广东省湛江市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

2025届湛江市普通高中毕业班调研测试 数 学 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知向量a=(2,1),b=(-1,x),若a1b,则x= A.2 B.-2 c D.- 2.已知集合A={x1<324-1<243},B={0,1,2,3,4},则AnB中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(4-3i)(2-3i)= A.17-18i B.-1-181 C.-1+61i D.17+12i 4.将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为 (同一组数据用该组区间的中点值作代表) 牛颜率阻距 0.030 0.020 0.015 0.005 0405060708090100成绩/份 A.68 B.70 C.72 D.74 5.已知a,B均为锐角，若ma=号，osB-专，则ce(a+)= A.10 5 80 C.910 3/10 D 10 50 10 【高三数学第1页（共4页）】 6.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比 欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36π的实心圆柱铁锭治炼熔化后，浇铸成 一个底面积为81π的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 A号 B.2 02 9 7已知某条线路上有A,B两辆相邻班次的RT(快速公交车)，若A准点到站的概率为；，在B准点 到站的前提下A准点到站的藏率为子，在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则日准 点到站的概率为 A话 B n号 8.已知a>1,若关于x的方程(a-1)na+xnx=0有两个不同的正根，则a的取值范围为 A.(1,e) B.(e,+) C.(1,e) D.(e,+o) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线l,m,n是三条不同的直线，&，B为两个不同的平面，则 A.若l∥m,l∥n,mCa,nCa,则l∥a B.若l⊥a,l∥m,mtB,a⊥B,则m∥B C.若l⊥m,l⊥n,mCa,nCa,则l⊥a D.若l∥a,lCB,anB=m,m∥n,则l∥n 10.已知函数)=3co3x-君，则 A)的最小正周期为号 B(,0为)的图象的一个对称中心 c九在得，]上单调递增 D.将f代x)的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到g(x)的图象，则曲线y=g(x)与直线y=x有 4个交点 11.已知0为坐标原点，抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为C上第一象限的点，且|AF=2,过点F的 直线1与C交于P,Q两点，圆E:x2+y2-4x=0,则 A.OA=5 B.若PQ1=6,则直线1领斜角的正弦值为写 C.若△0PQ的面积为6，则直线L的斜率为± D.过点A作圆E的两条切线，则两切点连线的方程为x-2y+2=0 【高三数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ)，若P(X>80.2,则P(-2≤X≤3)= 13.若函数f八x)= 心-6x+4,x≥1存在最小值，则实数a的取值范围为 ax-2,x<1 4、已知双曲线C,名、2 “京=1(a>0,b>0)的焦距为2c,直线1：+=1与C的交点为A,若点A到 be C的左焦点的距离不小于点A到C的右焦点的距离的5倍，则C的离色率的最大 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 I5.(13分)如图，四棱锥S-ABCD的底面四边形ABCD为矩形，SM1平面ABCD,△SAD为等腰直角 三角形，E为棱SD的中点， (1)证明：平面ABE⊥平面SCD; (2)若SA=AB=2,求直线BE与平面ACE所成角的正弦值. 16.(15分)已知函数f代x)=x2-(入+3)x+Alnx. (1)若入=-3，求fx)的单调区间： (2)若(x)既有极大值，又有极小值，求实数入的取值范围， 1n.(15分)尼知椭圆号+卡=1(e>6>0)过点(-反，，，引 (1)求E的方程： (2)已知过点M(-1,1)的直线1与E交于A,B两点，若MA·MB-9,求直线1的方程 【高三数学第3页（共4页）】 18.（17分)在△AG中，角A,BC所对的边分别为a,be,且号=1+s血2C,0<C<平 (1)求A的大小； (2)若a=2,求3b+42c的最大值； (3)若ae=210,且inC_22 inB=3,求△ABC的面积 19.(17分)若数列b.}满足：①6，eN;②当6.为奇数时，61-6，=3：③当6，为偶数时， bn以三 之，则称数列6.