4.2.2 指数函数的图象和性质 （第1课时）（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

4.2 4.2.2 第1课时 指数函数的图象和性质 教学设计 1、 教学目标 1. 运用描点法画指数函数的图象, 运用图象来研究指 数函数的性质, 达到直观想象和数学抽象核心素养学业质 量水平一的层次. 2. 结合实例, 体会从一般到特殊研究问题的方法, 达 到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次. 3. 能通过数形结合, 解决定点、单调性等问题, 达到直 观想象、逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次. 情境与问题 复习指数函数的概念, 有了函数概念, 就有了进一步 了解函数性质的需求, 由此引人本节课的学习内容. 2、 重点难点 教学重点：掌握指数函数的图象、性质及应用. 教学难点：指数函数的图象、性质与底数的关系及应用. 3、 学情分析&教材分析 本节内容包含指数函数的图象, 指数函数的单调性, 是高考常考内容之一. 通过观察图象, 总结出单调性、特殊点, 体会从图象看 性质以及从函数解析式判断性质, 体会数形结合的思想, 为后面学习对数函数做铺垫. 指数函数的图象和单调性是经常考查的内容, 有的还 可能与其他内容相结合,综合考查学生的知识储备和解题 技能. 4、 学习目标 1.理解指数函数的定义及其形式。 2.掌握指数函数的基本性质。 3.学会绘制指数函数的图象，并能描述其特征。 4.能够运用指数函数解决简单的实际问题。 5、 导入新知 请同学们回顾指数函数的定义和指数函数的解析式的特征．一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，所以我们今天类比研究幂函数的图象和性质的过程和方法，进一步研究指数函数． 首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质． 先从简单的函数 开始． 请同学们完成，的对应值表4.2-2，并用描点法画出函数的图象（图4.2-4）． 表4.2-2 x y -2 -1.5 0.35 -1 -0.5 0.71 0 0.5 1.41 1 1.5 2.83 2 为了得到指数函数（，且）的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察． 探究 画出函数的图象，并与函数的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数的图象，画出函数的图象？ 因为，点与点关于轴对称，所以函数图象上任意一点关于轴的对称点都在函数的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 轴对称．根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数的图象，画出的图象（图4.2-5）． 探究 选取底数，且的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数，且的值域和性质吗？ 如图4.2-6，选取底数的若干值，用信息技术画图，发现指数函数的图象按底数的取值，可分为和两种类型．因此，指数函数的性质也可以分和两种情况进行研究． 一般地，指数函数的图象和性质如表4.2-3所示． a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 6、 应用新知 例1下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】根据指数函数的定义判断即可； 【详解】解：形如且为指数函数，其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数， 故选：B. 【变式1】下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．且 【答案】AD 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】利用指数函数的定义直接判断. 【详解】由指数函数的定义知，A、D选项是指数函数. 选项B：，不是指数函数. 选项C：不是指数函数. 故选：AD. 反思感悟　1.解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 2.判断一个函数是不是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． 例2函数（且）的图象恒过定点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的性质，令，即可得出结果. 【详解】令得，则， 即函数（且）的图象恒过定点P的坐标为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求指数型函数所过定点，属于基础题型. 【变式2】函数且的图象恒过定点 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的性质确定正确答案. 【详解】当时，， 所以函数且的图象恒过定点. 故答案为： 例3　函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据指数函数值域等知识直接计算求解. 【详解】因为，所以， 所以，即函数的值域为. 故答案为： 【变式3】设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B= A．（﹣1,3] B．[﹣1,3] C．{1,2,3} D．{0,1,2,3} 【答案】C 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、交集的概念及运算 【分析】根据指数函数的值域，即可由集合的交集即可求得结果. 【详解】∵集合A={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}， B={x|﹣2≤x≤3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B={1,2,3}， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交运算，涉及指数函数值域，属基础题. 反思感悟　y＝af(x)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域． (2)形如y＝af(x)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 7、 能力提升 题型一　指数函数的图象 【练习1】如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】判断指数函数的单调性、判断指数型函数的图象形状 【分析】利用指数函数的图象与性质即可得出结果. 【详解】根据函数与关于对称，可知①④正确， 函数为单调递增函数，故③正确. 所以②不是已知函数图象. 故选：B 【感悟提升】识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1. (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小． (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 题型二　与指数函数有关的定义域和值域问题 【练习2】求函数的单调区间及值域. 【答案】上单增，在上单减. 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的值域 【分析】令，利用复合函数的单调性求解； 由，根据在R上递增求解. 【详解】令，t在上递增，在上递减， 又在R上递增， 所以函数的增区间是，减区间是， 因为， 因为在R上递增， 所以函数的值域是. 【感悟提升】 1．函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 2．y＝f(ax)型函数的定义域、值域的求法 (1)求函数y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(x)的定义域中． (2)求函数y＝f(ax)的值域，先求出t＝ax的值域，再求y＝f(x)的值域． 提示：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的 题型三　指数函数图象的应用 【练习3】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性，利用指数函数的特征判断即可. 【详解】函数是偶函数，其图象关于轴对称， 当时，函数的图象是减函数，函数的值域， 结合选项可得只有B符合， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及基本函数的特征的考查，属于基础题. 【感悟提升】指数函数图象的应用问题 (1)定点问题：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． (2)变换问题：利用图象的平移变换、翻折变换求参数． 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)指数函数的图象． (2)指数函数的图象和应用． (3)指数函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及过定点． （4）指数函数的概念 函数,且叫做指数函数,其中指数是自变量,函数的定义域是. （5）指数函数,且的图象与性质. a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：形如函数y＝af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)＝0. 9、 作业设计 完成教材第118 页练习第 1,2,3 题. 练习（第118页） 1．在同一坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系． 1．解析：在同一坐标系中画出函数和的图象如图所示，它们的图象关于轴对称． 2．比较下列各题中两个值的大小： （1），； （2），； （3）． 2．解析：（1）因为幂函数在上单调递增，且，所以，即 ． （2）因为指数函数单调递减，且，所以，即． （3） ． 3．体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图． 3．可用指数型函数来刻画体内癌细胞随时间变化的规律，其中初始量，增长比例，．图略． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$