2024-2025学年苏科版八年级数学上学期期中模拟练习（盐城专版）原卷+解析卷

2024-2025学年苏科版八年级数学上期中模拟练习（盐城专版） （考查范围： 第1-3章 时间：100分钟 满分：120分） 一．选择题(24分) 1.如图，已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,不能判定△ABC≡△ ADC的是( ) A、CB=CD B.∠BAC=∠DAC C、∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° 第1题图 第2题图 第3题图 2.在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是( ) A、12个 B.16个 C.20个 D.24个 3.意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为S;，右边图中空白部分的面积为S2，小聪同学得出了以下四个结论:①S1=a²+b²+ab; ②S2=c²+ab; ③S1=S2; ④a²+b²=c².则其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A．   B．  C．  D．   5．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6. 如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC2=（　　） A. 13 B. 20 C. 26 D. 25 第6题图 第7题图 第8题图 7. 如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2023=（　　） A. 22025 B. 22024 C. 22023 D. 22022 8.如图，已知，点、在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是6，则的长是（ D ） A. B. C. D.1 二．填空题(24分) 9. 如图，△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于点F，交DE于点G.若∠AED=105°，2CAD=20'，ZB=30，则∠1的度数为________. 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 10.如图，在△ABC中，AB=AC,ADIBC于D，点F在CD上，E在4ABC内部，且满足EF=BF,ZE=60°，EF交AD于G，若BE=a,EG = b，则FC的长为____(用含字母的代数式表示) 11．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为　 　厘米/秒． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是　　． 13．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是　 　cm． 　 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点，则BE的长为　　． 15．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为　　 ． 16.如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为___8___． 三．解答题（72分） 17.（6分）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    18．（8分）已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称． （1）求证：△AEF≌△AEB； （2）∠DFE=　 　°． 19．（8分）如图，已知，DC∥AB，将BC边沿EF对折后，点B恰好落在CD边上B点处，点的对应点是C， （1）求证：BF＝B′F； （2）求证：△EB′F是等腰三角形． 20．（8分）探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边CB、AC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F． （1）求证：△BAE ≌ △CBD ； （2）∠BFE=　 　°． 应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCM和正五边形ABCMN，如图2、3，在边CB、MC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F，则图2中∠BFE=　 　°；图3中∠BFE=　 　°． 拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠BFE=　 　°（用含n的代数式表示）． 21．（8分）已知两个等腰直角△ABC和△CDE，它们的两个直角顶点B、D在直线MN上，过点A、E分别作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分别为G、F． （1）如图1，当△ABC和△CDE在△BCD的外部时，请你探索线段EF、DB、AG之间的数量关系，其数量关系为　 　． （2）如图2，将图1中的△ABC沿BC翻折，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请探索它们的数量关系，并说明理由． 22.（10分）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值　 　； （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数． 23．（12分）我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'． 尝试解决： （1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长． （2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG． ①求证：PE＝DF；②求AP的长。 24．