2025届高考数学一轮复习-正弦定理和余弦定理导学案

新高考数学一轮复习 第四章　三角函数 第六节　正弦定理和余弦定理 一、课标要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能理解一些简单的三角形度量问题． 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为13-15分 【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用 2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题. 3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。 以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度． 三、知识梳理 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 常用结论 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. (6)三角形中的面积S＝. 四、课堂考点突破 考点一　利用正、余弦定理解三角形 [例1]　（1）（2024·甘肃兰州模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a＝4，b＝5，cos A＝，则B＝（　　） A. B.或 C. D.或 （2）（2023·北京卷）在△ABC中，（a＋c）（sin A－sin C）＝b（sin A－sin B），则C＝（　　） A. B. C. D. （3）（2023·全国乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（　　） A. B. C. D. [答案]　（1）A　（2）B　（3）C [解析]　（1）根据题意，在△ABC中，cos A＝， 则sin A＝，且A为锐角. 又由＝，可得sin B＝＝. 因为a＝4＞b＝5，所以B＜A，故B＝. （2）由正弦定理＝＝＝2R（R为三角形外接圆半径）可得： sin A＝，sin B＝，sin C＝， ∴（a＋c）（sin A－sin C）＝b（sin A－sin B）可化为（a＋c）（a－c）＝b（a－b）， 即a2＋b2－c2＝ab， ∴cos C＝＝＝. 又C∈（0，π），∴C＝. （3）法一：∵acos B－bcos A＝c， ∴sin Acos B－sin Bcos A＝sin C， ∴sin（A－B）＝sin C， ∴A－B＝C（A－B＋C＝π舍去）. 又C＝，∴A－B＝. 又A＋B＝， ∴B＝. 法二：由acos B－bcos A＝c，得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C， 即sin Acos B－sin Bcos A＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴cos Asin B＝0.又知sin B≠0， ∴cos A＝0.又∵A∈（0，π）， ∴A＝， ∴B＝－C＝－＝. 变式训练 1.（2024·北京模拟）在△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若a＝，b＝1，B＝，则A＝（　　） A. B. C.或 D.或 答案：D 解析：因为a＝，b＝1，B＝，则a＞b，所以A＞B， 由正弦定理得＝， 所以sin A＝＝，所以A＝或. 2.（2024·上海模拟）在△ABC中，AB＝1，BC＝2，cos B＝，则AC＝    . 答案：2 解析：AC＝＝2. 3.（2024·河南南阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形的外接圆的半径R＝    . 答案： 解析：因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝＝＝，所以R＝. 考点二　判断三角形形状 [例2]　（1）（2024·河北秦皇岛模拟）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC的形状为（　　） A.等边三角形 B.锐角非等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 （2）在△ABC中，若sin Asin B＝cos2 ，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 [答案]　（1）D　（2）A [解析]　（1）法一：由余弦定理及已知得a×＋a×＝b＋c，所以a2b＋c2b－b3＋a2c＋b2c－c3＝2b2c＋2bc2，得b2＋c2＝a2，故A＝，所以△ABC为直角三角形. 法二：因为acos B＋acos C＝b＋c，由正弦定理得sin Acos B＋sin Acos C＝sin B＋sin C，即sin Acos B＋sin Acos C＝sin（A＋C）＋sin（A＋B），化简得cos A·（sin B＋sin C）＝0，在△ABC中，sin B＋sin C≠0，则cos A＝0，又A∈（0，π），所以A＝，所以△ABC为直角三角形. （2）因为cos2 ＝＋cos C，A＋B＋C＝π， 所以cos2 ＝＋cos C＝＋cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－cos Acos B＋sin Asin B， 即sin Asin B＝－cos Acos B＋sin Asin B， 所以cos（A－B）＝1.因为0＜A＜π，0＜B＜π， 所以A－B＝0⇒A＝B. 变式训练 4.（多选）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（　　） A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形 B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D.若＝＝，则△ABC是等边三角形 答案：ACD 解析：因为tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＞0， 所以A，B，C均为锐角，所以选项A正确； 由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B， 所以A＝B或A＋B＝， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以选项B错误； 由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理， 可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B， 所以sin A＝sin B， 所以A＝B，所以选项C正确； 由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C， 所以选项D正确. 考点三　三角形的面积问题 [例3]　（2023·全国甲卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. （1）求bc； （2）若－＝1，求△ABC面积. [解]　（1）由＝＝2bc＝2，得bc＝1. （2）由正弦定理得－＝－ ＝＝1， 即sin Acos B－cos Asin B－sin B＝sin C＝sin（A＋B）， 化简得－sin B＝2cos Asin B. ∵sin B≠0，∴cos A＝－. 