福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷

高三数学 第 1 页 共 5 页 福宁古五校教学联合体 2024-2025学年第一学期期中质量监测 高三数学试题 （考试时间：120 分钟， 试卷总分：150 分 ） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中，只有一个选项是正确的． 1．已知集合 3 { | 0}, { N || | 2} 1 x M x Q x x x − =  =   + ，则M Q = A．{0,1,2} B．[0,2] C． ( 2,2]− D．{1,2} 2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足： 1 0 0 15ln w w T w w − = − （T 为时间，单位为 0min, w 为特殊环境温度， 1w 为该物质在特殊环境下的初始温度，w为该物质在特殊环境 下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过 15min ，该物质的温度最接近 （参考数据：e 2.72 ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D． 48℃ 3. 在 ABC 中，已知 Atan ， Btan 是关于 x 的方程 2 6 7 0x x− + = 的两个实根，则角 C 的大小为 A. 4 3 B. 3 2 C. 3  D. 4  高三数学 第 2 页 共 5 页 4．对任意实数 ( )2,x + ，“ 4 a x x  + ”是“ 4a  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数 2 2 1 sin ln x y x x + = − 的大致图象是 A． B． C． D． 6．已知函数 ( ) 33 2 e e 1x xf x x x −= − + − + ，若 ( ) ( )22 3 2f a f a− +  ，则实数 a的取 值范围为 A． ( ,1− B． 3,1− C． (   ), 1 3,− − + D． (   ), 3 1,− −  + 7. 已知 1 2 1 5 sin , ln , 2 2 3 a b c − = = = ，则 A. abc  B. cba  C. bca  D. cab  8. 已知函数 2( ) ln | |xf x xe x x a x= − − − ，若对任意的 0x ，都有 1)( xf 恒成立， 则实数 a 的取值范围为 A. ]4,4[− B. ]3,3[− C. ]2,2[− D. ]1,1[− 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选 错的得 0分. 9．已知三次函数 ( )f x 的图象如图，则下列说法正确的是 A． ( ) ( ) ( ) 0 1 1 lim 1 x f x f f x → +  − = −  高三数学 第 3 页 共 5 页 B． ( ) ( )2 3f f  C． ( )3 0f = D． ( ) 0xf x  的解集为 ( ) ( ), 1 0,1− − 10. 已知函数 ) 3 2cos(2)(  += xxf ， ) 6 2sin(2)(  −= xxg ，则 A. )(xf 与 )(xg 的图象有相同的对称中心 B. )(xf 与 )(xg 的图象关于 x 轴对称 C. )(xf 与 )(xg 的图象关于 y 轴对称 D. )()( xgxf  的解集为 )]( 12 , 12 5 [ Zkkk ++−     11．已知函数 ( )f x 的定义域为R ，且 ( )1 0f  ，若 ( ) ( ) ( )f x y f x f y xy+ − = − ，则 A． ( )0 0f = B． ( )f x 关于 ( 1,0)− 中心对称 C． ( )xe f x D．函数 ( )y xf x= − 有最大值 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 15 分 12．已知复数 z 满足 (3 4i) 5iz− = ，则 | |z = . 13．已知 Rba , ， 2 0a b  ， 1=+ba ，则 bba 1 2 1 + − 的最小值为_________. 14．已知 ( ) ( ) ( ) eln e ,x x f x ax a g x x = −  =R ，若函数 ( ( ))y f g x a= − 恰有三个零 点，则a的取值范围为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15．