（12分）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： S梯形ABCD=　 　，S△EBC=　 　，S四边形AECD=　 　， 则它们满足的关系式为　 　，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP 的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版八年级数学上期中模拟练习（盐城专版） （考查范围： 第1-3章 时间：100分钟 满分：120分） 一．选择题(24分) 1.如图，已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,不能判定△ABC≡△ ADC的是( ) A、CB=CD B.∠BAC=∠DAC C、∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° 【答案】C 【解析】已知AB=AD,且AC=AC,当添加CB=CD，根据SSS能判断△ABC≌△ADC，选项A不符合题意;当添加∠BAC=∠DAC，根据SAS能判断△ABC≌△ADC，选项B不符合题意;当添加∠B=∠D=90°，根据HL能判断△AB≌C△ADC，选项D不符合意:如果添加∠BCA=∠DCA，不能根据SSA判断△ABC≌△ADC，选项C符合题意;故选:C. 第1题图 第2题图 第3题图 2.在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是( ) A、12个 B.16个 C.20个 D.24个 【答案】C 【解析】连接EH，EF，AG，BG，AC，AF，如图,类似于△ AEH的等腰三角形共有4个，类似于△EFH的等腰三角形有4个，类似于△ABG的等腰三角形有4个，类似于4ADC的等腰三角形共有4个，类似于4AFG的等腰三角形有4个，共有20个.故选:C. 3.意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为S;，右边图中空白部分的面积为S2，小聪同学得出了以下四个结论:①S1=a²+b²+ab; ②S2=c²+ab; ③S1=S2; ④a²+b²=c².则其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】由勾股定理得:a2+b2=c²,由题意得:S1=S₂=a²+b²+2×ab =a2+b2+ab =c²+ab, 故①、②、③、④正确，故选:D 4．观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A．   B．  C．  D．   【答案】B 【解析】作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，∴点D即为线段AB的中点， ∴CD为△ABC的边AB上的中线．故选：B． 5．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确；②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确． 故选D． 6. 如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC2=（　　） A. 13 B. 20 C. 26 D. 25 【答案】C 【解析】过A作AE⊥l3于E，过C作CF⊥l3于F，则∠AEF=∠CFB=∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°，∠EAB+∠ABE=90°，∴∠EAB=∠CBF，∵在△AEB和△BFC中，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴AE=BF=2，BE=CF=2+1=3，由勾股定理得：AB2=BC2=13，由勾股定理 AC2=AB2+BC2=26，故选C． 第6题图 第7题图 第8题图 7. 如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2023=（　　） A. 22025 B. 22024 C. 22023 D. 22022 【答案】A 【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°∴∠5=180°-60°-30°=90° ∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1，a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1，以此类推：a2024=22025．故选A． 8.如图，已知，点、在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是6，则的长是（ D ） A. B. C. D.1 【答案】D 【解析】如图：作点关于的对称点，连接，交于点，∴，此时周长最小，∴周长为：，∴，∵，根据对称性：，，∴，在中，，，∴根据勾股定理，得即∴．故选：D． 二．填空题(24分) 9. 如图，△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于点F，交DE于点G.若∠AED=105°，2CAD=20'，ZB=30，则∠1的度数为________. 【答案】65° 【解析】∵ΔABC≌△ADE, ∠AED=105°，∠B=30°，∠ACB=∠AED=105°，∠B=∠D=30°.由三角形外角的性质可得∠ACB=∠AFC+∠CAD,∴∠AFC=∠ACB-∠CAD=85'.∴∠GFD=∠AFC=85'.∵∠GFD=85°，∠D=30°，∠1=65°.故选:B. 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 10.如图，在△ABC中，AB=AC,ADIBC于D，点F在CD上，E在4ABC内部，且满足EF=BF,ZE=60°，EF交AD于G，若BE=a,EG = b，则FC的长为____(用含字母的代数式表示) 【答案】b 【解析】∵AB=AC,AD⊥BC于D, BD=DC,∠ADB=∠ADC=90°. EF=BF.∠E=60°，:∠EBF=60°,:∠EFB=60°. △EBF是等边三角形，.∴BF=BE=EF=a,∵EG=b,∴.GF =EF-EG=a-b. 在RtΔDGF中，∵∠GDF=90°，∠DGF=90°-∠GFD=30°，DF=1/2CF=1/2(a-b) BD=BF-DF=1/2(a+b),:.DC=BD=1/2(a+b),∴FC=DC-DF=b.故答案为:b. 11．