专题17圆锥曲线的综合应用（3知识点+6重难点+5技巧+3易错）-【上好课】-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题17 圆锥曲线的综合应用 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置判断 设直线方程为，椭圆方程为 联立消去y得一个关于x的一元二次方程 ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程 ， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）．（具体同椭圆相同） 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况 相交（有两个公共点或一个公共点）； 相切（有一个公共点）； 相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 3、直线与抛物线相交弦长问题 （1）一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. ①弦长公式：（为直线的斜率，且）. ②, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. ③直线的方程为. （2）焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦， 设，，的中点， 过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； ①以为直径的圆必与准线相切. ②(焦点弦长与中点关系) ③. ④若直线的倾斜角为，则. ⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. ⑥为定值. 重难点01 求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，点在椭圆上， 代入椭圆方程，有，解得， 且，可得 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，由 消去，整理得， 因为直线交椭圆于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于直线对称， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 【典例2】（23-24高三下·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【答案】(1);(2)证明见解析 【解析】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故，解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 【典例3】（24-25高三上·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)；(2)过定点，定点为原点. 【解析】（1）设动圆圆心， 当时，依题意，，即； 当时，点C的轨迹为点，满足， 所以点C的轨迹方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线l方程为：，， 由消去x并整理得，恒成立， 则，令圆心为，则，，， 直径， 则圆的方程为， 当时，， 因此对于，圆恒过原点， 所以存在定点，以MN为直径的圆过定点. 重难点02 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【典例1】（24-25高二上·江苏南通·月考）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设，则有， 且，作差可得， 所以， 由点斜式得，， 整理得即为直线的方程. （2）不妨设的直线方程为， 联立，消去整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为， 所以为定值. 【典例2】（23-24高三下·河南郑州·月考）已知双曲线的右焦点为，双曲线的上焦点为，直线，且既是的渐近线也是的渐近线． (1)求的方程； (2)过作与轴不垂直的直线与的右支交于点，若点在轴上，且，求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析，． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为， 由题意得直线的斜率为负，又直线，则的方程为， 故直线的斜率为， 所以，，， 又，所以， 所以，，的方程为； （2）证明：由（1）知，设直线的方程为（且）， 与联立得， 设，，中点为， 则，，， 设，由得点在线段的垂直平分线上， 所以，， ， 所以， 所以为定值． 【典例3】（23-24高三下·重庆·模拟预测）已知抛物线：与双曲线：相交于点． (1)若，求抛物线的准线方程； (2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析，. 【解析】（1）由，得，将其代入，得， 所以抛物线的方程为，其准线方程为. （2）由，得， 由直线与相切，得，解得，切点， 由，得， 由直线与相切，得，解得，切点， 于是，令，则直线的方程为， 点，由，得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 所以的面积为定值，该定值为. 重难点03圆锥曲线中的定直线问题 一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与圆锥曲线方程，根据根与系数的关系以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系，从而可确定结果(一般得到动点横坐标或纵坐标为定值)． 【典例1】（23-24高三下·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为是上一点，且点到点的距离之和为. (1)求的方程； (2)斜率为的直线与交于两点，则的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）由题意，得，解得， 故的方程为. （2）的外心在定直线0上.理由如下： 由题意设直线的方程为， 联立，得， 所以， 即，且. 设的中点为， 则， 所以 ， 即直线与的斜率互为相反数. 设直线的方程为，即. 联立，得， 则， 所以， 所以， 即， 所以线段的垂直平分线的方程为， 即①. 直线的方程为，同理可得线段的垂直平分线的方程为 ② 联立①②，得， 得， 故的外心在定直线上. 【典例2】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)；(2)证明见解析； 【解析】（1）由双曲线焦距为4可得，，即①. 故右焦点为，由， 令，得，则②， 联立①②解得，. 