特训15 期中必刷解答题（江苏最新期中精选，七大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训15 期中必刷解答题（江苏最新期中精选，七大题型） 目录： 题型1：解一元二次方程 题型2：一元二次方程根的判别式 题型3：圆基础 题型4：统计与概率（第3-4章） 题型5：一元二次方程的应用 题型6：圆作图题 题型7：圆提高 题型1：解一元二次方程 1．（24-25九年级上·江苏南京·期中）解下列方程： （1）x2﹣6x﹣5＝0； （2）3x（x＋2）＝2x＋4 2．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： （1）x2﹣4x＝1 （2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1） 3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2：一元二次方程根的判别式 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有实数根； (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求方程的两个根． 6．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a＋1）x＋a﹣1＝0（a为常数） （1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根； （2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值． 题型3：圆基础 7．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，求的长．    8．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．    9．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，的弦的延长线相交于点E，，为，求的度数． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，、是上的两点，点在内，点在外，，分别交于点，，试比较与的大小，并说明理由． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知：是的直径，是上一点，，垂足为，，交的延长线于点，延长交于点．求证：． 12．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD=BE． 求证： （1）DE∥AB； （2）DC=EC． 题型4：统计与概率（第3-4章） 13．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字-1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀． （1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为 　 　； （2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由） 14．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有A、B、C、D四名同学报名参加． (1)若从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是__________； (2)若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中A、B两名同学参加活动的概率． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 m 87 八年级参赛学生成绩 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____________，______________； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和请判断_____________；（填“>”、“<”或“=”）； (3)请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价． 16．（2023·江苏南通·中考真题）有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁． (1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________； (2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 17．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某校九年级名学生参加“信息素养提升”培训，在培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并将成绩记为“分”、“分”、“分”、“分”、“分”五种等级为了解培训效果，随机抽取了名学生的两次测试成绩，并制成如下统计表格： (1)若被抽取的学生培训前测试成绩的中位数是，培训后测试成绩的中位数是，则 ；（填“”、“”或“”） (2)这名学生经过培训，平均成绩达到了多少分? (3)请你估计九年级名学生经过培训后，测试成绩为“分”的学生增加了多少人? 题型5：一元二次方程的应用 18．（24-25九年级上·江苏南京·期中）某种商品原价为100元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格比第一次降价后的价格少16元．若两次降价的百分率相同且不超过，求降价的百分率． 19．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．    20．（20-21九年级上·江苏徐州·期中）如图，在长、宽的矩形地面内，修筑三条同样宽且垂直于矩形的边的道路，余下的部分铺上草坪（即阴影部分）．要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？    21．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）将一根长为的铁丝剪成不相等的两段，每段均折成一个正方形． (1)若大正方形的面积是小正方形的面积的倍，则小正方形的边长为________； (2)若折成的两个正方形的面积和为，这根铁丝应该怎么剪？ 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，已知在中，，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．    (1)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件． (1)若实际单价定为56元，则一个月的利润为______元； (2)针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 题型6：圆作图题 24．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中有，请在图中画出外接圆的圆心P． (1)圆心P的坐标是________； (2)判断点是否在上？ 25．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到AB、BC两边的距离相等，设直线l与AC边交于点D，在BC上找一点E．使∠BDE＝45°．（不写作法，保留作图痕迹） 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作：    (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出扇形的面积． 27．（24-25九年级上·江苏南京·期中）用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积． (1)如图①，已知扇形，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； (2)如图②，已知扇形，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 28．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 29．（17-18九年级上·江苏常州·期中）如图，已知△ABC是锐角三角形. ⑴ 利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O.（保留作图痕迹） ⑵ 利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l.（保留作图痕迹） 30．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）请按下列要求作图．    (1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹） 31．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知P为外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在上求作一个点M，使； (2)如图②，在上求作一个点N，使． 32．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与所在直线相切（不写做法，保留作图痕迹）； (2)若，在（1）中所作的上有一动点，请求出线段的最小值． 33．（19-20九年级上·江苏南京·期末）（1）如图，已知AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点．连接OM，以O为圆心，OM为半径作小圆⊙O．判断CD与小圆⊙O的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O，线段MN，P是⊙O外一点．求作射线PQ，使PQ被⊙O截得的弦长等于MN． （不写作法，但保留作图痕迹）    题型7：圆提高 34．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在的内接四边形中，，点在上．    (1) ； (2)求的度数． 35．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，已知，M是射线上一点，．以点M为圆心、r为半径画． (1)当与射线相切时，求r的值； (2)写出与射线的公共点的个数及对应的r的取值范围． 36．（2019·江苏泰州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，为的中点，过点作，交的延长线于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为5，，求的长． 37．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，是的内接三角形，，经过圆心O交于点E，连接，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 38．（江苏省宿迁市宿迁青华中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，在 中，，，以为直径的与边交于点D．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 39．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，、是的弦，，垂足为E，连接并延长，与过点A的直线相交于点P，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求线段的长． 40．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为的直径，点C在上，延长至点D，使，延长与的另一个交点为E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 41．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)试说明：直线为的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 42．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求证：是的切线． 43．（20-21九年级上·广东珠海·期末）如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训14 期中必刷解答（江苏最新期中精选，七大题型） 目录： 题型1：解一元二次方程 题型2：一元二次方程根的判别式 题型3：圆基础 题型4：统计与概率（第3-4章） 题型5：一元二次方程的应用 题型6：圆作图题 题型7：圆提高 题型1：解一元二次方程 1．（24-25九年级上·江苏南京·期中）解下列方程： （1）x2﹣6x﹣5＝0； （2）3x（x＋2）＝2x＋4 【答案】（1）x1＝3+，x2＝3﹣；（2）x1＝，x2＝﹣2 【解析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 解：（1）∵x2﹣6x﹣5＝0， ∴x2﹣6x＝5， ∴x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14， ∴x﹣3＝±， ∴x1＝3+，x2＝3﹣； （2）3x（x+2）＝2x+4， 3x（x+2）﹣2（x+2）=0， （3x﹣2）（x+2）＝0， 3x﹣2＝0或x+2＝0， ∴x1＝，x2＝﹣2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握各种解方程的方法． 2．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： （1）x2﹣4x＝1 （2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1） 【答案】（1），；（2），； 【分析】（1）利用配方法计算即可； （2）利用提取公因式法计算即可； 【解析】（1）， ， ， ， ∴，； （2）， ， ， ∴或， ∴，； 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确利用配方法和因式分解法计算是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】（1）解：， 或， 解得：，； （2）解：， ， ，即， ， 解得：，； （3）解：， ， ， 或， 解得：，； （4）解：， ， ， 或， 解得：，． 题型2：一元二次方程根的判别式 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 【答案】（1）k＜；（2）2 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【解析】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得：k＜； （2）∵k为正整数， ∴k=1或2． 当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意； 当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意． ∴k的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有实数根； (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求方程的两个根． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据题意只需要证明即可； （2）利用十字相乘法得到，解得，再根据方程的一个根是另一个根的两倍进行求解即可． 【解析】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵方程的一个根是另一个根的两倍， ∴或， ∴原方程的两个根为或． 6．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a＋1）x＋a﹣1＝0（a为常数） （1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根； （2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）将a＝2代入关于x的一元二次方程2x2﹣3x＋1＝0，利用公式法解一元二次方程，先求出＞0，然后代入公式计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程2x2﹣（a＋1）x＋a﹣1＝0，解得，根据x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，可求a＞1，然后利用勾股定理列出方程，用直接开平方法求解即可． 【解析】解：（1）a＝2时关于x的一元二次方程2x2﹣3x＋1＝0， ＞0， ∴， ∴，； （2）2x2﹣（a＋1）x＋a﹣1＝0， 因式分解得， 化为， 解得， x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边， ∴a＞1 根据勾股定理， 解得， ∴（舍去）． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，公式法与因式分解法，勾股定理，直接开平方法，掌握一元二次方程的解法与步骤，勾股定理，注意字母的范围是解题关键． 7．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，求的长．    【答案】 【分析】由于的直径，则的半径为，又已知，则可以求出，，连接，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度． 【解析】解：如图所示，连接． 的直径， 则的半径为， 即， 又， ∴， ，垂足为， ， 在中，， ．    