4.2.2 指数函数的图象和性质 （第2课时）（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.2 4.2.2第2课时　指数函数性质的应用 教学设计 1、 教学目标 (1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念• ⑵能用描点法或借助信息技术画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. (3)结合指数函数概念、图象与性质的研究，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升数学抽象、直观想象素养• 2、 重点难点 教学重点：利用指数函数的单调性解决与不等式有关的问题． 教学难点：指数函数性质的综合应用． 3、 学情分析&教材分析 (1)能结合教科书中游客增长的问题1和碳14衰减的问题2,通过运算发现其中具体的增长或衰减的规律，并从中体会实际问题中变量间的关系・在了解指数函数的实际意义的基础上，知道指数函数的含义和表示，清楚其定义域和底数的取值范围• ⑵能根据函数解析式或利用计算工具计算出指数函数的两个变量的一些对应值并列表，然后描点或利用信息技术画出指数函数的图象，或能根据函数解析式直接利用信息技术画出指数函数的图象；结合函数图象，归纳这些图象的共同特征，探索并总结指数函数的单调性与特殊点，并结合函数解析式验证所总结的函数单调性和特殊点• ⑶结合指数函数的教学，体会"概念-图象-性质”的研究具体函数的一般思路；在由具体实例抽象为具体函数、再由具体函数概括为指数函数的过程，提升数学抽象素养；结合由函数图象直观认识函数性质的过程，体会数形结合的思想方法，提升直观想象素养. 4、 学习目标 1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式． 2.能利用函数的单调性求简单的函数定义域与值域的问题． 3.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题． 5、 导入新知 例3比较下列各题中两个值的大小： （1）； （2）； （3）． 分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），和不能看作某一个指数函数的两个函数值．可以利用函数和的单调性，以及“时，”这条性质把它们联系起来． 【解析】（1）和可看作函数当分别取和时所对应的两个函数值．因为底数，所以指数函数是增函数．因为，所以． （2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数． 因为，所以由例3可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系． （3）由指数函数的性质知 ， ， 所以． 【变式】比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1和a0.3(a>0，且a≠1)． 【解析】(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. 【感悟提升】比较幂值大小的三种类型及方法 (1)底数相同、指数不同：构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同、底数不同：分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小(或可以构造幂函数，利用幂函数单调性比较大小)． (3)底数、指数都不相同：取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． 注意：当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 6、 应用新知 例４如图4.2-7，某城市人口呈指数增长． （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期． （2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系． 【解析】（１）观察图4.3-7，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年． （2） 因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人． 【变式】一片森林原来的面积为,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年? 【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为,则 ,即,解得. (2)设经过年剩余面积为原来的,则 ,即,解得, 故到今年为止,已砍伐了5年. (3)设从今年开始,以后砍了年, 则年后剩余面积为.令,即 ,解得. 故今后最多还能砍伐15年. 7、 能力提升 题型一　利用单调性比较大小 例1. 解(1)因为是增函数,,故. (2)因为是减函数,,故. (3)因为在上单调递增,,故. (4)因为,故. (5)取中间值,因为,故 (也可取中间值0.80.8,即). 反思感悟　一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 题型二　简单的指数不等式的解法 例2　(1)解不等式; (2)已知,求的取值范围. 解,原不等式可以转化为. 在上是减函数,, 故原不等式的解集是. (2)分情况讨论:①当时,函数在上是减函数, ,解得; ②当时,函数在上是增函数, ,解得或, 综上所述,当时,的取值范围是; 当时,的取值范围是或. 反思感悟　(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 题型三　定区间上的值域问题 例3　函数的值域为． 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】利用换元法，将函数转化为指数函数和二次函数，利用二次函数和指数函数的性质即可得到结论. 【详解】令， 则当时，取得最小值，为1； 当时，取得最大值，为5， ， 即所求函数的值域为， 故答案为. 【点睛】该题考查的是有关二次与指数函数的复合函数在给定区间上的值域的问题，涉及到的知识点有二次函数在某个区间上的值域，利用指数函数的单调性求函数的值域，属于简单题目. 反思感悟　关于定区间上的值域问题 (1)求定区间上的值域关键是确定函数的单调性，如果底数中含字母，则分a>1,0<a<1两种情况讨论，单调性确定后，根据单调性求最值即可． (2)特别地，如果是求最大值与最小值的和，则不需要讨论，因为无论单调递增还是单调递减，最值总在端点处取到． 题型四指数函数图象和性质的综合运用 例4　已知函数. (1)判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)在R上的单调递增，证明见解析； (2)是奇函数，证明见解析； (3). 【知识点】根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取，设，然后判断与0的大小，即可确定单调性. （2），直接利用函数奇偶性的定义判断； （3）利用函数是奇函数，将题设不等式转化为，再利用是上的单调增函数求解. 【详解】（1）函数是增函数，任取，不妨设， ， ∵， ∴，又， ∴，即， ∴函数是上的增函数. （2）函数为奇函数，证明如下： 由解析式可得：，且定义域为关于原点对称， ， ∴函数是定义域内的奇函数. （3）由等价于， ∵是上的单调增函数， ∴，即恒成立， ∴，解得. 反思感悟　函数性质的综合应用 (1)解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题． (2)一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解． 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)比较大小． (2)解不等式、方程． (3)定区间上的值域问题． (4)指数函数图象和性质的综合运用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1. 9、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)完成教材第118〜120页习题4.2第1〜4题、6题、10题. 习题4.2（第118页） 复习巩固 1．求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）；（4）． 1．解析：（1）；（2）； （3）；（4） 2．一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式． 2．解析：由题意可得， 经过1年后，年产量为； 经过2年后，年产量为； 经过3年后，年产量为；……； 经过年后，年产量为．． 3．比较满足下列条件的，的大小： （1）；（2）； （3）；（4）． 3．解析：（1）；（2）；（3）；（4）． 4．设函数，且，． （1）求函数的增长率； （2）求的值． 4．解析：（1），① ，② ，得，． （2）由（1）可知，． 综合运用 5．求下列函数可能的一个解析式： （1）函数的数据如下表： 0 1 2 f(x) 3.50 4.20 5.04 （2）函数的图象如下： 5．解析：（1），所以是指数型函数，设，且， 由，得，． （2）设，且，由，得，解得， ． 6．比较下列各题中两个值的大小： （1），；（2），； （3），；（4），． 6．解析：（1）是增函数，且，所以，即； （2）是减函数，且，所以，即； （3）是增函数，且，所以，即； （4）是减函数，且，所以，即． 7．当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的反射性探测器能测到碳14吗？ 7．解析：能，设原来碳14的含量为1，则经过9个“半衰期”后，碳14的含量为，所以能探测到． 8．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x． （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和． 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄． 8．解析：（1）本利和y关于存期数x的函数解析式为． （2）当时，（元）． ∴5期后的本利和为1118元． 拓广探索 9．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交． （1）求该函数的解析式，并画出图象； （2）判断该函数的奇偶性和单调性． 9．解析：（1）由题意，得，，，图象如图所示： （2）该函数是偶函数．在上单调递减，在上单调递增． 10．已知，且， （1）讨论函数和的单调性． （2）如果，那么的取值范围是多少？ 10．解析：（1）当时，单调递增，单调递减； 当时，单调递减，单调递增． （2） 当时，若，由图①，得； 当时，若，由图②，得． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$