故双曲线的标准方程为； （2）由题意知，过右焦点的动直线若与左、右两支都相交，故直线斜率存在， 可设方程为， 联立，消得， 则由题意，且， 设， 由韦达定理知，， 由直线与左、右两支都相交，则，得. 又， 直线的方程为③， 直线的方程为④， ④③得，， 由 ， 故，解得， 当时，不论取何值，点横坐标为常数， 即直线和的交点为在定直线上. 【典例3】（23-24高三下·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）当直线的倾斜角等于时，直线的倾斜角等于， 直线的方程为，由抛物线的对称性知， 所以，得． 联立方程组，消去得． 设两点的横坐标分别为，则，． 又，所以，所以的方程为． （2）由（1）知，依题意，可设直线的方程为， 则直线的方程为． 联立方程组消去得，显然， 设，则． 设，同理可得， 所以，同理可得． 直线的方程为， 即． 同理，直线的方程为 ． 两直线方程联立得，解得， 即直线与的交点在定直线上． 重难点04 圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【典例1】（23-24高三下·湖南郴州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求△OMN面积的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）依题意，设椭圆的标准方程为，半焦距为， 由椭圆的离心率为，得，则， 设，则，椭圆的左焦点， 则， 当且仅当时取等号，因此，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 由消去得，则， 直线，同理， 则△OMN的面积 ， 令，， 当直线垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令，， 所以△OMN面积的取值范围是. 【典例2】（23-24高三下·江西·一模）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】（1）因为C的一条渐近线的倾斜角为，所以，， 则C的一条渐近线的方程为， 因为， 所以右焦点到渐近线的距离为， 所以，，所以C的方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，，设，， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为， 与联立得， 所以，，，， 又A，B两点在x轴同一侧，所以.此时，即. 又圆O的方程为，点O到直线AB的距离， 由得，由得，所以或， 因为直线AB的斜率，所以直线AB斜率的取值范围是. （ⅱ）由弦长公式得 ， 由垂径定理得， 所以， 其中，设，， 则， 所以的取值范围是. 【典例3】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知双曲线的焦距为，过点的直线与交于A，B两点，且当与轴平行时，． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，若点A，B均在的左支上，直线AT，BT分别与轴交于点M，N，且，，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由题可知双曲线过点， 则．解得，， 所以双曲线的方程为． （2）若的斜率不存在，此时与双曲线无交点，舍去， 根据题意设直线，，，， 联立，得． 则，且， 由，，可得，所以． 由（1）可知． 则直线AT的方程为． 令，得，所以，同理可得． 所以，，． 由，． 得，， 所以，， 所以 ， 因为，所以． 所以，所以． 所以的取值范围为． 重难点05 圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 【典例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知椭圆的离心率为． (1)求椭圆E的方程和短轴长； (2)设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明：． 【答案】(1)椭圆E的方程为，短轴长为；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆E的方程为，短轴长为； （2）由，消y得①， 由，得， 此时方程①可化：， 解得：（由条件可知：异号）， 设，则，， 即，所以， 因为，所以可设直线：（，）， 由，消y得， 当时，方程有两个不相等的实根， 设，， 则，， 因为两点关于原点对称，所以， 所以， 所以，即. 【典例2】（24-25高三上·浙江·月考）已知双曲线与过点，的直线有且只有一个公共点，且双曲线的离心率． (1)求直线和双曲线的方程； (2)设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：． 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）因为双曲线的离心率，所以，解得， 设双曲线方程. 直线过点，， 所以直线方程为，即， 代入双曲线方程，得， 由题意，，解得 所以双曲线的方程：． （2）因为，于是即， 所以，代入得， 则，又，所以， 因为为线段的中点，所以， 所以． 又，所以，故． 【典例3】（23-24高三下·广西来宾·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为，的面积为4． (1)求C的方程； (2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设准线l与x轴的交点为N， ∵直线MF的斜率为，∴，又， ∴，∴． 故抛物线C的方程为：． （2）证明：设直线AB的方程为，设点，， 联立，得， ， 由韦达定理可得，， 又因为直线AO的方程为， 将代入，可得，即点， 所以， 因为，则， 所以直线AE的方程为， 联立，得，则， 故，， 故G，B，D三点纵坐标相等. 重难点06 圆锥曲线中的探索性问题 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． （1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论； （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； （3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 【典例1】（24-25高三上·云南昆明·月考）动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)2；(3) 【解析】（1）根据到直线与直线的距离之积等于， 可得，化简得， 由于，故，即. （2）设，， 故当时，最小值为2 （3）联立与可得， 设， 则， 故 设存在点C满足，则， 故， 由于在，故， 化简得，即，解得或（舍去）， 由于，解得且， 故符合题意，由于，故， 故,故， 故存在，使得 【典例2】（23-24高三下·河南·月考）已知椭圆与双曲线的焦点与的焦点间的距离为. (1)求与的方程； (2)过坐标轴上的点可以作两条与的公切线. （i）求点的坐标. （ii）当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）或或或；（ii）不存在，理由见解析 【解析】（1）由题意可得，解得. 