3.1.1椭圆及其标准方程【8大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1椭圆及其标准方程 【考点梳理】 · 考点一：利用椭圆的定义求方程 · 考点二：椭圆的焦点三角形周长问题 · 考点三：椭圆的焦点三角形面积问题 · 考点四：根据方程表示椭圆求参数问题 · 考点五：椭圆的标准方程的求法 · 考点六：与椭圆有关的轨迹问题 · 考点七：椭圆的最值问题 · 考点八：椭圆方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一：椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识点三：求轨迹方程的方法、直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；        （2）写出适合条件的点M的集合；        （3）将 “翻译”成代数方程； （4）化简代数方程为最简形式. 【题型归纳】 题型一：利用椭圆的定义求方程 1．（23-24高二上·贵州黔南·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 题型二：椭圆的焦点三角形周长问题 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（    ） A． B．4 C． D．8 6．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型三：椭圆的焦点三角形面积问题 7．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 8．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 9．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 题型四：根据方程表示椭圆求参数问题 10．（24-25高二上·江西·阶段练习）若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：椭圆的标准方程的求法 13．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·天津·期末）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型六：与椭圆有关的轨迹问题 16．（24-25高二上·河南南阳）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 18．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足.动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型七：椭圆的最值问题 19．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是该椭圆上的动点､点，则的最大值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 21．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 题型八：椭圆方程的综合问题 22．（2024高二上·全国·专题练习）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 23．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． （2）如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程． 24．（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若D为的中点． ①求D的轨迹方程； ②求的最大值． 【高分达标】 一、单选题 25．（24-25高二上·江苏徐州）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 26．（24-25高二上·重庆·阶段练习）经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 27．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 29．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 30．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·江西吉安·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 32．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知椭圆E：的左焦点为F，离心率为，直线与E交于A，B两点，周长的最大值为8，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 33．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 34．（23-24高二上·福建福州·期末）已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B． C．的面积最大值为 D． 35．（2024高二上·全国·专题练习）已知圆，，动圆与，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为（  ） A． B． C． D． 36．（23-24高二上·甘肃武威·期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（   ） A．为定值 B．的周长的取值范围是[6，12] C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 三、填空题 37．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 38．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 39．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习），分别是椭圆的左、右焦点，分别为其短袖的两个端点，且四边形的周长为，设过的直线与椭圆相交于，两点，且，则的最大值为 . 40．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 四、解答题 41．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）求下列曲线方程： (1)求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程. (2)已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 42．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 43．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 44．（24-25高二上·全国）如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1椭圆及其标准方程 【考点梳理】 · 考点一：利用椭圆的定义求方程 · 考点二：椭圆的焦点三角形周长问题 · 考点三：椭圆的焦点三角形面积问题 · 考点四：根据方程表示椭圆求参数问题 · 考点五：椭圆的标准方程的求法 · 考点六：与椭圆有关的轨迹问题 · 考点七：椭圆的最值问题 · 考点八：椭圆方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一：椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识点三：求轨迹方程的方法、直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；        （2）写出适合条件的点M的集合；        （3）将 “翻译”成代数方程； （4）化简代数方程为最简形式. 【题型归纳】 题型一：利用椭圆的定义求方程 1．（23-24高二上·贵州黔南·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程，得到答案. 【详解】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，可得，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：A. 2．（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 3．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断P点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程. 