3.1.2椭圆的简单几何性质【8大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.2椭圆的简单几何性质 【考点梳理】 · 考点一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 · 考点二：椭圆的椭圆的范围问题 · 考点三：椭圆的离心率问题 · 考点四：直线与椭圆的位置关系 · 考点五：椭圆的中点弦问题 · 考点六：直线与椭圆的弦长问题 · 考点七：椭圆中的向量问题 · 考点八：椭圆的定点、定值、最值问题 【知识梳理】 知识点一：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 知识点二：直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 知识点三：弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【题型归纳】 题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 1．（24-25高二上·山东滨州）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高二上·广东广州·期末）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3．（23-24高二上·上海）已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标． (1)； (2)． 题型二：椭圆的椭圆的范围问题 4．（23-24高二上·江苏常州·期中）设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A．16 B．4 C．3 D．5 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：椭圆的离心率问题 7．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国）已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四：直线与椭圆的位置关系 10．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 11．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）与椭圆有相同的焦点且与直线l：相切的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 题型五：椭圆的中点弦问题 13．（24-25高二上·重庆）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 题型六：直线与椭圆的弦长问题 16．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高三上·山东济南）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . (1)求的标准方程； (2)若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 题型七：椭圆中的向量问题 19．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率，若点M为椭圆上任意一点，则的取值范围是 ． 21．（22-23高二下·安徽黄山·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，则直线的斜率的值为 ． 题型八：椭圆的定点、定值、最值问题 22．（22-23高二下·河南郑州·期中）已知椭圆，离心率，过点． (1)求的方程； (2)直线过点，交椭圆与两点，记，证明． 23．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 24．（2022·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值. 【高分达标】 一、单选题 25．（24-25高二上·江苏盐城）已知椭圆，则椭圆的（    ） A．长轴长为4 B．焦点在轴上 C．离心率为 D．焦距为 26．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 27．（2024·山西临汾·三模）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·河南新乡·二模）已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（    ） A．4 B． C．3 D．2 29．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知椭圆：（）的离心率为，点是上一点，，分别是两个焦点，则的面积为（    ） A． B． C．16 D．32 30．（24-25高三上·山东烟台）已知椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，离心率为.若，则（    ） A．5 B．7 C．21 D．25 31．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 32．（2024高二上·江苏·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 33．（23-24高二下·广东汕头）已知椭圆，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 34．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的最大值为8 C．离心率为 D．椭圆上不存在点，使得 35．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二上·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16 C． D．的面积的最大值为16 37．（23-24高二上·四川达州·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，上顶点为，直线l：与C交于点M，N，则（    ） A．直线l恒过点 B．当直线时， C．的周长为20 D． 三、填空题 38．（24-25高二上·江苏徐州）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 39．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知、为椭圆上的两个点，且直线的方程为，则中点与原点连线的斜率为 ． 40．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 . 41．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为 . 42．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 . 43．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为 . 四、解答题 44．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 45．（24-25高二上·全国）已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 46．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 47．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 48．