所以. （2）（i）显然公切线的斜率存在且不为0，设公切线， 联立得， 则， 即① 联立得， 则，即② 联立①②得，所以公切线为或. 公切线的交点即点的坐标， 由，解得，由，解得， 由，解得，，解得， 综上所述：或或或. （ii）当点在轴上时，， 假设存在直线与均有两个交点， 由（i）知，不等式组无解， 所以不存在过点的直线与均有两个交点. 一、直线与圆锥曲线位置关系判断 1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到． 2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切． 【典例1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【解析】将代入，得， 则，解得． 因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是． 故答案为：. 【典例2】（23-24高三下·福建漳州·三模）写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 . 【答案】（写对一个方程即可） 【解析】如图，当直线斜率为0时，与抛物线有唯一公共点，此时方程为； 当斜率不为0时，设的方程为， 联立消去，整理得：， 因为直线与抛物线有唯一公共点，所以， 解得或，所以为或， 即或. 综上，过点且与抛物线有唯一公共点的直线方程为： 或或. 故答案为：（或或）. 【典例3】（23-24高三下·四川绵阳·月考）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1，故选：B 二、直线与圆锥曲线的弦长问题 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 【典例1】（23-24高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为.故选：C. 【典例2】（23-24高三下·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】设，则，且， 所以，整理得到：， 因为是弦的中点， 所以，所以即 所以，故选：A. 【典例3】（23-24高三下·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1. (1)抛物线的方程； (2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知：抛物线的焦点，准线为， 设，则，当且仅当时，等号成立， 可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意可知：直线与抛物线必相交（斜率不为0）， 设，线段的中点， 且直线过点和， 则直线的方程，即， 联立方程，消去x得， 则，可知， 将代入可得， 所以线段的中点的坐标为. 三、圆锥曲线的中点弦问题 1、解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 （1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解． （2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为，，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量． 2、点差法常用结论 已知，为圆锥曲线上的两点，的中点为，直线的斜率为． 若的方程为，则； 若的方程为，则； 若的方程为，则． 【典例1】（24-25高三上·云南·月考）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则 . 【答案】6 【解析】 如图，设动圆的圆心，由题意得， 两边取平方，，化简得，故圆心的轨迹方程为. 联立方程，消去整理得， 设，则， 故. 故答案为：6. 【典例2】（23-24高三下·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 【典例3】（23-24高三下·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； （2），故可设，，， 联立，消去可得， ，即， ，， 则， 则当时，有最大值，且其最大值为. 四、圆锥曲线中三角形的面积问题 利用三角形面积公式求解 （1）(一般选弦长做底，点到直线的距离为高)； （2）． 【典例1】（23-24高三下·湖南郴州·模拟预测）已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 【答案】 【解析】由抛物线的光学性质知，直线与轴的交点为抛物线的焦点， 的焦点为，故与轴的交点横坐标为， 根据题意，画出草图，如下图所示， 令得，解得，又过焦点， 所以方程为：， 即，联立， 得，解得或，所以 ∴的边上的高为， 又， 所以， 故答案为：. 【典例2】（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆的左右焦点分别为，，点在C上，且轴． (1)求C的方程． (2)过左焦点作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求的周长和面积． 【答案】(1)；(2)周长为，面积为 【解析】（1）由已知轴且，知，，   由椭圆的定义， 所以，，的方程为. （2）可知直线的斜率，的方程为. 设，联立方程组， 消去得， 可得， 可得， 点到直线的距离， 所以的周长为，. 【典例3】（24-25高三上·江西南昌·月考）已知双曲线的右顶点，点到双曲线一条渐近线的距离为.若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限 (1)求双曲线的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意，，双曲线的渐近线为，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线方程为，则直线交轴于点， 由（1）知，双曲线的渐近线为，设， 由消去得， 则，， 有，由，得为线段中点，点， 而点在双曲线：上，于是，整理得， 又， 所以的面积. 五、圆锥曲线中四边形的面积问题 四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点(尤其是有平行条件的时候)，可将面积的关系转化，降低计算量，特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半． 【典例1】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由题意知，解得， 则椭圆的方程为． （2）易知四边形为平行四边形，设， 联立直线与椭圆消去并整理得， 由韦达定理得 ， 因为与平行，所以这两条直线的距离， 则平行四边形的面积． 