【详解】圆：和：的圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为, 由题意，，, 两式相加可得, 故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C 题型二：椭圆的焦点三角形周长问题 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长. 【详解】根据题意，椭圆中， 根据椭圆定义，的周长为 . 故选：C 5．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解即得. 【详解】椭圆的长半轴长，由点在椭圆上，分别为的左、右焦点， 得，所以平行四边形的周长为. 故选：D 6．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可. 【详解】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 题型三：椭圆的焦点三角形面积问题 7．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 8．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 9．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【分析】分析确定直角顶点后位置，当焦点（或）为直角，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论得出直角位置，结合椭圆定义得出面积计算即可； 题型四：根据方程表示椭圆求参数问题 10．（24-25高二上·江西·阶段练习）若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的形式求解即可. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以，解得， 故选：D. 11．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可. 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足，解得. 故选：B. 12．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先求方程表示椭圆的的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断选项. 【详解】若方程表示椭圆，则 ，解得：，且， 所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 题型五：椭圆的标准方程的求法 13．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 14．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 15．（23-24高二上·天津·期末）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及椭圆的通径求出，即可得出椭圆方程. 【详解】如图，    由椭圆定义知， 所以的周长为， 所以， 又最小时，轴，即为椭圆的通径，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为：， 故选：B 题型六：与椭圆有关的轨迹问题 16．（24-25高二上·河南南阳）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 17．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 18．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足.动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可设：，根据向量的坐标运算结合两点间距离公式分析求解. 【详解】由题意可设：， 则， 因为，则，解得， 又因为， 则，整理得， 所以动点的轨迹方程为. 故选：A. 题型七：椭圆的最值问题 19．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【详解】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 20．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是该椭圆上的动点､点，则的最大值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】 由椭圆定义得出，于是有，只要求得的最大值即可得，而，从而可得结论． 【详解】由题可知，， 所以， 而，即， 故，当且仅当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 故选：A. 21．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 故选：B. 题型八：椭圆方程的综合问题 22．（2024高二上·全国·专题练习）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论焦点位置，求出，可得结果； （2）方法一： 讨论焦点位置，结合题中所给条件经过点和点，求出，可得结果； 方法二：设所求椭圆的方程为（，，），结合题中所给条件经过点和点，代入求解即可. 【详解】（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. （2）方法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为. ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得 因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为. 方法二：设所求椭圆的方程为（，，）. 依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为. 23．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． （2）如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据条件，建立方程，化简即可求出结果； （2）设点M的坐标为，点P的坐标为，则，，再利用点在圆上，根据相关点代入法即可求得的轨迹方程. 【详解】（1）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即， 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆． （2）设点M的坐标为，点P的坐标为，则，， 因为点在圆上，所以， 把，代入上述方程，得，即所求轨迹方程为. 24．（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若D为的中点． ①求D的轨迹方程； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)① ；②1 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）①设，，，根据点差法可得，再分斜率存在与不存在求解即可； ②由①知，D的轨迹是个椭圆，原点O是该椭圆的左顶点即可得. 【详解】（1）由题意有，所以C的方程为； （2）设，，，则， 即， 当斜率存在时，有，即， ①当斜率存在时，由上述分析有，得， 当斜率不存在时，易知，满足上面得出的方程， 综上，D的轨迹方程为； ②由①知，D的轨迹是个椭圆，且F是该椭圆的右顶点， 不难看出坐标原点O是该椭圆的左顶点，所以． 【高分达标】 一、单选题 25．（24-25高二上·江苏徐州）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程列出不等式即可求解. 【详解】，即， 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：. 26．（24-25高二上·重庆·阶段练习）经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长． 【详解】 为椭圆的两个焦点， ， 的周长为． 故选：D． 27．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 故选：B 28．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】由已知，，结合，得，进而解得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义可知，且， 因为，所以， 又，故， 所以． 故选：C 29．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可. 【详解】椭圆， 故， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C 30．