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为　 　厘米/秒． 【答案】2或3 【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当BD＝CM＝6厘米，BM＝CN时，△DBM≌△MCN， ∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，∴点N运动的速度为2厘米/秒．②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，∴点N的速度为：＝3厘米/秒．故点N的速度为2或3厘米/秒．故答案为：2或3． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是　　． 【答案】 【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠CBE＝60°，∵BE＝AE，∴CE＝BE＝AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC＝BE，∵∠PBQ＝∠CBE＝60°， ∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC＝PE， ∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE＝，∠A＝30°，∴PE＝AE＝，∴CQ的最小值为． 13．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是　 　cm． 【答案】10 【解析】底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故答案为：10． 　 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点，则BE的长为　　． 【答案】 【解析】由题意得：FC=BC=10，BE=EF（设为x）；∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，DC=BC=8， 由勾股定理得：DF2=102﹣82=16，∴DF=4，AF=10﹣4=6；由勾股定理得：EF2=AE2+AF2， 即x2=（8﹣x）2+62解得：x=，故该题答案为． 15．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为　　 ． 【答案】 【解析】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N， ∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∴M在AB上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12，∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，∴CN===，∵E关于AD的对称点M，∴EF=FM，∴CF+EF=CF+FM=CM，根据垂线段最短得出：CM≥CN，即CF+EF≥，即CF+EF的最小值是， ． 16.如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为___8___． 【答案】8 【解析】如图，连接，过点作交的延长线于，∵，且，∴，∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，∴，，，∵，∴，∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为，故答案为：8． 三．解答题（72分） 17.（6分）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    【答案】 【解析】如图所示:作点A的对称点A'，作点B的对称点B’，连接A'B’，交C街和D街于点E.F,则AE+EF+BF =A'E +EF+B'F ≥AB.当点A’.E.F.B共线时，小明行走的路径最短，故小明行走的最短路径是AE-EF-FB. 18．（8分）已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称． （1）求证：△AEF≌△AEB； （2）∠DFE=　 　°． 解：（1）∵把△ADC沿着AD折叠，得到△ADF，∴△AFD≌△ADC；∴AC=AF，CD=FD，∠C=∠DFA，∠CAD=∠FAD，∵AB=AC，∴AF=AB，∵∠DAE=45°，∴∠FAE=∠BAE， 在△AFE与△ACE中，，∴△AFE≌△ABE， （2）由（1）知△AFE≌△ABE，∴∠AFE=∠C，EF=EC，∴∠DFE=∠DFA+∠EFA=∠B+∠C=90°．故答案为：90°． 19．（8分）如图，已知，DC∥AB，将BC边沿EF对折后，点B恰好落在CD边上B点处，点的对应点是C， （1）求证：BF＝B′F； （2）求证：△EB′F是等腰三角形． 解：（1）证明：∵BC边沿EF对折后，点B恰好落在CD边上B′点处，点的对应点是C′， ∴FC＝FC′，BC＝B′C′，在△BCF和△B′C′F，， ∴△BCF≌△B′C′F，∴BF＝B′F； （2）∵BC边沿EF对折后，点B恰好落在CD边上B′点处，点的对应点是C′，∴∠BEF＝∠B′EF，∵DC∥AB，∴∠B′FE＝∠BEF，∴∠B′EF＝∠B′FE，∴△EB′F是等腰三角形． 20．（8分）探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边CB、AC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F． （1）求证：△BAE ≌ △CBD ； （2）∠BFE=　 　°． 应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCM和正五边形ABCMN，如图2、3，在边CB、MC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F，则图2中∠BFE=　 　°；图3中∠BFE=　 　°． 拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠BFE=　 　°（用含n的代数式表示）． 解：（1）∵△BCA是等边三角形，∴BC=AB，∠ACB=∠ABC=60°．