精品解析：辽宁省辽阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

高一考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定形式可直接得到结果. 【详解】由特称命题的否定形式可知原命题的否定为：，. 故选：D. 2. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算法则可得到结果. 详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式下大于等于零和分母不为零解不等式组求出即可； 【详解】由题意可得，解得且， 所以定义域为， 故选：B. 4. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可判断. 【详解】和都是增函数，所以函数为增函数， 且，，， ，所以函数在区间存在唯一零点，所以函数的一个零点所在区间为. 故选：B 5. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，，进一步根据不等式的性质即可求解. 【详解】因为，，所以，， 所以， 所以取值范围为. 故选：A. 6. 已知函数，且，则（ ） A. 3 B. C. 17 D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入即可求解. 【详解】在中取可得，所以， 故选：A 7. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，结合两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数是减函数，则有， 解得，则a的取值范围为. 故选：B. 8. 我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ） A. 128个 B. 127个 C. 256个 D. 255个 【答案】D 【解析】 【分析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，先得出集合的子集个数，类比可得不同全子集族、不同子集族个数. 【详解】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身， 一般地，设集合中有个元素，则它有个子集， 我们对所有子集按元素个数分类为：， 则集合不同的全子集族个数为个， 从而集合不同的子集族个数为个， 若集合B中有3个元素， 从而B的不同子集族有个. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，由此即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（ ） A. 平行于，且等于 B. 平行于，且不等于 C. 平行于，且不平行于 D. 平行于或平行于 【答案】BC 【解析】 【分析】结合梯形定义及其性质，结合充分不必要条件定义逐项判断即可得. 【详解】对A：若平行于，且等于，则四边形是平行四边形，故A错误； 对B：若平行于，且不等于，则四边形是梯形， 若四边形是梯形，则可能有不平行于，但平行于， 故平行于，且不等于是四边形是梯形的一个充分不必要条件，故B正确； 对C：若平行于，且不平行于，则四边形是梯形， 若四边形是梯形，则可能有不平行于，但平行于， 故平行于，且不平行于是四边形是梯形的一个充分不必要条件，故C正确； 对D：平行于或平行于时，可能平行于且平行于， 此时四边形是平行四边形，故D错误. 故选：BC. 10. 已知集合与的关系如图所示，则与可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由集合与的关系图，可知，依此逐项判断即可. 【详解】由集合与的关系图，知， 对于A，由，， 则，且，故正确； 对于B，因为，, 则，且，故正确； 对于C，因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 即， 因为，则，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即， 因为，所以集合真包含于集合，不满足，故错误； 对于D，因为，， 联立，解得或， 则，且，故正确. 故选：ABD. 11. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令， 得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知下列表格表示的是函数，则＝________． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定的数表，直接计算得解. 【详解】依题意，有. 故答案为：0. 13. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，原不等式显然恒成立，当，一元二次不等式对应的二次函数需要开口向上、与轴没有交点才满足题意，据此列出不等式求解即可. 【详解】当时，原不等式恒成立，满足题意； 当时，只需，解得; 综上所述：， 故答案为：. 14. 已知奇函数的图像是一条连续不断的曲线，在上单调递减，则不等式的解集为________． 【答案】或， 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可得，进而根据单调性即可求解. 【详解】因为是奇函数， 所以，由可得， 由于在上单调递减，且的图像是一条连续不断的曲线，故在上单调递减, 故，则或， 解得或， 故解集为或， 故答案为：或， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）代入求出集合，解一元二次不等式的到集合，再由补集和并集的运算得到结果； （2）把问题转化为是的真子集，再列不等式组求解即可； 【小问1详解】 当时，. 由,得,则 或， 所以或 【小问2详解】 有题意得⫋, 则得, 所以的取值集合为 16. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示，根据二次函数的性质求得正确答案. （2）利用基本不等式求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，，，且， 所以，所以， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最大值为，此时. 所以的最大值为. 【小问2详解】 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 17. 辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． （1）分别求函数，的解析式； （2）已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】（1），；，. （2）乙购买了2斤大果榛子 【解析】 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【小问1详解】 根据题意，，， ，. 【小问2详解】 由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 18. 已知函数，的定义域均为． （1）请在所给图中画出的图像； （2）若不等式的解集为，求a的取值范围； （3）讨论函数的零点个数． 【答案】（1）图象见解析 （2） （3）当或时，函数的零点个数为0；当时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2. 【解析】 【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，再画出图象即可； （2）利用函数图象可以解决恒成立问题； （3）将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，再结合函数图像，分类讨论，即可解决. 【小问1详解】 由题意知， 所以其函数图象如下所示： 【小问2详解】 因为不等式的解集为，所以在上恒成立， 函数图象的对称轴为：，函数和的图象如下： 所以，由图可知： ， 故的取值范围为：. 【小问3详解】 因为，所以函数和图象的交点个数即为函数的零点个数， 由（2）可知，①当，或时， 函数和图象的交点个数为0，此时函数的零点个数为0， 此时或， ②当，且时， 函数和图象的交点个数为2，此时函数的零点个数为2， 此时， ③当，即时， 函数和图象的交点个数为1，此时函数的零点个数为1， 综上所述：当或时，函数的零点个数为0； 当时，函数的零点个数为1； 当时，函数的零点个数为2. 19. 已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”． （1）判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由； （2）若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围； （3）已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”． 【答案】（1）不，理由见解析； （2） （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由函数新定义判断即可； （2）由函数新定义结合二次函数的值域判断即可； （3）由函数新定义结合函数的单调性构造函数，得到在上单调递减即可； 【小问1详解】 由题意可得，当时，，此时倍区间为， 但，所以不是函数的一个“倍区间”， 【小问2详解】 由题意可得当时，， 因为， 所以，即， 所以m的取值范围为， 【小问3详解】 当时，由，得， 当时，由，得， 所以在为单调递增函数，所以在上的值域为， 当时，，得，即， 当时，，得，即， 设，则当时，，当时，， 所以在上单调递减， 因为，所以，即， 得， 所以，所以（）是的一个“3倍区间”. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键在于能够通过所给不等式发现函数的单调性，再通过不等式变形构造函数，结合单调性分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 2. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则（ ） A. 3 B. C. 17 D. 7. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ） A. 128个 B. 127个 C. 256个 D. 255个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（ ） A. 平行于，且等于 B. 平行于，且不等于 C. 平行于，且不平行于 D. 平行于或平行于 10. 已知集合与的关系如图所示，则与可能是（ ） A. ， B ， C. ， D. ， 11. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知下列表格表示的是函数，则＝________． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 13. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________． 14. 已知奇函数图像是一条连续不断的曲线，在上单调递减，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”必要不充分条件，求的取值集合. 16. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 17. 辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． （1）分别求函数，的解析式； （2）已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 18. 已知函数，的定义域均为． （1）请在所给的图中画出的图像； （2）若不等式的解集为，求a的取值范围； （3）讨论函数的零点个数． 19. 已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”． （1）判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由； （2）若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围； （3）已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$