又∵A∈（0，π），∴sin A＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝×1×＝. 变式训练 5.（2023·全国乙卷）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. （1）求sin∠ABC； （2）若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积. 解：（1）在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝7，则BC＝. 由正弦定理，得＝， 则sin∠ABC＝＝＝. （2）法一：在Rt△ABD中，由（1）知sin∠ABD＝，且∠ABD为锐角，所以tan∠ABD＝. 在Rt△ABD中，AB＝2，则AD＝AB·tan∠ABD＝2×＝. 在△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝1， ∴△ADC的面积S＝××1×sin 30°＝. 法二：在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°， ∴S△ABC＝×2×1×sin 120°＝. 又＝＝＝， ∴S△ACD＝S△ABC＝. 考点四　三角形中的射影定理 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C； c＝acos B＋bcos A. 注：以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理. [例4]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B（1＋2cos C）＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是（　　） A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A [答案]　A [解析]　法一：因为sin B（1＋2cos C）＝2sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin（A＋C）， 所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B， 即cos C（2sin B－sin A）＝0. 又△ABC为锐角三角形， 所以2sin B＝sin A，故2b＝a. 法二：由正弦和余弦定理得b ＝2a×＋c×， 所以2b2＝a2＋3b2－c2， 即（a2＋b2－c2）＝a2＋b2－c2， 即（a2＋b2－c2）＝0， 所以a2＋b2＝c2或2b＝a. 又△ABC为锐角三角形， 所以a2＋b2＞c2，故2b＝a. 法三：由正弦定理及sin B（1＋2cos C）＝2sin Acos C＋cos Asin C， 得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋（acos C＋ccos A）＝acos C＋b， 即2bcos C＝acos C. 又因为△ABC为锐角三角形， 所以cos C≠0，所以2b＝a. 变式训练 　6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2acos C＋b＝2ccos A，c＝a，则A＝（　　） A. B. C. D. 答案：A 解析：法一：由射影定理，得b＝acos C＋ccos A， 代入2acos C＋b＝2ccos A， 得3acos C＝ccos A. 又c＝a，所以cos A＝cos C，① 由c＝a及正弦定理得sin A＝sin C，② ①2＋②2，可得cos2A＋3sin2A＝1， 即sin A＝， 又由①得A∈，故A＝. 法二：已知c＝a， 由正弦定理得sin C＝sin A， 所以sin2C＝3sin2A， 所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A. 由2acos C＋b＝2ccos A， 得2sin Acos C＋sin B＝2sin Ccos A， 2sin Acos C＋sin（A＋C）＝2sin Ccos A， 3sin Acos C＝sin Ccos A， 9sin2Acos2C＝sin2Ccos2A， 9sin2A（1－3sin2A）＝3sin2A（1－sin2A）， 由sin A≠0，解得sin A＝±. 又0＜A＜π，所以A＝. 五、课后作业 一、单项选择题 1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于(　　) A. B. C．6 D．5 答案　B 解析　因为sin A＝6sin B， 则由正弦定理得a＝6b， 又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1， 因为C＝60°， 所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得c2＝62＋12－2×6×1×，解得c＝. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 答案　A 解析　因为a，b，c依次成等差数列， 所以b＝. 由余弦定理可得cos B＝＝， 将b＝代入上式整理得(a－c)2＝0， 所以a＝c. 又B＝，所以△ABC为等边三角形． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为b(bsin B－asin A－csin C)，则B等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题知，△ABC的面积为b(bsin B－asin A－csin C)， 所以absin C＝b(bsin B－asin A－csin C)，即asin C＝bsin B－asin A－csin C， 所以由正弦定理得ac＝b2－a2－c2， 即a2＋c2－b2＝－ac， 所以cos B＝＝－， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 4．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.点D为BC的中点，AD＝1，B＝，且△ABC的面积为，则c等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　∵B＝， ∴在△ABD中，由余弦定理得 c2＋2－2c×cos ＝1， 即a2＋4c2－2ac＝4， 又S△ABC＝acsin B＝ac＝， 解得ac＝2，① ∴a2＋4c2－2ac＝4＝2ac， 即4c2－4ac＋a2＝0， ∴(2c－a)2＝0，即a＝2c，② 将②代入①得2c2＝2， 解得c＝1或c＝－1(舍去)． 5.如图，平面四边形ABCD的内角B＋D＝π，AB＝6，DA＝2，BC＝CD，且AC＝2.则角B等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设BC＝CD＝x>0， 在△ABC中，由余弦定理，得 AC2＝36＋x2－2×6xcos B＝28， 即x2＋8＝12xcos B，① 又在△ACD中，由余弦定理，得 AC2＝4＋x2－2×2xcos D＝28， 即x2－24＝4xcos D，② 因为B＋D＝π， 则cos D＝cos(π－B)＝－cos B， 联立①②可得x＝4，cos B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 6．已知△ABC中，·＝－3，AB＝2，cos2A＋sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝1，D是边BC上一点，∠CAD＝3∠BAD.