【点睛】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由是的直径，可得，证明，得到，可证明四边形是平行四边形，即可解答． 【解析】证明：是的直径， ，     在和中， ， ，     ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 9．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，的弦的延长线相交于点E，，为，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型； 利用圆周角定理求出，再利用三角形的外角的性质求出； 【解析】在中， ， ， 为， ． 又， ． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，、是上的两点，点在内，点在外，，分别交于点，，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了圆周角定理和三角形外角性质，能熟记圆周角定理是解此题的关键．延长交于，连接，，根据三角形的外角性质得出，，根据圆周角定理得出，即可得出答案． 【解析】解：，理由如下： 如图，延长交于，连接，， ∵和分别是和的外角， ∴，， ∵和都是所对的圆周角， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知：是的直径，是上一点，，垂足为，，交的延长线于点，延长交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，等角对等边，掌握圆周角定理是解题的关键． 由是的直径可得，进而由余角性质可得，又由得，即得，即，可得，最后再利用余角性质得到，即可证得，可得结论． 【解析】证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD=BE． 求证： （1）DE∥AB； （2）DC=EC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接BD，AE，利用圆周角定理证明∠AED=∠EAB，即可证明DE∥AB； （2）根据圆内接四边形对角相等以及邻补角性质得到∠CDE=∠ABE，再根据平行线的性质可得到∠CED=∠CDE，即可证明DC=EC． 【解析】（1）证明：连接BD，AE， ∵ AD=BE， ∴=． ∴∠ABD=∠EAB， ∵ =， ∴∠ABD=∠AED， ∴∠AED=∠EAB， ∴DE∥AB； （2）∵四边形ABED是⊙O的内接四边形， ∴∠EDA＋∠ABE=180°， 又∠EDA＋∠CDE=180°， ∴∠CDE=∠ABE， ∵DE∥AB， ∴∠CED=∠ABE． ∴∠CED=∠CDE． ∴DC=EC． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 题型4：统计与概率（第3-4章） 13．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字-1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀． （1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为 　 　； （2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由） 【答案】（1）；（2）小强设计的游戏规则不公平．理由见解析 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，再求出甲和乙获胜的概率，比较即可． 【解析】解：（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为， 故答案为：； （2）小强设计的游戏规则不公平，理由如下： 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵＞， ∴小强设计的游戏规则不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有A、B、C、D四名同学报名参加． (1)若从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是__________； (2)若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中A、B两名同学参加活动的概率． 【答案】(1) (2)表格见解析， 【分析】 （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解析】（1）解：∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同， ∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下： A B C D A B C D 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数有2种， ∴恰好选中A、B两名同学参加活动的概率． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 m 87 八年级参赛学生成绩 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____________，______________； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和请判断_____________；（填“>”、“<”或“=”）； (3)请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价． 【答案】(1)80，86； (2)； (3)八年级的成绩较好，理由见解析． 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，明确平均数、中位数、众数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提． （1）根据众数和中位数的定义即可求出m和n的值； （2）根据方差公式分别计算出即可； （3）从平均数和中位数进行分析即可． 【解析】（1）解：七年级成绩中80分的最多有3个，所以众数： 将八年级样成绩重新排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97，排在第5和第6的数是85，87， ∴中位数：， 故答案为：80，86； （2）解：∵七年级的方差是： 八年级的方差是： 故答案为：； （3）解：从众数和方差上看，八年级比七年级成绩的大众水平较高， 且较为稳定；从中位数看七年级成绩比八年级中等水平较高， 综上所述，我认为八年级的成绩较好． 16．（2023·江苏南通·中考真题）有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁． (1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________； (2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【解析】（1）解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于； 故答案为：． （2）解：据题意，可以画出如下的树状图：      由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等． 其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种． ∴． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某校九年级名学生参加“信息素养提升”培训，在培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并将成绩记为“分”、“分”、“分”、“分”、“分”五种等级为了解培训效果，随机抽取了名学生的两次测试成绩，并制成如下统计表格： (1)若被抽取的学生培训前测试成绩的中位数是，培训后测试成绩的中位数是，则 ；（填“”、“”或“”） (2)这名学生经过培训，平均成绩达到了多少分? (3)请你估计九年级名学生经过培训后，测试成绩为“分”的学生增加了多少人? 【答案】(1) (2)9分 (3)人 【分析】本题考查了中位数、平均数的求解，以及由样本估计总体，掌握各统计数据的意义及求解方法是解题关键． （1）中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．据此即可求解； （2）平均数，是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数．据此即可求解； （3）分别确定培训前后测试成绩为“10分”的学生占比，即可求解． 【解析】（1）解：由表格可知：培训前测试成绩的中位数， 培训后测试成绩的中位数， ∴， 故答案为：； （2）解：训练后的平均分为： （分）， 故：这名学生经过培训，平均成绩达到了分； （3）解：（人）， 故：九年级名学生经过培训后，测试成绩为“10分”的学生增加了人. 