第二章 实数单元检测卷 2024—2025 学年北师大版数学八年级上册

北师大八年级（上） 第二章 实数 单元检测题 第 卷 选择题 (共 30 分) 一、选择题 (本大题共 10 个小题, 每小题 3 分, 共 30 分. 在下面各小题中, 均给出四个备选答案, 其中只有一个正确答案, 请将正确答案的字母代号填入下表相应题号的空格内) 1.49 的算术平方根是( ) A. 7 B. -7 C. D. 2. 若 为二次根式,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 3. 下列式子中,属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是( ) A. 实数分为正实数和负实数 . 若一个数的平方根等于它本身,则这个数是 0 或 1 . 所有的无理数都可以用数轴上的点表示 . 两个无理数的和还是无理数 5. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 6. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 的三个顶点 均在网格的格点上,则 的三条边中边长是无理数的有( ) A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 3 条 7. 若 ,且 ,则 的值为( ) A. -1 B. 5 或 5 C. 5 D. -5 8. 如图,数轴上点 表示的数分别为 . 若点 是 的中点,则点 所表示的数是 ( ) A. B. C. D. 9. 把长为 4,宽为 3 的长方形割补成一个正方形,则这个正方形的边长为( ) A. 4 B. 5 C. D. 10. 计算 的结果估计在( ) A. 6 到 7 之间 B. 7 到 8 之间 C. 8 到 9 之间 D. 9 到 10 之间 第 卷 非选择题 (共 90 分) 二、填空题 (本大题共 5 个小题, 每小题 3 分, 共 15 分. 请将正确答案填在题中横线上) 11. 若 ,则 . 12. 若实数 满足 ,则 的值是 . 13. 如果最简二次根式 与 可以合并,那么的值为 . 14. 如果直角三角形的两条直角边长分别为 ,那么这个直角三角形斜边的长为 15. 已知 ,那么 的大小关系是 . (填“ ”“ ”或“ ”) 三、解答题 (本大题共 8 个小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题 8 分) 把下列各数分别填在相应的集合中: 有理数集合 无理数集合 17. (本题共 2 个小题, 每小题 4 分, 共 8 分) 计算: (1) ; (2) . 18. (本题 8 分) 已知一个正方体的体积是 ,现在要在它的 8 个角上分别截去 8 个大小相同的小正方体,使截去后余下的体积是 . 问: 截得的每个小正方体的棱长是多少? 19. (本题 9 分) 如图, 的直角边 在数轴的正半轴上,点 与原点重合,且 , ,在 上截取 ,以点 为圆心,以 的长为半径作弧,交数轴于点 . (1) 点 对应的实数是; (2) 若点 在数轴上与原点相距 个单位长度,求 两点之间的距离. 第 19 题图 20. (本题 10 分) 王老师给同学们布置了这样一道习题: 一个数的算术平方根为 ,它的平方根为 ,求这个数. 小张的解法如下: 由题意,可知 是 中的一个. 当 时,解得 . 所以这个数的算术平方根为 , 所以这个数为 . 当 时,解得 . 所以这个数的算术平方根为 , 所以这个数为 . 综上可得这个数为 4 或 . 21. (本题 10 分) 全球气候变暖导致一些冰川融化并消失, 在冰川消失 12 年后, 一种植物苔藓就开始在岩石上生长, 每一个苔藓都会长成近似圆形, 苔藓的直径和冰川消失的年限近似地满足关系式: ,其中 代表苔藓的直径,单位为厘米, 代表冰川消失的时间,单位为年. (1) 计算冰川消失 16 年后苔藓的直径; (2) 如果测得一些苔藓的直径是 21 厘米, 那么冰川大约是在多少年前消失的? 22. (本题 10 分) 观察下列式子: 第 1 个: ; 第 2 个: ; 第 3 个: ; 第 4 个: ; ......... (1) 试写出第 个式子 (用含 的代数式表示); (2) 第 16 个式子的值应在哪两个相邻的整数之间? 试说明理由. 23. (本题 12 分) 阅读材料: 小明在学习了二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如 . 善于思考的小明进行了以下探索: 设 (其中 均为正整数),则有 . 所以 . 这样小明就找到了一种把类似 的式子化为另一个式子平方的方法. 请你仿照小明的方法解决下列问题: (1) 若 ,用含 的式子分别表示 ,则 _____( , 均为正整数); (2) 若 ,且 均为正整数,求 的值; (3) 试化简: . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大八年级（上） 第二章 实数 单元检测题 第 卷 选择题 (共 30 分) 一、选择题 (本大题共 10 个小题, 每小题 3 分, 共 30 分. 在下面各小题中, 均给出四个备选答案, 其中只有一个正确答案, 请将正确答案的字母代号填入下表相应题号的空格内) 1.49 的算术平方根是(A) A. 7 B. -7 C. D. 2. 若 为二次根式,则 的取值范围为(C) A. B. C. D. 解析: 因为 为二次根式,所以 ,所以 . 3. 下列式子中,属于最简二次根式的是(B) A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是(C) A. 实数分为正实数和负实数 . 若一个数的平方根等于它本身,则这个数是 0 或 1 . 所有的无理数都可以用数轴上的点表示 . 两个无理数的和还是无理数 5. 