则AD等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c， ∵cos2A＋sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝1， 即sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A， ∴b2＋c2＋bc＝a2， ∴cos A＝＝－， 又A∈(0，π)，∴A＝， 又·＝－3，AB＝2， ∴·＝2bcos A＝2b×＝－3， 即b＝3， ∴a2＝b2＋c2＋bc＝32＋22＋3×2＝19， 故a＝， ∴cos C＝＝＝， sin C＝，tan C＝， 又∠CAD＝3∠BAD，A＝， ∴∠CAD＝，AD＝ACtan C＝3×＝. 二、多项选择题 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则B的值为(　　) A. B. C. D. 答案　BD 解析　根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accos B， 代入(a2＋c2－b2)tan B＝ac， 可得2accos B·＝ac， 即sin B＝， 因为0<B<π，所以B＝或B＝. 8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　) A．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 C．若＝＝，则△ABC是等边三角形 D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 答案　BC 解析　对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确； 对于C，若＝＝，则由正弦定理得＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确； 对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，故△ABC是等边三角形，故D错误． 三、填空题 9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝＋，则A＝ . 答案　 解析　因为＝＋， 所以2a·cos A＝c·cos B＋b·cos C， 由正弦定理得2sin Acos A＝sin Ccos B＋sin Bcos C， 即2sin Acos A＝sin(B＋C)＝sin A， 因为sin A>0， 所以cos A＝， 因为A为三角形内角，则A＝. 10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为 平方里． 答案　84 解析　由题意画出△ABC(图略)，且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里， 在△ABC中，由余弦定理得，cos B＝＝＝， 所以sin B＝＝， 则该沙田的面积S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84(平方里)． 11．已知△ABC的面积为S＝(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为 ． 答案　等腰直角三角形 解析　依题意，△ABC的面积为S＝(b2＋c2)， 则bcsin A＝(b2＋c2)，即2bcsin A＝b2＋c2， 由于0<A<π，所以0<sin A≤1， 所以0<2bcsin A≤2bc， 由基本不等式可知b2＋c2≥2bc， 当且仅当b＝c时等号成立， 所以sin A＝1，A＝，△ABC是等腰直角三角形． 12．在△ABC中，∠BAC＝120°，D在BC上，AD⊥AC，AD＝1，则＋＝ . 答案　 解析　在△ADC中，AD⊥AC，AD＝1， 所以＝＝tan C， 因为B＝180°－∠BAC－C＝60°－C，在△ABC中， 由正弦定理得，＝， 则AB＝＝＝， 所以＝－·＝－tan C， 所以＋＝tan C＋(－tan C)＝. 四、解答题 13．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C＝csin . (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a＝2，b＝，求线段BD的长． 解　(1)已知bsin C＝csin ， 由正弦定理，得sin Bsin C＝sin Csin ， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0， 故sin B＝sin ， 即2sin cos ＝sin ， 因为∈，所以sin ≠0，则cos ＝， 所以＝，则B＝. (2)依题意，得a·BD·sin ＋c·BD·sin ＝acsin ，即a·BD＋c·BD＝ac， 即2BD＋c·BD＝2c，所以BD＝. 在△ABC中，由余弦定理， 得b2＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2＋ac， 即7＝4＋c2＋2c， 解得c＝1或c＝－3(舍去)， 所以BD＝＝. 14．(2023·新高考全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解　(1)方法一　在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4. 在△ABD中，∠ADB＝， 由余弦定理得 c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7， 解得c＝. 在△ABD中，则cos B＝＝＝， sin B＝＝＝， 所以tan B＝＝. 方法二　在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4. 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC， 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝， 又AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝， C＝，过A作AE⊥BC于点E，如图所示， 于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝， 所以在Rt△AEB中，tan B＝＝. (2)方法一　在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2， 而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝， 解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π， 于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 方法二　在△ABC中，因为D为BC的中点， 则2＝＋， 又＝－， 于是42＋2＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16， 即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝， 解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π， 于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第四章　三角函数 第六节　正弦定理和余弦定理 一、课标要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能理解一些简单的三角形度量问题． 