第1章 图形的相似复习与提高2024-2025学年青岛版数学九年级上册

第1章 图形的相似 复习与提高 一、单选题（本大题共10小题） 1．将△ABC的三边长分别缩小为原来的75%得到△A'B'C',若△ABC的一条高是8,则△A'B'C'中与之对应的高是 (　　) A．9 B．6 C．3 D．2 2．如图,在平面直角坐标系中,△A'B'C'与△ABC位似,位似中心为原点O．已知点A(-1,-1),C(-4,-1),A'C'=6,则点C'的坐标为(　　) A．(2,2) B．(4,2) C．(6,3) D．(8,2) 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的相似比为k的△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为 (　　) A．(0，0)，2 B．(2，2)， C．(2，2)，2 D．(1，1)， 4．如图(1)、图(2)中各有两个三角形,其边长或角的度数如图上标注,则对两图中两个三角形,下列说法正确的是(　　) 图(1) 图(2) A．都相似 B．都不相似 C．只有图(1)中两个三角形相似 D．只有图(2)中两个三角形相似 5．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为5 cm，若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能是下列各组中的 (　　) A．2 cm，3 cm B．4 cm，6 cm C．6 cm，7 cm D．7 cm，9 cm 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC∽矩形OA'B'C'，B'(10，5)，AA'=1，则CC'的长是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形纸片与原长方形纸片相似，则原长方形纸片的边a，b应满足的条件是 (　　) A．a= b B．a=2b C．a= b D．a=2 b 8．已知两个相似三角形的相似比为4∶9,则这两个三角形的对应高的比为 (　　) A．2∶3 B．4∶9 C．16∶81 D．9∶4 9．如图,已知AB=4,CD=6,BD=10,AB⊥BD,CD⊥BD,在线段BD上有一点P,使得△PAB和△PCD相似,则满足条件的点P有 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 10．如图,正方形网格中有6个斜三角形:①△ABC,②△BCD,③△BDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,其中②~⑥中,与三角形①相似的三角形共有 (　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共8小题） 11．如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD．若AO=2,OF=1,FD=2,则 的值为_____． 12．两个相似三角形的相似比为2∶5,已知其中一个三角形的一条角平分线的长为10,那么另一个三角形对应的角平分线的长是　　　　． 13．如图，把一张矩形纸片平均分成3个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为　　　　.  14．以正方形各边的中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为________． 15．如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,4),B(-8,-2),以原点O为位似中心,在y轴的右侧把线段AB缩小为原来的,则点A的对应点A'的坐标是　　　　.  16．将△ABC纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_______． 17．如图,已知点D是BC上一点,△ABC∽△DBA,E,F分别是AC,AD的中点,且AB=28,BC=36,则BE∶BF=　　　　．  18．如图,平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH,若点A和点E的坐标分别为(-2,3),(1,-1),则两个正方形的位似中心的坐标是____. 三、解答题（本大题共6小题） 19．定义:如图(1),点C在线段AB上,若满足AC2=BC·AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图(2),在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC,交AC于点D． (1)求证:点D是线段AC的黄金分割点. (2)求出线段AD的长. 20．已知△ABC∽△DEF,AB=5 cm,DE=2．5 cm,BC=8 cm,DF=5 cm． (1)求AC,EF的长． (2)求△ABC和△DEF的相似比． (3)若AG,DH分别为△ABC和△DEF的高,求AG∶DH的值． (4)若△ABC中∠C的平分线长为a,求△DEF中∠F的平分线的长． 21．如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B． (1)求证:∠DFA=∠ECD． (2)△ADF与△DEC相似吗?为什么? (3)若AB=4,AD=3 ,AE=3,求AF的长． 22．如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点为A(2,1),B(1,3),C(4,1),若△A1B1C1与△ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1,且A1的坐标为(4,2)． (1)请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A1B1C1; (2)分别写出点B1,C1的坐标． 23．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍. 24．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 ∶2，连接EB，GD． (1)求证:EB=GD． (2)若∠DAB=60°，AB=2，求GD的长. 参考答案 1，B 2，D 3，B 4，C 5，B 6，B 7，B 8，B 9，B 10，B　 11． 12． 4或25　 13． 1∶ 14． ∶2　 15． (1,-2) 16． 或5 17． 9∶7 18． 或 19． (1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=36°=∠A,∴AD=BD. ∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴BD=BC,∴AD=BD=BC. 在△ABC与△BDC中,∵∠A=∠DBC,∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC, ∴ = ,即BC2=AC·DC,即AD2=AC·DC, ∴点D是线段AC的黄金分割点. (2)设AD=x,则DC=1-x,由(1)中的结论,得x2=1-x. 解得x= - 或x=- - (舍去),∴AD= . 20．(1)∵△ABC∽△DEF,AB=5 cm,DE=2.5 cm,BC=8 cm,DF=5 cm,∴===,∴AC=10 cm,EF=4 cm. (2)△ABC和△DEF的相似比为AB∶DE=2∶1. (3)∵AG,DH分别为△ABC和△DEF的高, ∴AG∶DH=2∶1. (4)∵△ABC中∠C的平分线长为a,∴△DEF中∠F的平分线长为a. 21．(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠B+∠ECD=180°. ∵∠AFE=∠B,∴∠AFE+∠ECD=180°. ∵∠AFE+∠AFD=180°,∴∠DFA=∠ECD. (2)相似,理由如下: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠ADF=∠CED. 又∵∠DFA=∠ECD,∴△ADF∽△DEC. (3)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC=AB.∵AE⊥BC,∴AE⊥AD.在Rt△EAD中,DE= = =6.∵△ADF∽△DEC,∴ = ,即 = , ∴AF=2 . 22．(1)如图,△A1B1C1即为所求. (2)点B1的坐标为(2,6),点C1的坐标为(8,2). 23． 如图所示，△A'B'C'和△A″B″C″即为所求. 24． (1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，AE=AG，AB=AD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD.∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD. (2)如图，连接BD交AC于点P，则BP⊥AC. ∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°. ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 ∶2，AB=2，∴AE= ，BP= AB=1，∴AP= = ，∴EP=AE+AP=2 ， ∴EB= = = ， ∴GD= . 学科网（北京）股份有限公司 $$