2025年江苏省九年级中考数学一轮复习课件：第6章 圆第2节与圆有关的位置关系

第2节　与圆有关的位置关系 考点梳理 1 点、直线和圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心O的距离为d，则 （1） ⇔点在圆内； （2）d＝r⇔点在圆 ⁠； （3） ⇔点在圆外. d＜r　 上　 d＞r　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 直线与圆的位置关系 设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 位置关系 相离 相切 相交 图示 d与r 的关系 d ⁠r d ⁠r d ⁠r 交点的情况 没有交点 有且只有一个交点 有两个交点 ＞　 ＝　 ＜　 第4节 返回目录 考点梳理 1. 已知☉O的半径为5，线段OA的长为d.若点A在☉O外，则d的取值范 围为 ⁠. d＞5　 2. 已知点A（3，4），若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则☉A 与x轴的位置关系为 ⁠. 相离　 3. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为6 cm，该圆的直径是 ⁠ ⁠. 9 cm或 3 cm　 第4节 返回目录 考点梳理 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.若以C点为圆心，r为半 径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 ⁠⁠. 3＜r≤4或r＝2.4　 第4节 返回目录 考点梳理 切线的性质与判定 1. 切线的性质 （1）圆的切线 于经过 的半径. （2）经过圆心且垂直于切线的直线经过 ⁠. （3）经过切点且垂直于切线的直线经过 ⁠. 垂直　 切点　 切点　 圆心　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 切线的判定 （1）与圆有且只有 个公共点的直线是圆的切线. （2）如果圆心到一条直线的距离等于圆的 ⁠，那么这条直线是圆的 切线. （3）经过半径的 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 一　 半径　 外端　 第4节 返回目录 考点梳理 提醒 证明切线的两种常用方法 （1）当直线与圆有公共点时，“连半径，证垂直”.（2）当不确定直线与 圆是否有公共点时，“作垂直，证相等”. 第4节 返回目录 考点梳理 3. 切线长及切线长定理 （1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫 做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长 ⁠，圆心和这 一点的连线 两条切线的夹角. 相等　 平分　 第4节 返回目录 考点梳理 1. 如图，AB与☉O相切于点B，连接AO并延长交☉O于点C，连接BC. 若∠C＝35°，则∠A的度数是 ⁠. 20°　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点.若∠OAB＝30°，则 ∠APB＝ ⁠. 60°　 第4节 返回目录 考点梳理 3. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），半径为1的动圆 ☉P沿x轴正方向运动.若运动后☉P与y轴相切，则点P的运动距离为 . 3或5 第4节 返回目录 考点梳理 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为 半径作☉A. 当AB＝ cm时，BC与☉A相切. 6　 第4节 返回目录 考点梳理 三角形的外接圆和内切圆 1. 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆. 2. 三角形的外接圆和内切圆 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 定义 经过三角形三个顶点的圆 与三角形三边都相切的圆 图示 第4节 返回目录 考点梳理 名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆 圆心 三角形的外心，三角形三条 边 ⁠的交点 三角形的内心，三角形三条 ⁠ ⁠的交点 性质 三角形的外心到三角形的三个顶 点的距离 ⁠，等于外接圆 的半径 三角形的内心到三角形三边的距 离 ⁠，等于内切圆的半径 垂直平分线　 角 平分线　 相等　 相等　 第4节 返回目录 考点梳理 提醒 三角形内切圆的半径 （1）已知Rt△ABC的两条直角边长为a，b，斜边长为c，则Rt△ABC的内切圆半径r＝ . （2）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，则△ABC的内切圆 半径r＝ . 第4节 返回目录 考点梳理 1. 直角三角形的两边长为6和8，则此三角形的外接圆半径为 ⁠. 4或5　 2. 已知△ABC的面积是54 cm2，周长是36 cm，则△ABC的内切圆半径 是 cm. 3　 第4节 返回目录 考点梳理 3. 如图，在△ABC中，∠A＝68°.若点O是△ABC的外心，则∠BOC ＝ ；若点O是△ABC的内心，则∠BOC＝ ⁠. 第3题图 136°　 124°　 第4节 返回目录 考点梳理 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 ⁠， 半径是 ⁠. 第4题图 （5， 2） 2 　 第4节 返回目录 考点梳理 考点精研 2 点、直线和圆的位置关系 1. （2023宿迁）在同一平面内，已知☉O的半径为2，圆心O到直线l的距 离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（　B　） A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 2. （2023镇江）已知一次函数y＝kx＋2的图像经过第一、二、四象限，以 坐标原点O为圆心，r为半径作☉O. 