2025年江苏省九年级中考数学一轮复习课件：第6章 圆第1节圆的基本性质

第1节　圆的基本性质 考点梳理 1 弧、弦、圆心角的关系 1. 圆的相关概念 图 示 圆 （1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A所形成的图形叫做圆.如图，固定的端点O叫做 ⁠，线 段OA叫做 ⁠； （2）圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点称为圆 心，定长称为半径 圆心　 半径　 第4节 返回目录 考点梳理 弦 （1）连接圆上任意两点的 叫做弦，如AB，BC. （2）经过 的弦叫做直径，直径是圆中最 的弦，如AC 弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做弧，如 ， ， . （2） 半圆的弧叫做劣弧，如 ， ； （3） 半圆的弧叫做优弧，如 . （4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 线段　 圆心　 长　 小于　 大于　 第4节 返回目录 考点梳理 圆心角 顶点在 的角叫做圆心角，如∠AOB 圆周角 顶点在 ，并且两边都与圆 ⁠的角叫做圆周 角，如∠ACB 圆心　 圆上　 相交　 提醒 （1）半圆是弧，不是封闭图形.（2）弧长相等的弧不一定是等弧. 第4节 返回目录 考点梳理 2. 圆的对称性 对 称 性 （1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴. （2）圆是中心对称图形， ⁠是它的对称中心 旋转 不变 性 把圆绕 ⁠旋转任意一个角度后所得的图形都能与原图形重合 圆心　 圆心　 第4节 返回目录 考点梳理 3. 弦、弧、圆心角之间的关系 定 理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也 ⁠⁠ 推 论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等， 即“知一推二”.如图，∠AOB＝∠COD⇔ ＝ ⇔AB＝CD 相等　 相等 第4节 返回目录 考点梳理 提醒 　　上述定理及其推论成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，做题时一 定要多注意. 第4节 返回目录 考点梳理 1. 已知☉O中最长的弦为16 cm，则☉O的半径为 cm. 8　 2. 如图， ＝ .若AB＝3，则CD＝ ⁠. 第2题图 3　 第4节 返回目录 考点梳理 3. 如图，AB是☉O的直径，BC，CD，DA是☉O的弦，且BC＝CD＝ DA，则∠BCD＝ ⁠. 第3题图 120°　 第4节 返回目录 考点梳理 4. 如图，☉O的弦AB的延长线与半径OC的延长线交于点D，BD＝OA. 若∠AOC＝120°，则∠D的度数是 ⁠. 20°　 第4节 返回目录 考点梳理 垂径定理及其推论 定 理 垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的 ⁠ ∵AB是☉O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝ ， ＝ ， ＝ 平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 ⁠这条弦所对的 两条弧 平分　 两条弧　 DE　 垂直　 平分　 第4节 返回目录 考点梳理 提醒 　　利用垂径定理及其推论解题时，常过圆心向弦作垂线，在计算时，常 涉及半径r，弦长a，弦心距d（圆心到弦的距离），它们之间的关系是r2 ＝d2＋（ ）2. 第4节 返回目录 考点梳理 1. 如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D. 若OC＝5 cm，DC＝2 cm, 则AB＝ ⁠. 8 cm　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 如图，AB，AC是☉O的两条弦，且AB⊥AC. 若AB＝8，AC＝6，则 ☉O的半径等于 ⁠. 5　 第4节 返回目录 考点梳理 3. 如图，直径为10 dm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为8 dm，则水的最大深度CD是 dm. 2　 第4节 返回目录 考点梳理 4. 如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E. 若CE＝ ，BE＝1，则 OC＝ ⁠. 2　 第4节 返回目录 考点梳理 圆周角定理及其推论 定 理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ⁠，同弧或等弧所 对的圆周角 ⁠ 情 况 圆心在圆周角的一条边上 圆心在圆周角 内部 圆心在圆周角外部 一半　 相等　 第4节 返回目录 考点梳理 图 形 结 论 ∠AOB＝2∠APB 推 论 半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦 是 ⁠ 直角　 直径　 第4节 返回目录 考点梳理 提醒 常见的与圆性质有关的分类讨论 （1）已知圆内一条弦与其对应的圆心角，求其对应的圆周角（如图1）； （2）已知圆内两条平行弦，求这两条弦间的距离（如图2）. 第4节 返回目录 考点梳理 1. 如图，A，B，C为☉O上的三点.若∠AOB＝140°，则∠ACB的度数 为 ⁠°. 第1题图 70　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 如图，AB是☉O的直径，C，D在☉O上.若∠ABC＝70°，则∠D的 度数为 ⁠°. 第2题图 20　 3. 半径为1的☉O中，弦AB＝ ，弦AB所对的圆周角的度数为 ⁠ ⁠. 45°或 135°　 第4节 返回目录 考点梳理 圆内接四边形 定 义 如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做这个 圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆 第4节 返回目录 考点梳理 性质 圆内接四边形的对角 ⁠. 如图，∠A＋ ＝180°，∠B ＋ ＝180° 四边形ABCD 是☉O的内接 四边形 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对 角（和它相邻内角的对角）.如图，∠DCE ＝ ⁠ 互补　 ∠BCD　 ∠D　 ∠A　 第4节 返回目录 考点梳理 1. 如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线上一点.若∠A＝ 80°，则∠DCE＝ ⁠°. 80　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 如图，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OD. 若∠BOD＝130°， 则∠C的度数是 ⁠°. 115　 第4节 返回目录 考点梳理 3. 如图，在☉O中，点A在 上.若∠BOC＝100°，则∠BAC ＝ ⁠°. 130　 第4节 返回目录 考点梳理 考点精研 2 弧、弦、圆心角的关系 1. 如图，在扇形AOB中，D为 上的点，连接AD并延长，与OB的延长 线交于点C. 若CD＝OA，∠O＝72°，则∠A的度数为（　D　） A. 35° B. 52.5° C. 70° D. 72° 第1题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 2. （2023苏州）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上， ＝ ，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E. 设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若 ＝ ，则tan∠ACO的值为 （　A　） A. B. C. D. 第2题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 3. 