具有”收缩性质”，已知数列a具有“收缩性质” (1)若a4=1,求a1的值构成的集合； (2)若3m∈N,使得a,=3keN~),证明：VneN~,号为整数； (3)若3peN',VneN',aa+p=a.,求a1的值构成的集合.2025届湛江市普通高中毕业班调研测试 数学参考答案及评分细则 1.【答案】A 【解析】依题意，a·b▣-2+x=0,解得x=2.故选A 2.【答案】B 【解析】依题意，4=1<3-<2431=x0<2x-1<5到=x<x<3,故AnB=1,21,则AnB中有2个 元素.故选B 3【答案】B 【解析】(4-3i)(2-3i)=8-12i-6i-9=-1-18i.故选B. 4.【答案】C 【解析】依题意，(0.005+0.015+0.02+0.03+0.005+m)·10=1,解得m=0.025.则平均分为45×0.05+ 55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.枚选C. 5.【答案】C [ana=sine1 【解析】解法一：依题意， 。方解得na=巴cma3又B=号放血8=号放 sin'a+cos'a=1. m(a+=woB-血m咖B3x号-号”故击C 解法二：作出图形如下所示，其中LCB=a,LDAB=B,不妨设BC=1,则AB=3,AC=而，AD=片，BD= 4 CD=BC +BD= ,放cos(a+B)=cs∠CAD= 13 侣-西故选c 2×0×9 50 6.【答案】D 【解析】设圆柱的底面半径为，母线长为(，圆维的底面半径为，高为4，则圆柱的侧面积为2,4== 36π，解得=6,1=3，故V世==54m,又=81m,则3=9，而V=3mh:=27mh:=54m,得h:=2, 故所求正切值为片-子故选D 7,【答案】B 【解析】设事件A为A准点到站”，事件B为B准点到站，依题意，P(=子，P(4AB)=子，P(BA)=石，而 【高三数学第1页（共6页）】 P)-票-名解得P(国-霜：面PW=PU的=P4+P=宁则P():话而 P(A1)=盟=子放P周=六故选B P(B) 8.【答案】C 【解析】依题意，止-1+·活=0，+x=则中=g()令中=，显然1=在 In a (0,+)止单调适减故1-®1=1-北：=0有两个不同的正根，令0=兰则四，故当： In a (0,e)时"()>0，当re(e,+e)时f'()<0,故)m=e)=.又1e(0,1)时)<0，e(1,+)时， f)>0,故0<lha<。,解得ae(1,e户).故选C 9.【答案】BD(每选对1个得3分) 【解析】A中，可能有1Ca,故A错误：C中，若m∥n,则未必有1⊥a,故C错误故选BD 10.【答案】AB(每选对1个得3分) 【解析】依题意，T=号，故A正确：而）=33×号-若)=0，故B正确：xe[号，]时，3x-君e [信，长，易知y=m在爱，若上先减后增，故)在号，上先减后增故C错误：8（国=行）= 3:-君)，在同一直角坐标系中分别作出y=g()与y=x的大致图象如下所示，观察可知，它们有3个交 点，故D错误故选AB. 11.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析】设A(),则，+1=2，则=1，=4，故0A=√属+%=5，故A正确：设直线：x=m+1,联立 +l则y-4my-4=0,设P(,0(,则元+为=4m,=-4,故01=+原， y=4x, 1以-=V+网，+-4内=41+m)=6,解得m=±号，则直线1领斜角的正弦值为5，故B错 2 误5n一子·0F·-为宁x1x4十=6，解得m=2,反，则直线1的斜率为±孕，故C正确： 易知A(1,2),圆E可化为(x-2)2+y2=4,圆心E(20),半径r=2,易知y=2为其中一条切线，切点为(2,2)， 且两切点连线与化垂直如一子号-2.放两切点连线为了-2=宁（：-2)，即-3+2=0，故D正确故 选ACD. 【高三数学第2页（共6页）】 12.【答案0.3 【解折]解法一：P(X)8)=02=P(X<-2),P(-2≤X≤3)=-P(x<-2)=0.3 解法二：P(3X≤8)=P(X≥3)-P(X>8)=0.3=P(-2X≤3) 13.【答案】[-3,0] 【解折】当x≥1时x)=x2-6x+4=(x-3)2-5≥-5，显然a≤0，放只需a-2≥-5，则-3≤a0. 14.【答案】2 【解析记C的左、右焦点分别为F,F,注意到直线1过点F2,则|AF|-|AF,=2a①，cos∠AFF,= @,联立0@，解得.，芒放兰≥5：二将得 2|AF2|·2c 合≤万，则C的离心率的最大值为2。 15.(1)证明：因为SA⊥平而ABCD,CDC平而ABCD,所以SA⊥CD,(I分) 因为CD⊥AD,SA∩AD=A,SMC平面SAD,ADC平面SAD, 所以CD⊥平面SAD.(2分) 因为AEC平面SAD,所以AE⊥CD:(3分) 而△SMD为等腰直角三角形，且E为楼SD的中点，故AE⊥SD.(4分) 而SD∩CD=D,CDC平面SCD,SDC平面SCD.所以AE⊥平面SCD.(5分) 而AEC平面ABE,故平面ABE⊥平面SCD.(6分) (2)解：以A为坐标原点，AB,AD,AS所在直线分别为x,y,云轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0.0.0).E(0,1.1),C(2,2,0).B(2.0.0).A元=(2,2.0).A正=(0,11)，B=(-2,1.1).