下列计算正确的是(B) A. B. C. D. 6. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 的三个顶点 均在网格的格点上,则 的三条边中边长是无理数的有(C) A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 3 条 解析: 由题意,得 ,所以 与 的长是无理数, 即边长为无理数的有 2 条. 7. 若 ,且 ,则 的值为(B) A. -1 B. 5 或 5 C. 5 D. -5 解析: 因为 ,所以 . 因为 ,所以当 时, ; 当 时, . 8. 如图,数轴上点 表示的数分别为 . 若点 是 的中点,则点 所表示的数是 (D) A. B. C. D. 解析: 设点 表示的数是 . 因为点 是 的中点,所以 解得 . 9. 把长为 4,宽为 3 的长方形割补成一个正方形,则这个正方形的边长为(D) A. 4 B. 5 C. D. 解析: 长方形的面积为 ,则割补成的正方形的面积为 12,边长为 . 10. 计算 的结果估计在(C) A. 6 到 7 之间 B. 7 到 8 之间 C. 8 到 9 之间 D. 9 到 10 之间 解析: 原式 . 因为 ,所以 第 卷 非选择题 (共 90 分) 二、填空题 (本大题共 5 个小题, 每小题 3 分, 共 15 分. 请将正确答案填在题中横线上) 11. 若 ,则 . 12. 若实数 满足 ,则 的值是 _____. 解析: 由题意可得 ,所以 . 13. 如果最简二次根式 与 可以合并,那么 解析: 由题意可知 ,解得 . 14. 如果直角三角形的两条直角边长分别为 , 那么这个直角三角形斜边的长为 解析: 由勾股定理可知斜边长为 . 15. 已知 ,那么 的大小关系是 . (填“ ”“ ”或“ ”) 解析: 因为 ,所以 . 三、解答题 (本大题共 8 个小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题 8 分) 把下列各数分别填在相应的集合中: . 有理数集合 无理数集合 17. (本题共 2 个小题, 每小题 4 分, 共 8 分) 计算: (1) ; 解: (3 分) (4 分) (2) . 解: (2 分) (3 分) . (4 分) 18. (本题 8 分) 已知一个正方体的体积是 ,现在要在它的 8 个角上分别截去 8 个大小相同的小正方体,使截去后余下的体积是 . 问: 截得的每个小正方体的棱长是多少? 解: 由题意, 得截去的每个小正方体的体积是 所以每个小正方体的棱长是 . (8 分) 19. (本题 9 分) 如图, 的直角边 在数轴的正半轴上,点 与原点重合,且 , ,在 上截取 ,以点 为圆心,以 的长为半径作弧,交数轴于点 . (1) 点 对应的实数是; (2) 若点 在数轴上与原点相距 个单位长度,求 两点之间的距离. 第 19 题图 解: (2) 因为点 在数轴上与原点相距 个单位长度,所以点 对应的数为 或 . (4 分) 当点 对应的数为 时, ; (6 分) 当点 对应的数为 时, (8 分) 综上, 两点之间的距离为 或 . (9 分) 20. (本题 10 分) 王老师给同学们布置了这样一道习题: 一个数的算术平方根为 ,它的平方根为 ,求这个数. 小张的解法如下: 由题意,可知 是 中的一个. 当 时,解得 . 所以这个数的算术平方根为 , 所以这个数为 . 当 时,解得 . 所以这个数的算术平方根为 , 所以这个数为 . 综上可得这个数为 4 或 . 你认为小张的解法对吗? 如果不对, 请改正. 解: 小张的解法不对. (2 分) 正解: 由题意,可知 是 中的一个. (4 分) 当 时,解得 . (5 分) 所以这个数的算术平方根为 . 所以这个数为 . (6 分) 当 时,解得 所以这个数的算术平方根为 (算术平方根不能小于 0,故舍去). (9 分) 综上可得这个数为 21. (本题 10 分) 全球气候变暖导致一些冰川融化并消失, 在冰川消失 12 年后, 一种植物苔藓就开始在岩石上生长, 每一个苔藓都会长成近似圆形, 苔藓的直径和冰川消失的年限近似地满足关系式: ,其中 代表苔藓的直径,单位为厘米, 代表冰川消失的时间,单位为年. (1) 计算冰川消失 16 年后苔藓的直径; (2) 如果测得一些苔藓的直径是 21 厘米, 那么冰川大约是在多少年前消失的? 解: (1) 当 时, (厘米). (4 分) 答: 冰川消失 16 年后苔藓的直径为 14 厘米. (5 分) (2) 当 时, ,解得 (年). (9 分) 答: 冰川大约是在 21 年前消失的. (10 分) 22. (本题 10 分) 观察下列式子: 第 1 个: ; 第 2 个: ; 第 3 个: ; 第 4 个: ; ......... (1) 试写出第 个式子 (用含 的代数式表示); (2) 第 16 个式子的值应在哪两个相邻的整数之间? 试说明理由. 解: (1) 第 个式子: . (4 分) (2) 第 16 个式子的值在 15 和 16 之间.(5 分) 理由: 第 16 个式子为 因为 , 所以 ,(9 分) 即第 16 个式子的值在 15 和 16 之间. 23. (本题 12 分) 阅读材料: 小明在学习了二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如 . 善于思考的小明进行了以下探索: 设 (其中 均为正整数),则有 . 所以 . 这样小明就找到了一种把类似 的式子化为另一个式子平方的方法. 请你仿照小明的方法解决下列问题: (1) 若 ,用含 的式子分别表示 ,则 _____( , 均为正整数); (2) 若 ,且 均为正整数,求 的值; (3) 试化简: . 解: (1) (2) 由题意,得 . (5 分) 因为 均为正整数, 所以 或 所以当 时, ; 当 时, 所以 的值为 7 或 13. (9 分) (3) 学科网（北京）股份有限公司 $$