（13 分）已知函数 ( ) 1 1x f x a e = + + 为R 上的奇函数. (1)求 a； (2)若函数 ( ) 2( 1) ( ) 2xg x e f x x= + + ，讨论 ( )g x 的极值. 高三数学 第 4 页 共 5 页 16．（15 分）在锐角 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，且 2 2 2 2 2 3 tan tan c A B a c b + = + − ． (1)求角A 的大小； (2)若 3BC = ，点D是线段BC 的中点，求线段 AD长的取值范围． 17.（15 分）在三棱锥 ABCP− 中，PM ⊥底面 ABC ， ACAB ⊥ ， 1AB = ， 2AC = ，M , N 分别为 BC , AC 的中点，E 为线段 AP 上一点. （1）求证：BN ⊥ 平面 APM ； （2）若平面 EBN ⊥ 底面 ABC 且 1 2 PM = ，求二面角 BENA −− 的正弦值. 18. （17 分）已知函数 ( ) ( ) 2 3 1 1 ex x f x a x b − = − − − − ，其中 ,a b是实数. （1）若 1=a ，求 )(xf 的单调区间； （2）若函数 ( )f x 在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围； （3）若 ( ) 0f x  恒成立，求5a b+ 的最小值. 高三数学 第 5 页 共 5 页 19．（17 分）已知函数 ( ) sin( ), ( 0, ) 2 f x x     = +   图象的相邻两条对称轴间的距 离为 2  ,且函数 ( )f x 图象过点 3 0, 2        . (1)若函数 ( )y f x m= + 是偶函数,求| m |的最小值； (2)令 ( )=4 ( ) 1g x f x + ,记函数 ( )g x 在 17 31 , 12 12 x     −    上的零点从小到大依次为 1 2, , , ,nx x x 求 1 2 3 12 2 2 n nx x x x x−+ + + + + 的值； (3)设函数 ( ),y x x D=  ，如果对于定义域D 内的任意实数 x ,对于给定的非零常数 P ， 总存在非零常数T，恒有 ( ) ( )x T P x + = 成立,则称函数 ( )x 是D 上的“ P 级周期函 数”，周期为T .请探究是否存在非零实数 ，使函数 1 ( )= ( ) 2 6 x h x f x     −    是R 上的周期 为T的T级周期函数，并证明你的结论. 福宁古五校教学联合体 2024-2025学年第一学期期中质量监测 高三数学参考答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D C C D B D 8．解： ( ) 1f x  ， 2 ln (2 ln ) | | 1x xe x x x a x+ − + + −  ，即 2 ln (2 ln ) 1 | | 1 x xe x x a x + − + − −  ，易知 1xe x + ， 2 ln (2 ln ) 1 0x xe x x+ − + −  ，又 0x  ， 2 ln (2 ln ) 1 0 x xe x x x + − + −   ，当且仅当2 ln 0x x+ = 时，等号成立. 2 ln min (2 ln ) 1 0 x xe x x x + − + −  =（ ） ， | | 1 0a − = ， 1 1a−   .故选 D. 二、多选题 9 10 11 ACD ABD BD 11．解：令 0x = ， 1y = ，则 (1) (0) (1) 0f f f−  = ，又 (1) 0f  ， (0) 1f = ，故 A错误； 令 1x = ， 1y = − ，则 (0) (1) ( 1) 1f f f−  − = ， (1) ( 1) 0f f  − = ，又 (1) 0f  ， ( 1) 0f − = ，再令 1y = − ， ( 1) ( ) ( 1)f x f x f x− −  − = ， ( 1)f x x − = ， ( ) 1f x x = + ， ( )f x 的图象关于 ( 1,0)− 中心对称，故 B正确； 由 B得 ( ) 1f x x= + ，当 0x = 时， 1xe x= + ，故 C 错误； 由 B得 ( ) 1f x x= + ， 2( )y xf x x x= − = − − ,在 1 2 x = − 时取到最大值，故 D正确. 三、填空题 12. 1; 13. 4 2 3+ ； 14. (1, ) 2 e 14．