【典例2】（24-25高三上·湖南·月考）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，又由题意得 ，则有， 又点在双曲线上，故，解得， 故的方程为. （2） 根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 当，即时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. 【典例3】（23-24高三下·广东·二模）已知抛物线C：，焦点为F，准线为l，点Q在准线l上.倾斜角为的直线经过点F与抛物线C交于A，B两点，且点A在第一象限. (1)若Q在x轴上，证明：直线的斜率等于； (2)已知，线段的垂直平分线经过点Q，并与x轴交于点M，四边形的面积为，求p. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）证明：过点A作轴，垂足为H， 过点A作，垂足为E，则四边形为矩形. 而，而， 由抛物线的定义，，而，故，从而. （2）由题得，直线的方程为，设，， 联立，消去y，可得， 易知，故，从而，. 于是线段的中点为. 又，所以直线的斜率为， 故可得直线的方程为，即. 令，得，故， 令，得，故. 于是. 因为，故四边形的面积为，解得. 易错点1 忽视直线与双曲线相交的特殊性 点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种 一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程， （1）若，直线与双曲线相交，有两个交点；若，直线与渐进线平行，有一个交点 （2）若，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点； （3）若，直线与双曲线相离，没有公共点； 二是可以利用数形结合的思想 【典例1】（23-24高三下·浙江绍兴·模拟预测）双曲线，过点作直线，与双曲线只有一个交点M，则的斜率为 . 【答案】或 【解析】双曲线渐近线斜率为， 当直线l与双曲线渐近线平行时，直线l和双曲线只有一个交点； 当直线与双曲线渐近线不平行时，令直线， 联立双曲线可得，则， 此时直线与双曲线只有一个交点，则，可得； 综上，的斜率为或. 故答案为：或. 【典例2】（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点， 故，解得，故选：D. 【典例3】（23-24高三上·重庆南岸·月考）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）双曲线的中心在原点,焦点在轴上,设双曲线的方程为 由,可得, 由双曲线过点,可得，解得, 则双曲线的标准方程为; （2）联立直线与双曲线方程， 化简得，则， 假设, 则，解得. 易错点2 忽视特殊性误判直线与抛物线的位置关系 点拨：在直线与抛物线的位置关系中存在特殊情况，即直线与抛物线对称轴平行时只有一个交点。在解题时要注意，不要忘记其特殊性． 【典例1】（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．挞物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【解析】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为， 将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为， 将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线， 以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.故选：ABD. 【典例2】（24-25高三上·广东·月考）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0； 当的斜率或1或时，与的交点个数为1； 当的斜率时，与的交点个数为2． 易错点3 解决直线与圆锥曲线位置关系时忽视对直线斜率不存在的讨论 点拨：解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。 【典例1】（23-24高三下·广东·模拟预测）已知，直线交于点，且直线的斜率之积为，点的轨迹记为曲线． (1)求的方程． (2)不过点的直线与交于两点，且直线与的斜率之和为，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)直线过定点，理由见解析. 【解析】（1）设，则，， 由题意得，，整理得， ∴曲线的方程为. （2）设， 当斜率存在时，设， 由得，， ∴，即， ∴， ∵直线与的斜率之和为， ∴， ∴， ∴，整理得， ∵，∴， ∴直线方程为，恒过定点. 当直线斜率不存在时，， ∵直线与的斜率之和为， ∴， ∴，此时直线，恒过定点. 综上得，直线过定点. 【典例2】（24-25高三上·广西南宁·月考）已知双曲线的两条渐近线方程为为上一点． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程； (3)过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)；(2)，，；(3) 【解析】（1）由题意可得，，解得，所以双曲线的方程为. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为， 代入可得， 当时，即时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点， 即直线的方程为，； 当时，， 即，可得，此时直线与双曲线相切， 直线的方程为； 显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足； 综上所述，与双曲线仅有1个公共点的直线有3条： ，，. （3）当直线的斜率不存在时，则与重合，又，即， 所以，，此时直线的方程为， 则到的距离为0； 当直线的斜率为0时，则与重合，，， 此时直线的方程为，则到的距离为0； 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为， 设， 直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，则， 所以， 所以， 联立可得， ， 由韦达定理可得，则， 所以，所以， 则 ，， 所以直线的方程为， 即， 所以，即， 故直线过定点， 当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去； 当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去； 当时，的横坐标均为，此时，直线的方程为， 过点； 综上所述，直线过定点. 