如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的☉O与AB， BC，AC分别交于点F，D，G，且D是 的中点. （1）求证AB＝AC； 解析：（1）证明：如图，连接AD. ∵AE是☉O的直径，∴∠EDA＝90°. ∵D是 的中点，∴ ＝ ， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵∠B＋∠BAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 （2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长. 解析：（2）如图，连接DG. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD. ∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6. 由勾股定理，得AD＝ ＝8. ∵DF∥AC，∴ ＝ ，∴BF＝FA. 在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA， ∴DG＝DF＝ AB＝5. ∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE， ∴△AEC∽△DGC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AE＝ . 在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝ ，AD＝8， ∴DE＝ ＝ ， ∴EC＝CD－DE＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 垂径定理 4. 如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠. 若 恰好过圆心O，则BC的长是（　A　） A. 3 B. π C. 2π D. 4π 第4题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 5. 如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于 A，B，C，D四点.已知A（6，0），B（－2，0），C（0，3），则点 D的坐标为 ⁠. 第5题图 （0，4）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 6. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆 弧所在的圆外接于矩形门洞.如图，已知矩形门洞的宽为 m，高为3 m， 则改建后门洞的圆弧长是 m.（结果请保留π） π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 圆周角定理及其推论 7. 如图，点C，D在半圆O上， ＝2 ＝2 ，AD，BC相交于点 E， 的值为（　D　） A. B. C. D. 第7题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 8. （2024镇江）如图，AB是☉O的内接正n边形的一边，点C在☉O上， ∠ACB＝18°，则n＝ ⁠. 第8题图 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 9. （2024常州）如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，连接AD， BC，BD. 若∠BCD＝20°，则∠ABD＝ ⁠°. 第9题图 70　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 10. （2024苏州）如图，△ABC是☉O的内接三角形，若∠OBC＝28°， 则∠A＝ ⁠°. 第10题图 62　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 11. （2024盐城）如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠C＝40°，连接 OA，OB，则∠OAB＝ ⁠°. 50　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 12. （2024连云港）如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均 在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3 ＋∠4＝ °. 重难点拨 90　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 13. （2023南通）如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上.若∠DAB＝ 66°，则∠ACD＝ ⁠°. 24　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 14. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD， 垂足分别为E，F. 若OF＝ ，则AB＝ ⁠. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 15. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC所在直 线折叠， 恰好经过点O. 若AB＝4，则 的长是 ⁠. π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 16. （2024苏州）如图，△ABC中，AB＝4 ，D为AB中点，∠BAC＝ ∠BCD， cos ∠ADC＝ ，☉O是△ACD的外接圆. （1）求BC的长； 解析：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BCD，∴ ＝ ， ∵AB＝4 ，D为AB中点，∴BD＝AD＝2 ， ∴BC2＝16，∴BC＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 （2）求☉O的半径. 解析：（2）如图，过点A作AE⊥CD于点E，连接CO并延长， 交☉O于F，连接AF， ∵在Rt△AED中， cos ∠CDA＝ ＝ ，AD＝2 ， ∴DE＝1，∴AE＝ ＝ ， ∵△BAC∽△BCD，∴ ＝ ＝ ， 设CD＝x，则AC＝ x，CE＝x－1， ∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2， ∴（ x）2＝（x－1）2＋（ ）2，即x2＋2x－8＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 解得x＝2或x＝－4（舍去），∴CD＝2，AC＝2 ， ∵∠AFC与∠ADC都是 所对的圆周角， ∴∠AFC＝∠ADC， ∵CF为☉O的直径，∴∠CAF＝90°， ∴ sin ∠AFC＝ ＝ sin ∠CDA＝ ＝ ， ∴CF＝ ，即☉O的半径为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 17. （2023无锡）如图，AB是☉O的直径，FD为☉O的切线，CD与AB 相交于点E，DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD，连接DA. （1）求∠F的度数； 解析：（1）如图，连接OD. ∵FD为☉O的切线，∴∠ODF＝90°. ∵DF∥AB，∴∠AOD＝180°－∠ODF＝90°， ∴∠ACD＝ ∠AOD＝45°. ∵CF＝CD，∴∠F＝∠CDF＝ ＝67.5°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 （2）若DE·DC＝8，求☉O的半径. 