解：设 ( )g x t= ，则 ( )f t a= ， ( ) 2 1 ln e 0 x g x x −  =  = ，得 ex = ， 当 ( )0,ex ， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增， 当 ( )e,x  + ， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减， 当 ex = 时，函数 ( )g x 取得最大值 1， 如图 1，画出函数 ( )t g x= 的图象， 由 ( )f t a= ，即et at a− = ，则 ( )e 1 t a t= + ， ( )1y a t= + 恒过点 ( )1,0− ， 如图，画出函数 ety = 的图象，设过点 ( )1,0− 的切线与 ety = 相切于点 ( )00 , ett ， 则 0 0 0 e e 1 t t t = + ，得 0 0t = ，即切点(0,1)，所以切线方程为 1y x= + ，如图 2， 则 ( )1y a t= + 与 ety = 有 2个交点， 1a  ， 如图可知，若函数 ( ( ))y f g x a= + 恰有三个零点，则 11 0t−   ， 20 1t  ， 则 ( )1e 1 1a + ，所以 e 2 a  ， 综上可知， e 1 2 a  . 故答案为： e (1, ) 2 四、解答题 15.（1）因为函数 ( ) 1 1x f x a e = + + 为R 上的奇函数， 由 ( )0 0f = ， 1 2 a = − ，………3 分 此时 ( ) 1 2( 1) x x e f x e − = + ，显然为奇函数………4 分 所以 1 2 a = − .………5 分 （2）由（1）得： ( ) 2( 1) ( ) 2 2 1x xg x e f x x x e= + + = − + ， ( )g x 定义域为 R, ………6 分 ( ) 2 xg x e = − ，………7 分 由 ( ) 0g x  得 ln 2x  ；由 ( ) 0g x  得 ln 2x  , ( )g x 在 ( ), ln 2− 上单调递增， ( )g x 在 ( )ln 2 +， 上单调递减，………10 分 所以 ( )g x 在 ln 2x = 处取得极大值， ( ) ( )= ln 2 2ln 2 1f x f = − 极大值 ；无极小值.………13 分 （不写无极小值扣 1分） 16. （1）因为 2 2 2 2 2 3 tan tan c A B a c b + = + − ，由余弦定理得 22 3 3 3 sin tan tan = 2 cos cos sinAcos c c C A B ac B a B B + = = ，………2 分 由正弦定理得 ( )sinsin sin sin sin cos sin cos sin tan tan sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos A BC A B A B B A C A B A B A B A B A B A B ++ + = = + = = = ， ………4 分 又 ABC 是锐角三角形，所以sin 0,cos 0C B  ， 所以sin 3cosA A= ，所以 tan 3A = ， 又 π 0, 2 A       ，所以 π 3 A = ．………6 分 （2）由余弦定理可得 2 2 2 2 22 cos 3a c b cb A c b cb= + − = + − = ，………7 分 又 ( ) 1 2 AD AB AC= + ，所以 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 21 1 1( ) 2 4 4 4 AD AB AC AB AC AB AC c b bc= + = + +  = + + ( ) 1 3 3 2 4 4 2 1 bc bc= + = + ，………9 分 由正弦定理可得 2 sin sin sin a b c A B C = = = ，所以 2sinb B= ， 2π 3 1 2sin 2sin 2( cos sin ) 3 2 2 c C B B B   = = − = +    ，………11 分 所以 23 1 3 1 1 cos2 π4 sin cos + sin 4 sin2 + 2sin 2 1 2 2 4 2 2 6 B bc B B B B B    −   = =  = − +              ，…12 分 由题意得 π 0 , 2 2π π 0 , 3 2 B B       −   解得 π π 6 2 B  ，则 π π 5π 2 66 , 6 B   −     ，………13 分 所以 π 1 sin 2 , 6 1 2 B     −         ，所以 ( 2,3bc ，………14 分 所以 2 7 9 , 4 4 AD       ，所以线段 AD长的取值范围为 7 3 , 2 2       ………15 分 17. （1）解法一：连接 AM 交 BN 与点O，则 MCAMAC = , 2 2 tan == AC AB MCA ， 2 2 tan == AB AN ABN ，故 MACMCAABN == ，………2 分 从而 90=+=+ MACMABABNMAB ，从而 BNAM ⊥ ，………4 分 ⊥PM 底面 ABC， BN 底面 ABC， BNPM ⊥ ，………5 分 又 AM MPM = ，故 ⊥BN 平面 APM .