(9分) 设平面ACE的法向量为m=(x,y,2), m·A=2x+2y=0, 所以 m,A正=y+:=0, 令y=1,得x=:=-1,故平面ACE的一个法向量为m=(-1,1,-1).(11分) 设直线BE与平面ACE的夹角为a,则ma=m·配。一2.巨 mBE3x6=3· 故直线BE与平面4CBE所成角的正弦值为票(13分) 【评分细则】 1.第(1)问在证明线面垂直时“线包含于面”这一条件没写，不扣分： 2.如用其它解法的情给分 【高三数学第3页（共6页）】 16.解：(1)A=-3时x)=x2-3nx,xe(0,+), f到=2x-323.x+Bx-.2分) x 令f)=0,解得-（负值含去），3分】 故当xe0,}时)<0)单调递减， 当e(气+)时国>0)单调速增，(6分 放九)的单调递减区间为0，，单调递增区间为列气+✉小(？分) (2)依题意r()=2x-（A+3)+A.2-+3+人，(9分) 令∫'(x)=0,则问题转化为2x2-(A+3)x+A=0有两个不同的正根， 4=(A+3)2-8A>0, 故A+3>0, (13分)》 la>0, 解得A>0,故实数A的取值范围为(0，+).(15分) 【评分细则】 1第(1)问过程中若定义城和单调区间左侧写的是-∞，但其他步骤没错，扣3分： 4=(A+3)2-8A>0. 2.第(2)问中A+3>0 这三个条件一个条件1分： A>0. 3.其他解法若正确也给满分 .3 17.解：(1)依题意 (2分) 9 后+花=， 解得。=4,6=3，放E的方程为后+号=1(4分) (2)当直线1的斜率不存在时，：x=-1, 代人椭圆方程得A(-1,引(-1，-》】 此时M=乏-1=，MB=子+1-多，M·MB≠9，不合题意合去：(6分) 当1的斜率存在时，设直线1的方程为y-1=(x+1),A(x,少)，B(,3), 3-1=k(x+1), 得(3+42)x2+(8k2+8k)x+4+8k-8=0,(8分) 则4>0=华3,9列 3+42 【高三数学第4页（共6页）】 |MA=√（无+1）+(1-1)了=T+Rx1+1, 1MB|=√(3+1)+(-1)丁=个+及1x2+11.(11分) 则1a-w81-号-+0++场+1-提.s分 解得素=±1，(14分) 故直线1的方程为y=x+2或y=-x(15分) 【评分细则】 1.第(2)问没考虑直线1的斜率不存在扣2分： 2.第(2)问直线方程写成其他形式不扣分 18解：0)依题意，号=C+mC+2mGmC=(血C+mO,0分剂 而0<C<30,故smC+eosC=5n(C+）>0,(2分) 则2=snC+cmC,则6=asin C+acsC,(3分) 由正弦定理，sinB=sin Asin C+sin Acos C, 而sinB=in(A+C)=sin Acos C+eos Asin C,则co4 Asin C=sin Asin C.(4分) 因为sinC≠0，故mA=l,则A=年(5分) (2)由正弦定里，品A产品BC-=2,(6分) 故6=2amB=2in(得-d.e=2.nc.(7分) 则36+4ie=6sin(径-C+85inc=12inc+3万casc .3 =2/65in(C+p)≤26，其中anp= 故36+42c的最大值为265.(10分) (3)依题意，2巨inB=3imC,由正弦定理，256=3c,(11分) 设c=22m,b=3m(m>0), 由余弦定理，a2=b+e2-2 bccos A=5m2,得a=5m,(13分) 而ac=210m3=210,得m=1,故b=3,c=22,(15分) 则Sak=oanA=3.(7分) 【评分细则】 1.第(1)向中未求出A的大小，但猜出A=夏，并以此为结论处理第(2)(3)问，后两问不扣分： 2.第(1)向中未合理使用0<C<严这一条件，扣1分 【高三数学第5页（共6页）】 19.(1)解：因为a4=1,则a,=2,a2=4,则a1=8或a1=1, 故a1的值构成的集合为1,81.(4分)】 (2)证明：依题意，3meN”,an为3的倍数， 当a。为奇数时，a。1=an+3=3张+3=3(k+1): 当a.为佩数时，马知k为铜数心=之=登，可告eN） 故a。:是3的倍数， 以此类推，a.a1,an2,…,都是3的倍数：(7分) r2a.,a.-,为偶数， 另一方而，当m≥2时，由于a1= 当a.为3的倍数时，可知a-也是3的倍数， lan-3,a。-1为奇数， 以此类推，a。a-1,。2…,都是3的倍数，(9分） 综上所述，VaeN,号为整数(I0分) (3)解：因为3PeN”,VneN,a。,=a,故数列1a,具有周期性。 由条件①可知.数列|，1一定有最小值，设为t.下证t=1或3.(11分) 当1为偶数时，设a.=1,则a=分<1，与1是最小值矛盾，所以：是奇数：(12分) 不纺设0，=，则01=1+3是偶数，0一艺 假设≥5，则空<，与：是最小值矛盾。 综上，只能是小于5的正奇数，即1或3：(14分) 当数列1a.1中出现1时，后面的项为4,2,1,4,2,1,4,2，L,…循环： 当数列1a中出现3时，后面的项为6,3,6,3，…循环： 所以数列1a,1具有周期性时，1只能为1,2,3,4,6中某一个数 经检g验，当a1e11,2,3,4,6时，3peN”,neN,aw=a(17分) 【评分细则】 其他方法若合理也给满分。 【高三数学第6页（共6页）】