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，结合椭圆的定义，利用求出，由求出可得答案. 【详解】连接，依题意，知是线段的中点，， 又是线段的中点，所以，， 因为，所以， 因为点在椭圆上，结合椭圆的定义， ，得， 解得（舍去），所以， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 31．（23-24高二下·江西吉安·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故选：A 32．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知椭圆E：的左焦点为F，离心率为，直线与E交于A，B两点，周长的最大值为8，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义，求解面积的最大值，即可求解椭圆方程. 【详解】设椭圆的右焦点为，得， 而的周长为， 当且仅当过点时，等号成立， 所以，得，椭圆的离心率，所以，， 所以椭圆的方程为. 故选：B 二、多选题 33．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 34．（23-24高二上·福建福州·期末）已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B． C．的面积最大值为 D． 【答案】BD 【分析】 由题意，由椭圆定义、数形结合可判断BC；由余弦定理以及基本不等式得，由此可判断A，由焦半径范围即可判断D. 【详解】 由题意，所以，的面积最大值为，故B对，C错； 对于A，， 又，当且仅当等号成立， 所以，所以，故A错； 对于D，，故D对. 故选：BD. 35．（2024高二上·全国·专题练习）已知圆，，动圆与，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先得到圆内含于圆，故圆与外切或内切，与圆一定内切，分两种情况，结合椭圆定义，求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径为1， 圆的圆心，半径为9， 由于，故圆内含于圆， 故动圆与，都相切，则圆与外切或内切，与圆一定内切， 设动圆的半径为， 当圆与圆外切时，可得，当圆与圆内切时，可得， 故，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆， 且长轴长为10，焦距为6，短轴长为8，可得方程为； 当圆与圆内切时，可得，当圆与圆内切时可得， 故，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆， 且长轴长为8，焦距为6，短轴长为， 可得方程为. 综上，轨迹方程为或. 故选：AB. 36．（23-24高二上·甘肃武威·期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（   ） A．为定值 B．的周长的取值范围是[6，12] C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义可求的值，结合三角形的边长关系可判断周长的取值范围，计算可判断不是直角三角形，计算，利用面积公式可求的面积. 【详解】设椭圆的左焦点为，则 ∴为定值，A正确； 的周长为，因为为定值6， ∴的范围是， ∴的周长的范围是，B错误； 将与椭圆方程联立，可解得，， 又∵，∴， ∴不是直角三角形，C不正确； 将与椭圆方程联立，解得，， ∴，D正确. 故选：AD 三、填空题 37．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 【答案】 【分析】设椭圆方程为，得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设椭圆方程为，则， 解得，故椭圆方程为. 故答案为： 38．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵，， ∴， ∴，又，， ∴，由余弦定理，得， ∴. 故答案为： 39．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习），分别是椭圆的左、右焦点，分别为其短袖的两个端点，且四边形的周长为，设过的直线与椭圆相交于，两点，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的性质可得，即可根据焦点三角形的性质得，由基本不等式即可求解. 【详解】∵四边形为菱形，周长为，∴，故， 由椭圆的定义可知， ∵，∴， ∴，当且仅当时等号成立， 故答案为: 40．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 【答案】 【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即可出椭圆方程. 【详解】 连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得， 则有， 所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆， 则，即， 所以点M 的轨迹方程为：，即， 故答案为：. 四、解答题 41．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）求下列曲线方程： (1)求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程. (2)已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据题意可得，进而得到椭圆的焦点坐标，再结合椭圆定义即可得到的值，进而求解；方法二，根据题意可得，进而将点代入椭圆方程，结合解方程组即可求解；方法三，先设椭圆的标准方程为，进而将点代入椭圆方程，解方程即可求解； （2）设圆的半径为，进而得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求解即可. 【详解】（1）方法一：由题意得. 因此所求椭圆的焦点坐标为，. 由椭圆定义得， 即，所以. 故所求椭圆的标准方程为. 方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同， 所以其焦点在x轴上，且. 设所求椭圆的标准方程为，则①. 又点在所求椭圆上，所以，即②. 由①②得，，故所求椭圆的标准方程为. 方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为. 将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）. 故所求椭圆的标准方程为. （2）由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切，设圆的半径为， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以点的轨迹方程为. 42．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，设椭圆方程为，代入点解出即可； （2）设椭圆方程为，代入两点解出即可； （3）设椭圆方程为，代入点解出即可； 【详解】（1）由题意可得，设椭圆方程为， 由点在椭圆上可得， 又， 由以上两式消去并整理可得，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆方程为， （2）设椭圆方程为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为， （3）由题意可设椭圆方程为， 代入，可得，整理可得， 解得或（舍去） 所以椭圆方程为， 43．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出； （2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值. 【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 44．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知，可得，又，则，即可求得BC所在直线的方程； （2）由BC的直线方程，可得，则得圆心，又，即可求得圆M的方程； （3）由已知，可得是该圆的半径，因为动圆N与圆M内切，可得，则点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，即可由待定系数法求椭圆方程. 【详解】（1）因为点，点， 则，又，所以， 所以边BC所在直线的方程为， 即． （2）因为边BC所在直线的方程为， 令，得， 所以圆心，又因为， ∴圆M的方程为． （3）因为点P为线段OA的中点所以， 又，且圆N过点， 所以是该圆的半径， 因为动圆N与圆M内切，所以， 即， 所以点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且， 所以，，， 所以圆心N的轨迹方程为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$