据可证，根据三线合一可得平分，即可得出结论． 【详解】解∶∵垂直平分， ∴，，， ∴平分， ∵，，， ∴， 由条件无法得, ∴选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】是的中线，，， ， 是的角平分线， ， ∴． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵不一定成立， ∴故C错误，符合题意，A、B、D正确，不符合题意． 故选：C． 10．C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，连接，由三线合一定理得到，再由三角形面积计算公式得到，由作图方法可知，垂直平分，则，故当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，为的中点， ∴， ∵的面积为16， ∴， ∵， ∴； 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为8， 故选：C． 11．D 【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，根据三角形内角和得到，再根据等边对等角及三角形内角和得到，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 12．C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，和三角形的面积公式，熟练掌握其性质是解题的关键．根据等腰三角形三线合一可判定，，结合三角形面积公式，以及是的中点，可得，无法根据已知条件推出，即得解． 【详解】解：A． 平分，根据等腰三角形三线合一， ，该选项正确，不符合题意； B． 平分，根据等腰三角形三线合一，，该选项正确，不符合题意； C．根据已知条件，不能推出，该结论错误，符合题意； D． ，，又，， ，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 13．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 【详解】解：如图， 当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， ∴点C的个数有3个， 故选：C． 14．C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 15．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 16．C 【分析】本题考查了复杂作图，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据作图痕迹判断是否符合题意即可． 【详解】解：①根据作图得，故，符合题意； ②根据作图得，不符合题意； ③根据作图得   平分，， ∴， ∴， ∴， 因此③符合题意； ④根据作图得，不符合题意， ∴符合题意的有①③， 故选：C． 17．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，根据题意结合等角对等边进行画图求解即可． 【详解】解：A、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； B、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； C、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； D、不可以裁成两个等腰三角形，符合题意； 故选D． 18．D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等边对等角，先由平行线的定义得，再由，得出进行角的等量代换以及等角对等边，则，，即可作答． 【详解】解：∵分别平分，    ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，， ∴， 故选：D． 19．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．由得到，，由等角对等边判定，继而可求． 【详解】解：平分，， 则，， 又∵， ∴， ，， ∴ 又， ， ∴， 故选：C． 20．C 【分析】利用基本作图可判断①；利用角平分线的定义计算出，可得的度数，可判断②；由得到，根据线段垂直平分线的判定可判断③；根据直角三角形中斜边长大于直角边长可得，可判断④． 【详解】解：由作图可知：是的平分线，故说法①正确； ∵中，，， ∴， ∴， ∴，故说法②正确； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故说法③正确； ∵在中，， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴点不是线段的中点，故说法④错误， 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查作图—基本作图，角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，等角对等边，垂直平分线的判定，熟知角平分线的作法是解题的关键． 21．C 【分析】本题考查角分线定义、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，解题关键是通过作辅助线找出与面积相关的面积最大的条件．延长构造等腰三角形，与垂直时三角形的面积最大． 【详解】解：延长与交于点， ∵平分于， ∴，， ∴， ∴，为中点， ， ， ， 当时，面积最大， ∴此时面积最大， ， 故选：C． 22．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由已知条件可证得，于是可得，由等腰三角形的性质可得，于是可得，然后由角平分线的定义可得结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ， ， 平分． 23．见解析；见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先证明，再根据即可得出结论． 【详解】证明：，， ，， ， 在与中， ， ． 24． 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的判定，关键是掌握等角对等边．由是的角平分线，可得，再由平行线的性质可得，，得出，再由等角对等边可得，最后求解即可． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ，， ， ， 周长． 25．见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等边对等角等知识，熟练三角形全等的判定，合理的添加辅助线是解题的关键． 延长至点，使得，先证明和全等，利用全等的性质和等边对等角得到即可． 【详解】证明：延长至点，使得，连接，   ，， 在和中， ， ， ， ， 是的平分线． 26．见解析 【分析】本题考查三角形全等判定与性质，等角对等边，熟练掌握两个直角三角形全等的判定是解决问题的关键．证，得，在根据等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 27．(1)90 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的相关计算，等角对等边，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键 （1）根据角平分线的定义可以得到，，结合，即可得出结果； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，利用等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ， 故答案为：90； （2）， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 为线段的中点． 28．(1)见解析 (2)垂直平分 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得，进而可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：垂直平分，理由如下：如图，   ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分． 29．13 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得,同理可得，从而确定出等腰三角形，再求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ； 同理：， 的周长， ， ， ， ∵，， 的周长． 30．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． （1）由，可得，根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可； （2）根据全等可得，再利用梯形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：， ， 而， 在和中， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 梯形的面积． 31．(1)全等，理由见解析 (2)Q的运动速度是厘米/秒时，与全等 【分析】此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等； （2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度． 【详解】（1）解：与全等， 理由如下： 依题意得：， ， ， 为的中点， ， 在与中， ， ； （2）， ， 又， ， ∴点P，点Q运动的时间（秒）， （厘米/秒）． 32．(1)理由见解析 (2) (3)补全图形见解析，，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，再证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）可知，，，然后由求解即可； （3）根据题意补画图形，结合轴对称的性质可得，，，进而证明，易得，结合可知，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴； （3）如图，，理由如下： ∵点与关于对称， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$