………6 分 （1） 解法二：连接 AM ，由M , N 分别为 BC , AC 的中点，所以 1 1 2 2 AM AB AC= + , 1 2 BN AB AC= − + ，………2 分 又因为 AB AC⊥ ， 1AB = ， 2AC = ，所以 1 1 1 ( ) ( ) 0 2 2 2 AM BN AB AC AB AC = +  − + = ，故 AM BN⊥ ，从而 AM BN⊥ ，………4 分 ⊥PM 底面 ABC， BN 底面 ABC， BNPM ⊥ ，………5 分 又 AM MPM = ，故 ⊥BN 平面 APM ………6 分 (2)因为 ACAB ⊥ ，故以点 A为坐标原点， ACAB， 所在直线分别为 yx, 轴，过点A作垂直 于平面 ABC 的直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，………7 分 则 )0,0,0(A , )0,2,0(C , )0,0,1(B , 1 2 1 ( , , ) 2 2 2 P , )0, 2 2 ,0(N ,………8 分 则 )0,2,0(=AC , )0,2 2 ,1(−=BN , 1 2 1 ( , , ) 2 2 2 AP = ,………9 分 因为平面EBN ⊥底面 ABC ，易得平面EBN 的一个法向量为 1 (1, 2,0)n = ，设平面 PAC 的一个法向量为 2 ( , , )n x y z= ， 则     = = 0 0 2 2 nAC nAP ，可得 1 2 1 0 2 2 2 2 0 x y z y  + + =   = ，令 1x = 可得 2 (1,0, 1)n = − ，………12 分 设二面角 A EN B− − 为 ，则 1 2 1 6 cos | cos , | 63 2 n n =  = =  ， ………14 分 故二面角 A EN B− − 的正弦值为 30 6 .………15 分 18.(1)当 1=a 时， 2 ( ) (3 1) x x f x x e − = − − ，则 3 ( ) 3 x x f x e −  = − ，………1 分 令 0)(  xf ，解得 0x ，令 0)(  xf ，解得 0x ，………3 分 所以 )(xf 在 )0,(− 单调递增， ),0( + 单调递减；………4 分 (2) 函数 ( )f x 的图象是连续的，且在定义域上是单调函数， 3 3( ) 0 x x f x a e −  = −  在定义域内恒成立，或 3 3( ) 0 x x f x a e −  = −  ，在定义域内恒成 立. ………5 分 4 ( ) x x f x e −  = 在 ( ), 4− 为负， ( )4, + 为正， 所以 3 ( ) 3 x x f x a e −  = − 在 ( ), 4− 单调递减， ( )4, + 单调递增，………7 分 ① 若 3 ( ) 3 0 x x f x a e −  = −  在定义域内恒成立， 只需 min 4 1 ( ) (4) 3 0f x f a e  = = − −  ，即 4 1 3 a e  − .………8 分 ② 若 3 ( ) 3 0 x x f x a e −  = −  在定义域内恒成立， x→−时， ( )f x →+，故该情况a 无解. ………9 分 综上： 4 1 3 a e  − . ………10 分 (3)若 ( ) 0f x  恒成立，则 ( ) 2 3 1 1 0 ex x a x b − − − − −  ，当 2x = 时， 5 1 0a b− − −  ，即 5 1a b+  − ，………11 分 下证5 1a b+ = − 成立，由5 1a b+ = − 得， ( ) 2 3 1 5 0 ex x a x a − − − +  恒成立， 即 ( ) 2 3 6 0 ex x a x − − −  ，………12 分 记 ( ) 2 ( ) 3 6 ex x F x a x − = − − (2) 0F = ，故 (2) 0F = ， 而 3 ( ) 3 ex x F x a −  = − ，则 2 1 3 0 e a− = ，解得 2e 1 3 a = ，………14 分 只需证 ( )2 2 1 ( ) 3 6 0 e 3x x F x x e − = − −  恒成立， 2 3 1 ( ) ex x F x e −  = − ，由（2）得 ( )F x 在 ( ,4)− 上单调递减，在 (4, )+ 上单调递增， 又 (2) 0F = ， ( )F x 在 ( ,2)− 上为正，在 (2,4)上为负，在 (4, )+ 上为负， ( )F x 在 ( ,2)− 上单调递增，在 (2, )+ 上单调递减， max( ) (2) 0F x F = = ， 即 ( ) 0F x  恒成立，………16 分 5a b + 最小值为 1− . ………17 分 19.