若对于符合条件的任意实数k，一次 函数y＝kx＋2的图像与☉O总有两个公共点，则r的最小值为 ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 切线的性质与判定 3. （2024盐城）如图，点C在以AB为直径的☉O上，过点C作☉O的切线 l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC. （1）求证：△ABC∽△ACD； 解析：（1）证明：如图，连接OC， ∵l是☉O的切线，∴OC⊥l， ∵AD⊥l，∴OC∥AD， ∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB， ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ABC∽△ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 （2）若AC＝5，CD＝4，求☉O的半径. 解析：（2）∵AC＝5，CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AD＝ ＝3， ∵△ABC∽△ACD，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴AB＝ ， ∴☉O的半径为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 4. （2024镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应 点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，☉O经过点A，D. 若 ∠ACB＝90°，判断BC与☉O的位置关系，并说明理由. 解析：BC与☉O相切.理由如下： 如图，连接OD. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. 由翻折可知∠CAD＝∠OAD. ∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD， ∴∠ACB＝∠ODB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC， ∵D在☉O上，∴BC与☉O相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 5. （2024宿迁）如图，在☉O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂 足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使 ∠FCD＝2∠B. （1）求证：CF是☉O的切线； 解析：（1）证明：如图，连接OC， ∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO， ∴∠AOC＝∠B＋∠BCO＝2∠B， ∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90°， ∴∠COE＋∠OCE＝90°， ∵∠FCD＝2∠B，∴∠FCD＝∠COE， ∴∠FCD＋∠OCE＝90°，∴∠OCF＝90°， ∵OC是☉O的半径，∴CF是☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 （2）求EF的长. 解析：（2）∵AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，且AB⊥CD， ∴CE＝ CD＝6，∵AB＝20，∴OC＝10， ∴OE＝ ＝8， ∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC， ∴△OCE∽△OFC，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴OF＝ ， ∴EF＝OF－OE＝ －8＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 6. （2023宿迁）（1）如图，AB是☉O的直径，AC与☉O交于 点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE，DB， 　　. 求证： 　　. 从①DE与☉O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件， 余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号）， 并完成证明过程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 证明：连接OD. ∵DE与☉O相切于点D，∴∠ODE＝90°. ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB， ∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO， ∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO， ∴∠AED＝180°－∠ODE＝90°，∴DE⊥AC. 解析：（1）当选择①作为条件，②作为结论时， 如图1，AB是☉O的直径，AC与☉O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC 上，连接DE，DB，DE与☉O相切，求证：DE⊥AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 当选择②作为条件，①作为结论时， 如图2，AB是☉O的直径，AC与☉O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC 上，连接DE，DB，DE⊥AC，求证：DE与☉O相切. 证明：连接OD. ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°. ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB， ∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO， ∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO， ∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°. ∵OD是☉O的半径，∴DE与☉O相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 （2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°， 求阴影部分的面积. 