（24-25高二上·江苏南京）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，. (1)求椭圆的方程； (2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为. （i）求的值； （ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2椭圆的简单几何性质 【考点梳理】 · 考点一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 · 考点二：椭圆的椭圆的范围问题 · 考点三：椭圆的离心率问题 · 考点四：直线与椭圆的位置关系 · 考点五：椭圆的中点弦问题 · 考点六：直线与椭圆的弦长问题 · 考点七：椭圆中的向量问题 · 考点八：椭圆的定点、定值、最值问题 【知识梳理】 知识点一：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 知识点二：直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 知识点三：弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【题型归纳】 题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 1．（24-25高二上·山东滨州）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据已知列方程结合计算得出再结合椭圆的交点所在轴即可判断. 【详解】因为, 又因为， 所以, , 解得, 椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：; 椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：. 故选：C. 2．（23-24高二上·广东广州·期末）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】由椭圆方程即可求得，进而即可求解. 【详解】因为第一个椭圆的，则焦距为， 所以长轴长为10，短轴长为8,离心率为， 第二个椭圆的， 则焦距为， 所以长轴长为，短轴长为，离心率为， 所以A，B，C错误，D正确， 故选：D. 3．（23-24高二上·上海·课后作业）已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据椭圆方程求出，再根据长轴、短轴、焦点和顶点的定义可得结果. 【详解】（1）由，得,，得，，， 所以椭圆的长轴长为、短轴长为、焦点坐标为、、顶点坐标为、、、. （2）由，得，得，，得，，， 所以椭圆的长轴长为、短轴长为、焦点坐标为、、顶点坐标为、、、. 题型二：椭圆的椭圆的范围问题 4．（23-24高二上·江苏常州·期中）设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A．16 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】设得，利用，配方后利用的范围可得答案. 【详解】，设，则，所以， ， 因为，所以当时，有最大值为. 故选：B.    5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解. 【详解】设，则， 因为P点在椭圆上，则，记， 所以， 又因为开口向上，对称轴， 且，所以当时，取到最小值. 故选：B. 6．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围. 【详解】解法一： 由题意知，，设. 则. 因为，所以，所以， 所以． 解法二： 由题意知，． 设，取线段AF的中点N，则，连接MN. 则. 因为，所以，所以， 所以． 故选：D． 题型三：椭圆的离心率问题 7．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义， 可求得的长，根据三角形的几何性质，即可求得答案， 【详解】由椭圆的定义可得，又， 所以， 在椭圆中，， 所以，即， 又，所以， 所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选：B 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合椭圆定义在中由余弦定理求得，同理在中利用余弦定理可得，再由可得关系，进而得离心率. 【详解】连接，设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 解得，即. 由可知， 在中利用余弦定理可得 ， 同理可解得， 又因为，即， 所以． 故选：A. 9．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求出点坐标，代入中形成齐次方程，解出离心率即可. 【详解】    如图：由题意不妨设在第一象限，知， 因为，所以， 所以， 则，且，即， 又由，所以，又，即， 结合解得， 代入中，整理得， 即，解得（舍）或. 故选：D. 题型四：直线与椭圆的位置关系 10．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 11．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）与椭圆有相同的焦点且与直线l：相切的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆性质，再结合直线与椭圆相切，只有唯一交点，即可求解. 【详解】因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，故设所求椭圆为， 联立方程组，得， 整理，得， 因为直线l与椭圆相切，所以解得（舍）或. 所以， 故选：A. 12．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先联立方程组得出判别式大于0，得,再根据点到直线距离得出参数. 【详解】联立，化简得, 因为直线与交于两点，所以, 解得,即得, 由已知的面积是的面积的2倍，得, ，解得或， 时，不合题意，故. 故选：B. 题型五：椭圆的中点弦问题 13．（24-25高二上·重庆）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法求得关系，再利用椭圆的离心率公式可得答案. 【详解】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为， 所以，因为在椭圆上， 所以①， 两式相减，得， 根据，上式可化简为， 整理得，又，所以，即， 所以. 故选：B. 14．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则， 又，两式相减得， 整理得， 所以以点为中点的弦所在的直线方程为， 即. 故选：C. 15．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意涉及到中点弦，采用点差法求解即可. 【详解】不妨设椭圆方程为，由题意得：， 两式作差得：，整理得：， 因为AB的中点为，， 所以， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：A． 题型六：直线与椭圆的弦长问题 16．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与椭圆，根据弦长公式即可. 【详解】联立直线与椭圆方程， 消可得：，， 设， 则，，根据弦长公式有： . 故选：B. 17．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的面积关系得出并用含m的关系式表示，再由直曲联立判别式大于零得出m的取值范围即可. 【详解】设直线与轴的交点为，则. 所以，. 因为所以. 由得，即 ，. 所以，解得 或. 因为与有两个交点， 联立 消得， 则,解得. 所以. 故选：C. 18．（24-25高三上·山东济南·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . (1)求的标准方程； (2)若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知可得，由椭圆的定义可得，根据椭圆中，，的关系可得，即可求解； （2）设，，联立直线和椭圆构成的方程组，根据可得，由韦达定理可得，，再根据，可得或，即可求解. 【详解】（1）由题意，设的标准方程为， 则，，即，所以， 所以的标准方程为； （2）设，， 由联立得， 由题意，即， ，，显然直线过定点， 所以， 所以，即， 所以，解得或，均满足， 所以或. 题型七：椭圆中的向量问题 19．