∴∠BCD=∠ABE=120° 在△CBD和△BAE中，∴△CBD ≌ △BAE． （2）∠BFE =　 120 　°． 图2中∠BFE =　 90　°； 图3中∠BFE =　72　°． 拓展∠BFE =　 　° 21．（8分）已知两个等腰直角△ABC和△CDE，它们的两个直角顶点B、D在直线MN上，过点A、E分别作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分别为G、F． （1）如图1，当△ABC和△CDE在△BCD的外部时，请你探索线段EF、DB、AG之间的数量关系，其数量关系为　 　． （2）如图2，将图1中的△ABC沿BC翻折，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请探索它们的数量关系，并说明理由． 解：（1）结论：BD＝EF+AG．理由：如图1中，作CH⊥MN于H．∵EF⊥MN，AG⊥MN， ∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°， ∴∠EDF＝∠DCH，∵DE＝DC，∴△FDE≌△HCD（AAS），∴EF＝DH， 同理可证：△BHC≌△AGB，∴AG＝BH，∴BD＝EF+AG．故答案为BD＝EF+AG． （2）结论不变．理由：如图2中，作CH⊥MN于H．∵EF⊥MN，AG⊥MN，∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，∴∠EDF＝∠DCH，∵DE＝DC，∴△FDE≌△HCD（AAS），∴EF＝DH，同理可证：△BHC≌△AGB， ∴AG＝BH，∴BD＝EF+AG．故答案为BD＝EF+AG． 22.（10分）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值　 　； （2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数． 解：【定义】如图①，如图②所示， 【应用】（1）①如图③当∠B＝42°，AD为“好线”，则AD＝AD＝BD，故这个三角形最大内角是∠C＝84°；②如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；③如图⑤当∠ABC＝42°时，BD为“好线”， 则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝124°，④如图⑥，当∠B＝42°时，CD为“好线”，则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°，⑤如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°，故答案为：84°或103.5°或124°或117°或126°； （2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42， ∴∠B＝42°；②当AD＝AE时，如图1（b），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，∴x＝18，∴∠B＝18°．③当EA＝DE时，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，应舍去．综合上述：满足条件的x＝42°或18°． 　 23．（12分）我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'． 尝试解决： （1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长． （2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG． ①求证：PE＝DF；②求AP的长。 解：（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=10，∵将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，∴△ADC≌△ADC'．∴CD＝C'D，∠AC'D＝∠ACD＝90°，即∠DC'B＝180°﹣∠AC'D＝180°﹣90°＝90°，AC＝AC'＝6，∴BC'＝AB﹣AC'＝10﹣6＝4，∴△DC'B为直角三角形，且∠DC'B＝90°，∴C'D2+C'B2＝DB2，即CD2+42＝（8﹣CD）2，∴CD＝3； （2）①由折叠可知△PAB≌△PEB，∴PE＝PE，∠A＝∠E＝90°，在△DPG和△EFG中， ，∴△DPG≌△EFG（ASA），∴PG＝FG，∴PG+GE＝FG+GD，即PE＝DF； ②∵△PAB≌△PEB，△DPG≌△EFG，AB＝8，AD＝6，∴PE＝DF＝PA，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP， ∴EF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣EF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，∵∠C＝90°，∴BC2+CF2＝BF2， 即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，∴AP=4.8 24．（12分）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： S梯形ABCD=　 　，S△EBC=　 　，S四边形AECD=　 　， 则它们满足的关系式为　 　，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP 的距离． 解：【小试牛刀】S梯形ABCD=a（a+b），S△EBC=b（a﹣b），S四边形AECD=c2， 它们满足的关系式为： a（a+b）=b（a﹣b）+c2，答案为： a（a+b），b（a﹣b），c2， a（a+b）=b（a﹣b）+c2． 【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC=AE，CE=AB，∴DE=AD﹣AE=25﹣16=9千米，∴CD===41（千米），∴两个村庄相距41千米．故答案为：41． （2）如图2②所示：设AP=x千米，则BP=（40﹣x）千米，在Rt△ADP中，DP2=AP2+AD2=x2+242，在Rt△BPC中，CP2=BP2+BC2=（40﹣x）2+162，∵PC=PD，∴x2+242=（40﹣x）2+162，解得x=16，即AP=16千米． 学科网（北京）股份有限公司 $$