解：（1） ( )f x 图象的相邻的两条对称轴间的距离为 2  ( )f x 的最小正周期为T=2 2   = 2 0 2 T     = =， ，………1 分 ( ) sin(2 )f x x  = + 又 ( )f x 的图象过点 3 0, 2        ， 3 (0) sin 2 f  = = . = 2 3     ， ， ( ) sin(2 ) 3 f x x  = + ………2 分 因为函数 ( ) sin(2 2 ) 3 y f x m x m  = + = + + 是偶函数 2 = ( ) 3 2 m k k Z    + +  ， = ( ) 12 2 k m k Z    +  ………3 分  |m|的最小值 12  .………4 分 （2）由 ( )=4 ( ) 1 4sin(2 ) 1 0 3 g x f x x  + = + + = 可得 1 sin(2 ) 3 4 x  + = − ………5 分 17 31 , 12 12 x     −    ， 5 11 2 , 3 2 2 x      +  −    ………6 分 设 2 3 i ix t  + = ，由 siny t= 与 1 4 y = − 图象可知在 5 11 , 2 2    −    共有 8 个交点………7 分 1 8 2 7 3 6 4 5 3t t t t t t t t + = + = + = + = ………8 分 1 8 1 8 7 2 2 3 , 3 3 6 x x x x     + + + =  + = ，同理 2 3 4 5 6 72 2 2 2 2 2 7 ,x x x x x x + + + + + = ………9 分 1 2 3 4 5 6 7 8 49 2 2 2 2 2 2 + 6 x x x x x x x x   + + + + + + = .………10 分 （3） ( ) sin(2 ) 3 f x x  = + ， 1 1 ( )= ( ) sin(2 ) 2 6 2 x x h x f x x         − =        ………11 分 假设存在非零实数，使得函数 ( ) 1 sin 2 2 x h x x   =     是R 上的周期为T 的T 级周期函数， 即 x R ，恒有 ( ) ( )h x T T h x+ =  ， 则 x R ，恒有 ( ) 1 1 sin 2 2 sin 2 2 2 x T x x T T x   +     + =         成立， 则 x R ，恒有 ( )sin 2 2 2 sin 2Tx T T x  + =  成立，………13 分 当 0  时， x R ，则2 x R ，2 2x T + R ， 所以， 1 sin 2 1x−   ， ( )1 sin 2 2 1x T −  +  ， 要使得 ( )sin 2 2 2 sin 2Tx T T x  + =  恒成立，则有 2 1TT  =  .………14 分 当 2 1TT  = 时，则 0T  ，即 1 2T T = ，令 ( ) 1 2xp x x = − ，其中 0x  ， 则 1 2 2 0 2 p   = −     ， ( )1 2 1 1 0p = − =  ， 且函数 ( )p x 在 ( )0, + 上的图象是连续的， 由零点存在定理可知，函数 ( )p x 在 ( )0, + 上有唯一的零点， 8 6 4 2 2 4 6 8 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π 5π 6π 此时， ( )sin 2 2 sin 2x T x  + = 恒成立，则 ( )2 2 πT m m = Z ，即 ( ) πm m T  = Z ；………15 分 当 2 1TT  = − 时，则 0T  ，即 2 TT −− = ，作出函数 y x= − 、 2 xy −= 的图象如下图所示： 由图可知，函数 y x= − 、 2 xy −= 的图象没有公共点， 故方程 2 1TT  = − 无实数解. ………16 分 综上所述，存在 ( ) πm m T  = Z 满足题意，其中T 满足 2 1TT  = .………17 分