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得，利用平面向量的线性运算将变形为，设()，利用两点坐标求出，结合二次函数的性质即可求出最小值. 【详解】由题意得，由,得， 则, 设()，由，得， 则， 又，由二次函数的性质可知， ， 所以的最小值为. 故选：C. 20．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率，若点M为椭圆上任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据条件求出椭圆方程，再表示出，结合二次函数的知识可得范围. 【详解】因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以， 因为离心率，所以，所以，所以椭圆的方程为. 设，则， 因为，所以 . 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为： 21．（22-23高二下·安徽黄山·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，则直线的斜率的值为 ． 【答案】 【分析】 设（），直线l方程为，依题意可得，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出、，从而得解. 【详解】依题意，点位于轴上方且，则直线的斜率存在且不为， 设（），则，， 则可得，设直线l方程为， 联立直线与椭圆可得，显然， ，，， ，解得，则直线的斜率为. 故答案为：. 题型八：椭圆的定点、定值、最值问题 22．（22-23高二下·河南郑州·期中）已知椭圆，离心率，过点． (1)求的方程； (2)直线过点，交椭圆与两点，记，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意建立方程组求出即可； （2）由题意知直线的斜率存在，联立方程组消元，利用韦达定理及直线斜率公式证明即可. 【详解】（1）由题得，解得， 于是； （2）由题意知直线斜率存在， 设直线，联立方程即， 消可得， 由， 设， 韦达定理可得； 综上所述：. 23．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和点在椭圆上建立方程组可求椭圆的方程； （2）设出点，根据对称性得到点，表示出，，结合椭圆的方程可证为定值. 【详解】（1）由题意得：且，得， 所以椭圆的方程为. （2）证明：由椭圆方程可知，，， 设，则且； 则，，则， 所以为定值. 24．（2022·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，，解出；（2）设直线：，根据直线与椭圆相切可得，分别求出、坐标，计算整理． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，， 将代入得， 所以， 因为点是椭圆上一动点，所以， 所以面积， 由，求得， 所以椭圆的方程为：. （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立， 整理可得， 因为直线与椭圆相切， 所以，得， 因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以， 所以， 将代入直线可得，所以， 所以， ，将代入上式， 得，所以为定值. 【高分达标】 一、单选题 25．（24-25高二上·江苏盐城）已知椭圆，则椭圆的（    ） A．长轴长为4 B．焦点在轴上 C．离心率为 D．焦距为 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质求解即可. 【详解】由，则焦点在轴上， 且，，则， 即， 所以长轴长为，焦距为，离心率为. 故选：A. 26．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的a、b、c即可判断求解． 【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率， 因为，所以， 曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中，，， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率 故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对； 故选：B 27．（2024·山西临汾·三模）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆得出焦点坐标，根据椭圆与直线相切联立方程组，得出，根据离心率公式计算即可． 【详解】由椭圆得，焦点， 因为椭圆与有相同的焦点，所以椭圆的焦点，则， 又因为与直线相切，则椭圆与直线只有1个交点， 联立方程组得，， 则，化简得，，解得或（不合题意舍）， 则，又，所以， 故选：A． 28．（2024·河南新乡·二模）已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据倾斜角，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】的斜率为，经过点，故其倾斜角为，因此, 由于，所以，所以， 故，故长轴长为, 故选：A 29．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知椭圆：（）的离心率为，点是上一点，，分别是两个焦点，则的面积为（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】A 【分析】由已知求出，再求的面积即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以，. 故选：A. 30．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）已知椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，离心率为.若，则（    ） A．5 B．7 C．21 D．25 【答案】B 【分析】根据离心率及，得到a,b的两个关系式，解方程即可求解. 【详解】因为离心率，解得 因为分别为的左､右顶点，B为上顶点， 则. 所以， 因为.， 所以， 将代入 解得. 故选：B. 31．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理列式求解即得. 【详解】直线的斜率，其方程为， 由消去得，， 由AB的中点坐标为，得，整理得，而， 解得，此时，， 所以C的方程为. 故选：A 32．（2024高二上·江苏·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，表示出韦达定理，结合为锐角，即，代入韦达定理化简即可； 【详解】显然不满足题意， 设直线的方程为，设， ， ，解得，① ， 则， 又为锐角，则，即，， 所以 ，解得，② 由①②，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 33．（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）已知椭圆，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【答案】ABD 【分析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，根据椭圆方程可判断焦点位置，并求，由此判断A，结合相关定义判断BCD. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的方程为， 所以椭圆的焦点在上，且，A正确， 所以椭圆的长轴长为，B正确， 椭圆的焦距为，C错误； 椭圆的离心率，D正确. 故选：ABD. 34．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的最大值为8 C．离心率为 D．椭圆上不存在点，使得 【答案】BD 【分析】根据通径可得，即可求解A，根据椭圆定义结合焦点三角形的性质即可求解B，根据离心率公式即可求解C，根据余弦定理求解最大角，即可求解D. 