所以点到直线的距离的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 圆锥曲线的综合应用 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置判断 设直线方程为，椭圆方程为 联立消去y得一个关于x的一元二次方程 ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程 ， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）．（具体同椭圆相同） 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况 相交（有两个公共点或一个公共点）； 相切（有一个公共点）； 相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 3、直线与抛物线相交弦长问题 （1）一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. ①弦长公式：（为直线的斜率，且）. ②, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. ③直线的方程为. （2）焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦， 设，，的中点， 过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； ①以为直径的圆必与准线相切. ②(焦点弦长与中点关系) ③. ④若直线的倾斜角为，则. ⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. ⑥为定值. 重难点01 求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点. 【典例2】（23-24高三下·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【典例3】（24-25高三上·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 重难点02 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【典例1】（24-25高二上·江苏南通·月考）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 【典例2】（23-24高三下·河南郑州·月考）已知双曲线的右焦点为，双曲线的上焦点为，直线，且既是的渐近线也是的渐近线． (1)求的方程； (2)过作与轴不垂直的直线与的右支交于点，若点在轴上，且，求证：为定值，并求出该定值． 【典例3】（23-24高三下·重庆·模拟预测）已知抛物线：与双曲线：相交于点． (1)若，求抛物线的准线方程； (2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值． 重难点03 圆锥曲线中的定直线问题 一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与圆锥曲线方程，根据根与系数的关系以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系，从而可确定结果(一般得到动点横坐标或纵坐标为定值)． 【典例1】（23-24高三下·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为是上一点，且点到点的距离之和为. (1)求的方程； (2)斜率为的直线与交于两点，则的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 【典例2】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【典例3】（23-24高三下·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 重难点04 圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【典例1】（23-24高三下·湖南郴州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求△OMN面积的取值范围. 【典例2】（23-24高三下·江西·一模）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【典例3】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知双曲线的焦距为，过点的直线与交于A，B两点，且当与轴平行时，． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，若点A，B均在的左支上，直线AT，BT分别与轴交于点M，N，且，，求的取值范围． 重难点05 圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 【典例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知椭圆的离心率为． (1)求椭圆E的方程和短轴长； (2)设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明：． 【典例2】（24-25高三上·浙江·月考）已知双曲线与过点，的直线有且只有一个公共点，且双曲线的离心率． (1)求直线和双曲线的方程； (2)设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：． 【典例3】（23-24高三下·广西来宾·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为，的面积为4． (1)求C的方程； (2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等． 重难点06 圆锥曲线中的探索性问题 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． （1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论； （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； （3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 【典例1】（24-25高三上·云南昆明·月考）动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【典例2】（23-24高三下·河南·月考）已知椭圆与双曲线的焦点与的焦点间的距离为. (1)求与的方程； (2)过坐标轴上的点可以作两条与的公切线. （i）求点的坐标. （ii）当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由. 