重难点拨 解析：（2）如图3，连接OF，DF. ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵AB＝6，∠BAD＝30°， ∴BD＝ AB＝3，AD＝ BD＝3 . ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 在Rt△AED中，DE＝ AD＝ ，AE＝ DE＝ ， ∵∠EAD＝∠DAB＝30°， ∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°. ∵OD＝OF，∴△DOF，△DOB都是等边三角形， ∴∠ODF＝60°，∴∠DOB＝∠ODF＝60°， ∴DF∥AB，∴S△ADF＝S△ODF， ∴S阴影＝S△AED－S扇形DOF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 ＝ AE·DE－ ＝ × × － ＝ － ＝ ， ∴阴影部分的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 三角形的外接圆和内切圆 7. （2023常州）如图，AD是☉O的直径，△ABC是☉O的内接三角形.若 ∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则☉O的直径AD＝ ⁠. 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 8. （2022南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝ CE. 过A，D，E三点作☉O，连接AO并延长，交BC于点F. （1）求证：AF⊥BC； 解析：（1）证明：如图，连接AD，AE. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴AD＝AE. 连接OD，OE，则OD＝OE. ∵AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（SSS）， ∴∠DAF＝∠EAF，∴AF⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 （2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求☉O的半径. 解析：（2）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF＝ BC＝6， ∴AF＝ ＝ ＝8. ∵BD＝2，∴DF＝4. 设DO＝AO＝x，∴OF＝AF－x＝8－x. ∵OD2＝OF2＋DF2，∴x2＝（8－x）2＋42，∴x＝5， ∴☉O的半径为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 9. （2023南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圆， 过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC， 于点E，F，射线 AF交直线BC于点G. （1）求证：AC＝CG； 解析：（1）证明：如图1，过点A作直径AM. ∵AB＝AC，∴AM⊥BC，∴∠E＋∠EOM＝90°. ∵AC⊥EF，∴∠OAD＋∠AOD＝90°. ∵∠EOM＝∠AOD，∴∠E＝∠OAD. ∵OA＝OF， ∴∠OAD＋∠DAF＝∠AFO＝∠E＋∠G， ∴∠DAF＝∠G，∴AC＝CG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 （2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数； 解析：（2）∵AB＝AC，AM⊥BC，∴∠BAM＝∠CAM. 设∠BAM＝∠CAM＝2α， ∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°－∠BAC）＝90°－2α， ∴∠CAG＝∠CGA＝45°－α， ∴∠BAG＝2α＋2α＋45°－α＝45°＋3α. 如图2，连接AE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 ∵EF⊥AC，又EF过圆心， ∴EF垂直平分AC，∴EC＝AE. ∵BH＝HC，又EB＝CG，∴HE＝HG， ∴AM垂直平分EG，∴AE＝AG，∴EC＝AG. ∵EB＝CG，∴EB＋BC＝BC＋CG， ∴EC＝BG，∴AG＝BG， ∴∠BAG＝∠ABG， ∴45°＋3α＝90°－2α， ∴α＝9°，∴∠BAC＝4α＝36°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 （3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变 化过程，并说明理由. 解析：（3）当CG＝6时，BE＝0. 当CG＞6时，BE随CG的增大而增大； 当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小. 说明：①如图3，当BE＝0时，点E与B重合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 在△BOH和△AOD中， ∴△BOH≌△AOD（AAS）， ∴AD＝BH＝3， ∴AC＝2AD＝6，∴AB＝AC＝BC＝6， ∴CA＝CG＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 ②如图4，当CG＞6时， ∵∠E＝∠CAH，∠EDC＝∠AHC＝90°， ∴△ACH∽△ECD，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴ ＝ ， ∴BE＝ CG2－6， ∴BE随CG的增大而增大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 ③如图5，当3＜CG＜6时， ∵∠ACH＝∠DCE，∠EDC＝∠AHC＝90°， ∴△AHC∽△EDC，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 ∴BE＝－ CG2＋6， ∴BE随CG的增大而减小. 综上所述，当CG＝6时，BE＝0； 当CG＞6时，BE随CG的增大而增大； 当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第4节 返回目录 考点精研 $$