解析：（2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠EAD＝45°. ∵∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠EAD. ∵∠ADE＝∠CDA，∴△DAE∽△DCA， ∴ ＝ ，∴DA2＝DE·DC＝8. ∵DA＞0，∴DA＝2 . ∵OA2＋OD2＝2OA2＝DA2＝8，OA＞0， ∴OA＝2，即☉O的半径为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 圆内接四边形 18. （2023淮安）如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，BC是☉O的 直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 ⁠°. 120　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 19. （2022南京）如图，四边形ABCD内接于☉O，它的3个外角∠EAB， ∠FBC，∠GCD的度数之比为1∶2∶4，则∠D＝ ⁠°. 72　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 20. （2024无锡）如图，AB是☉O的直径，△ACD内接于☉O， ＝ ，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD. （1）求证：△CAD∽△CEA； 解析：（1）证明：∵ ＝ ， ∴∠CAD＝∠DAB， ∵DE＝AD，∴∠DAB＝∠E， ∴∠CAD＝∠E， 又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CEA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 （2）求∠ADC的度数. 解析：（2）连接BD，如图. ∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°， 设∠CAD＝∠DAB＝α，∴∠CAE＝2α， 由（1）知△CAD∽△CEA， ∴∠ADC＝∠CAE＝2α， ∵四边形ABDC是圆O的内接四边形， ∴∠CAB＋∠CDB＝180°， 即2α＋2α＋90°＝180°，解得α＝22.5°， ∴∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 21. （2024扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种 常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况， 证明结论. 已知△ABC，CA＝CB，☉O是△ABC的外接圆，点D在☉O上（AD＞ BD），连接AD，BD，CD. 重难点拨 【特殊化感知】 （1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上， 则AD－BD与CD的数量关系为 ⁠； AD－BD＝CD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 解析：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°， ∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°， ∵AD为☉O的直径， ∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝30°， ∴CD＝BD＝ AD， ∴AD－BD＝CD. 故答案为AD－BD＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 【一般化探究】 （2）如图2，若∠ACB＝60°，点C，D在AB同侧， 判断AD－BD与CD的数量关系并说明理由； 解析：（2）若∠ACB＝60°，点C，D在AB同侧， AD－BD与CD的数量关系为AD－BD＝CD，理由： 延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，如图1， ∵CA＝CB，∠ACB＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵四边形ABDC为圆的内接四边形， ∴∠CDE＝∠BAC＝60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 ∵DE＝CD，∴△CDE为等边三角形， ∴CE＝CD，∠DCE＝∠E＝60°， ∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝60°＋∠BCD， ∵∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝60°＋∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE. ∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠E＝60°. 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（ASA），∴AD＝BE， ∵BE＝BD＋DE＝BD＋CD， ∴AD＝BD＋CD，∴AD－BD＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 【拓展性延伸】 （3）若∠ACB＝α，直接写出AD，BD，CD满足的数量关系.（用含α的 式子表示） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 （3）①当点C，D在AB同侧时， 延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，如图2， ∵CA＝CB，∠ACB＝α， ∴∠CAB＝∠CBA＝90°－ α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 ∵四边形ABDC为圆的内接四边形， ∴∠CDE＝∠BAC＝90°－ α， ∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝90°－ α，∠DCE＝α. ∵CF⊥DE，∴∠DCF＝∠ECF＝ α，DF＝EF＝CD· sin α，∴DE＝2DF ＝2CD· sin α， ∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝α＋∠BCD，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝α＋ ∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 ∵∠ADC＝∠ABC＝90°－ α，∴∠ADC＝∠E. 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（ASA），∴AD＝BE， ∵BE＝BD＋DE＝BD＋2CD· sin α， ∴AD－BD＝2CD· sin α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 ②当点C，D在AB两侧时， 延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，如图3， ∵CA＝CB，∠ACB＝α，∴∠CAB＝∠CBA＝90°－ α， ∵四边形ADBC为圆的内接四边形， ∴∠CBE＝∠DAC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 在△CAD和△CBE中， ∴△CAD≌△CBE（SAS），∴CD＝CE，∠ADC＝∠E， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°－ α，∴∠E＝90°－ α， ∵CF⊥DE，∴∠DCF＝∠ECF＝ α，DF＝EF＝CD· sin α，∴ DE＝ CD· sin α， ∴DE＝2CD· sin α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 ∴AD＋BD＝2CD· sin α. 综上，若∠ACB＝α，AD，BD，CD满足的数量关系为：当点C，D在AB同侧 时，AD－BD＝2CD· sin α；当点C，D在AB两侧时，AD＋BD＝2CD· sin α. ∵DE＝BD＋BE＝AD＋BD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 第4节 返回目录 考点精研 $$