【详解】 易知当轴时，即线段为通径时，最短，，解得，椭圆方程为， 对于，椭圆的短轴长为，故A错误； 对于，因为的周长为，且，故B正确； 对于C，离心率，故C错误； 对于，易知当点位于短轴顶点时，最大，此时，又为三角形内角，椭圆上不存在点，使得，故D正确， 故选:BD. 35．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义得到，，再由即可求出离心率的取值范围，即可判断. 【详解】因为，又，所以，， 又，即， 所以，则，又，所以，故符合题意的有BCD. 故选：BCD 36．（23-24高二上·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16 C． D．的面积的最大值为16 【答案】AB 【分析】由椭圆方程求得，，的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解. 【详解】由椭圆，得，，， 椭圆的焦距为，故A正确； 又为椭圆上异于长轴端点，的动点，△的周长为，故B正确； ，故C错误； 当为椭圆的短轴的一个端点时，△的面积取最大值为，故D错误． 故选：AB． 37．（23-24高二上·四川达州·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，上顶点为，直线l：与C交于点M，N，则（    ） A．直线l恒过点 B．当直线时， C．的周长为20 D． 【答案】AC 【分析】将直线转化为，求定点，即可判断A；利用，求出，即可判断B；利用椭圆定义求出的周长即可判断C；利用椭圆焦点弦通径最短，长轴最长，求出范围即可判断D. 【详解】由椭圆C：，得，，， 可知左右焦点，，上顶点为， 对于选项A，将直线转化为， 则，解得，所以直线l恒过点， 又因的右焦点，所以直线恒过点，故选项A正确； 对于选项B，直线的斜率为，当，则直线的斜率为， 又因直线：，所以可求得，故选项B不正确； 对于选项C，由椭圆定义及直线l过椭圆右焦点，可知的周长为， 故选项C正确； 对于选项D，因为直线l过椭圆右焦点，且与椭圆C交于点M，N， 则当最小时，为椭圆的通径，此时直线垂直轴，可求， 但直线l：斜率存在，不可能垂直轴，故， 当直线与轴重合时，最大，此时，故， 故选项D不正确. 故选：AC. 三、填空题 38．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求椭圆的标准方程为，由题意有，把点代入椭圆方程，求出即可. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 39．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知、为椭圆上的两个点，且直线的方程为，则中点与原点连线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】设点，，中点，利用点差法及斜率公式可得解. 【详解】设点，，中点， 则，， 又点、为椭圆上的两个点， 则， 两式做差可得， 即， 代入，，则， 即， 又直线的方程为， 即， 所以， 故答案为：. 40．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形的面积，得到方程，即可得到离心率的方程，计算得到结果. 【详解】由题意，可知为椭圆通径的一半，故，的面积为， 又由于的内切圆的半径为，则的面积也可表示为， 所以，即， 整理得：，两边同除以， 得，所以或， 又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 41．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用,；，结合二次函数的性质即可求的最小值． 【详解】设，记线段的长度为，是椭圆上任意一点， 设,,, 所以：． 由于，故时，有最小值，且的最小值， 故答案为： 42．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意求出，，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理得，即可求出离心率． 【详解】由题意知，，， 所以，解得； 又，所以， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 43．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设是椭圆的右焦点，分析可知为平行四边形，根据椭圆定义可得，利用余弦定理运算求解. 【详解】设是椭圆的右焦点，连接，    由对称性可知：，则为平行四边形， 则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题 44．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用中点弦问题求解即可； （2）利用韦达定理得到再根据斜率的坐标表示可得，结合韦达定理可证明. 【详解】（1）设，则有， 且，作差可得， 所以， 由点斜式得，， 整理得即为直线的方程. （2）    不妨设的直线方程为， 联立，消去整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为， 所以为定值. 45．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定圆心A及半径，由垂直平分线的性质结合椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系计算即可； （2）设直线方程，联立椭圆方程，由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离及基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知圆， 所以圆心，半径， 因为，线段的垂直平分线交线段于点，所以， 又，所以， 即点的轨迹是以点为左、右焦点的椭圆，所以曲线． 因为曲线与直线相切，故， 解得，所以的方程为． （2）由题意得直线，由，得， 令， 所以，即或． 设，则， 所以 ， 令，则， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 46．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆几何性质列方程组求解可得； （2）利用点差法即可得解. 【详解】（1）由题意可知，则. 因为， 所以椭圆的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 直线和轴的交点为， 该点在椭圆内，故直线和椭圆相交，满足条件. 47．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点和点代入椭圆方程，解之即可得解； （2）根据题意，利用直线的点斜式求得直线的方程，再联立直线与椭圆方程，直接求得点的坐标，从而得解. 【详解】（1）因为椭圆椭圆经过点和点，， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立，解得或， 则， 所以. 48．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，. (1)求椭圆的方程； (2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为. （i）求的值； （ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）直线恒过点. 【分析】（1）由离心率及，列出的等式求解即可. （2）（i）设直线方程，联立椭圆方程结合韦达定理和斜率公式即可求解；（ii） 由（i）得到结合韦达定理及斜率公式代入化简即可. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为， 故，又，所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆C于两点（在轴的两侧） 故直线的的斜率不为0，直线的方程为， 联立，则， 则 设，则， 又 故， （ii）由（i）得. 因为，则. 又直线交与轴不垂直可得，所以，即 所以， 于是 整理得，解得或， 因为在轴的两侧，所以， 又时，直线与椭圆有两个不同交点， 因此，直线恒过点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$