一、直线与圆锥曲线位置关系判断 1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到． 2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切． 【典例1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 【典例2】（23-24高三下·福建漳州·三模）写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 . 【典例3】（23-24高三下·四川绵阳·月考）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、直线与圆锥曲线的弦长问题 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 【典例1】（23-24高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【典例3】（23-24高三下·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1. (1)抛物线的方程； (2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标. 三、圆锥曲线的中点弦问题 1、解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 （1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解． （2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为，，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量． 2、点差法常用结论 已知，为圆锥曲线上的两点，的中点为，直线的斜率为． 若的方程为，则； 若的方程为，则； 若的方程为，则． 【典例1】（24-25高三上·云南·月考）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则 . 【典例2】（23-24高三下·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【典例3】（23-24高三下·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 四、圆锥曲线中三角形的面积问题 利用三角形面积公式求解 （1）(一般选弦长做底，点到直线的距离为高)； （2）． 【典例1】（23-24高三下·湖南郴州·模拟预测）已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 【典例2】（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆的左右焦点分别为，，点在C上，且轴． (1)求C的方程． (2)过左焦点作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求的周长和面积． 【典例3】（24-25高三上·江西南昌·月考）已知双曲线的右顶点，点到双曲线一条渐近线的距离为.若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限 (1)求双曲线的方程； (2)若，求的面积. 五、圆锥曲线中四边形的面积问题 四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点(尤其是有平行条件的时候)，可将面积的关系转化，降低计算量，特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半． 【典例1】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 【典例2】（24-25高三上·湖南·月考）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 【典例3】（23-24高三下·广东·二模）已知抛物线C：，焦点为F，准线为l，点Q在准线l上.倾斜角为的直线经过点F与抛物线C交于A，B两点，且点A在第一象限. (1)若Q在x轴上，证明：直线的斜率等于； (2)已知，线段的垂直平分线经过点Q，并与x轴交于点M，四边形的面积为，求p. 易错点1 忽视直线与双曲线相交的特殊性 点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种 一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程， （1）若，直线与双曲线相交，有两个交点；若，直线与渐进线平行，有一个交点 （2）若，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点； （3）若，直线与双曲线相离，没有公共点； 二是可以利用数形结合的思想 【典例1】（23-24高三下·浙江绍兴·模拟预测）双曲线，过点作直线，与双曲线只有一个交点M，则的斜率为 . 【典例2】（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三上·重庆南岸·月考）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围. 易错点2 忽视特殊性误判直线与抛物线的位置关系 点拨：在直线与抛物线的位置关系中存在特殊情况，即直线与抛物线对称轴平行时只有一个交点。在解题时要注意，不要忘记其特殊性． 【典例1】（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．挞物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【典例2】（24-25高三上·广东·月考）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 易错点3 解决直线与圆锥曲线位置关系时忽视对直线斜率不存在的讨论 点拨：解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。 【典例1】（23-24高三下·广东·模拟预测）已知，直线交于点，且直线的斜率之积为，点的轨迹记为曲线． (1)求的方程． (2)不过点的直线与交于两点，且直线与的斜率之和为，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【典例2】（24-25高三上·广西南宁·月考）已知双曲线的两条渐近线方程为为上一点． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程； (3)过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线的距离的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$