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为13-15分 【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用 2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题. 3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。 以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度． 三、知识梳理 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 常用结论 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. (6)三角形中的面积S＝. 四、课堂考点突破 考点一　利用正、余弦定理解三角形 [例1]　（1）（2024·甘肃兰州模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a＝4，b＝5，cos A＝，则B＝（　　） A. B.或 C. D.或 （2）（2023·北京卷）在△ABC中，（a＋c）（sin A－sin C）＝b（sin A－sin B），则C＝（　　） A. B. C. D. （3）（2023·全国乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（　　） A. B. C. D. 变式训练 1.（2024·北京模拟）在△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若a＝，b＝1，B＝，则A＝（　　） A. B. C.或 D.或 2.（2024·上海模拟）在△ABC中，AB＝1，BC＝2，cos B＝，则AC＝    . 3.（2024·河南南阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形的外接圆的半径R＝    . 考点二　判断三角形形状 [例2]　（1）（2024·河北秦皇岛模拟）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC的形状为（　　） A.等边三角形 B.锐角非等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 （2）在△ABC中，若sin Asin B＝cos2 ，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 变式训练 4.（多选）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（　　） A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形 B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D.若＝＝，则△ABC是等边三角形 考点三　三角形的面积问题 [例3]　（2023·全国甲卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. （1）求bc； （2）若－＝1，求△ABC面积. 变式训练 5.（2023·全国乙卷）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. （1）求sin∠ABC； （2）若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积. 考点四　三角形中的射影定理 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C； c＝acos B＋bcos A. 注：以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理. [例4]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B（1＋2cos C）＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是（　　） A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A 变式训练 　6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2acos C＋b＝2ccos A，c＝a，则A＝（　　） A. B. C. D. 五、课后作业 一、单项选择题 1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于(　　) A. B. C．6 D．5 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为b(bsin B－asin A－csin C)，则B等于(　　) A. B. C. D. 4．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.点D为BC的中点，AD＝1，B＝，且△ABC的面积为，则c等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5.如图，平面四边形ABCD的内角B＋D＝π，AB＝6，DA＝2，BC＝CD，且AC＝2.则角B等于(　　) A. B. C. D. 6．已知△ABC中，·＝－3，AB＝2，cos2A＋sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝1，D是边BC上一点，∠CAD＝3∠BAD.则AD等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则B的值为(　　) A. B. C. D. 8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　) A．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 C．若＝＝，则△ABC是等边三角形 D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 三、填空题 9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝＋，则A＝ . 10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为 平方里． 11．已知△ABC的面积为S＝(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为 ． 12．在△ABC中，∠BAC＝120°，D在BC上，AD⊥AC，AD＝1，则＋＝ . 四、解答题 13．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C＝csin . (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a＝2，b＝，求线段BD的长． 14．(2023·新高考全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$