题型5：一元二次方程的应用 18．（24-25九年级上·江苏南京·期中）某种商品原价为100元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格比第一次降价后的价格少16元．若两次降价的百分率相同且不超过，求降价的百分率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．设降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； 【解析】解：设降价的百分率为x， 由题意得：，     整理得：， 解得：， 两次降价的百分率相同且不超过， ， 答：降价百分率为． 19．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．    【答案】原空地的长为，宽为 【分析】本题考查了解一元二次方程的实际问题，设原空地的宽为，则长为，根据题意得出方程，求出x的值，再求出答案即可． 【解析】解：设原空地的宽为，则长为， 根据题意得：，整理得：， 解得：或6， 当时，，（不符合题意，舍去）， 当时，， 答：原空地的长为，宽为． 20．（20-21九年级上·江苏徐州·期中）如图，在长、宽的矩形地面内，修筑三条同样宽且垂直于矩形的边的道路，余下的部分铺上草坪（即阴影部分）．要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？    【答案】 【分析】设道路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，根据面积公式列出方程即可． 【解析】设道路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为， 根据题意，得， 整理，得， 解得（舍去）． 答：道路的宽为2m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键． 21．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）将一根长为的铁丝剪成不相等的两段，每段均折成一个正方形． (1)若大正方形的面积是小正方形的面积的倍，则小正方形的边长为________； (2)若折成的两个正方形的面积和为，这根铁丝应该怎么剪？ 【答案】(1) (2)这根铁丝剪成和的两段 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设小正方形的边长为 则大正方形的边长为，根据大正方形的面积是小正方形的面积的倍，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设小正方形的边长为 则大正方形的边长为根据折成的两个正方形的面积和为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【解析】（1）解：设小正方形的边长为 ，则大正方形的边长为 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 即小正方形的边长为， 故答案为：； （2）设小正方形的边长为 ，则大正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， ，， 答：这根铁丝剪成和的两段． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，已知在中，，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．    (1)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 【答案】(1)或 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用 （1）根据题意，找出等量关系列出方程求解即可． （2）判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 【解析】（1）解：设后，的面积等于． 此时，． 由，得． 即，解得． 当时，的面积等于； 当时，的面积等于． （2）仿（1）得． 整理，得，因为，所以，此方程无解． 所以的面积不可能等于． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件． (1)若实际单价定为56元，则一个月的利润为______元； (2)针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)7040； (2)60． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用．根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）根据题意直接计算即可； （2）根据题意可列出关于x的方程，解出方程，再结合使消费者得到实惠，确定出最后的售价即可． 【解析】（1）解：（1）根据题意可知，（元）． 故答案为7040． （2）解：设销售单价应定为x元，根据题意得 整理得， 解得 ∵要使顾客得到实惠 ∴， 答：销售单价应定为60元． 题型6：圆作图题 24．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中有，请在图中画出外接圆的圆心P． (1)圆心P的坐标是________； (2)判断点是否在上？ 【答案】(1)作图见解析； (2)点M不在上，在内 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键． （1）作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后直接读出的外接圆的圆心坐标． （2）先求出的值，根据点和圆的位置关系进行判断即可． 【解析】（1）解：如图所示：点P即为所求； 所以点P的坐标为． 故答案为：． （2）解：， 圆的半径， ∵， ∴点M在内，不在上． 25．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到AB、BC两边的距离相等，设直线l与AC边交于点D，在BC上找一点E．使∠BDE＝45°．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握作一个角的平分线和作已知线段的垂直平分线的尺规作图方法． 作的平分线，交于点D，则直线即为所求作的直l；作线段的垂直平分线和以为直径的，与半圆的交点为F，连接，与的交点即为点E． 【解析】解：作的平分线，交于点D，则直线即为所求作的直l；作线段的垂直平分线和以为直径的，与半圆的交点为，连接，与的交点即为点E，如图： 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作：    (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出扇形的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理、勾股定理是正确解答的前提． （1）根据网格和正方形的性质，分别作出、的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而写成点的坐标； （2）利用网格以及勾股定理和逆定理得出以及半径的平方，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解析】（1）解：根据网格作，的中垂线，这两条中垂线相交于点，连接，，，则点，    故答案为：； （2）解：由（1）图可知： ， ， 为直角三角形，， 即的半径为，的度数为， ∴． 27．（24-25九年级上·江苏南京·期中）用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积． (1)如图①，已知扇形，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； (2)如图②，已知扇形，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，勾股定理，扇形面积等知识，解题关键熟练掌握角平分线的画法，以及线段垂直平分线的画法； （1）根据题意，作的平分线即可； （2）要使扇形的面积被这条圆弧平分，则新作圆弧围成的扇形面积等于原来扇形面积一半，即，根据扇形面积推出半径关系为，由勾股定理可证，满足半径关系，则即为所求． 【解析】（1）解：如图，作的平分线即为所求． （2）解：如图，作的垂直平分线交于C，以C为圆心，为半径作弧交于H，以O为圆心，为半径作弧交，分别于，，由勾股定理可证，∴，即，则即为所求． 28．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键． （1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可； 【解析】（1）解：如图，点O即为所求， （2）连接， ， 设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D， 点D即为拱门为最高点， ， ，， ，， 在中， ， 点D到地面的距离为． 29．（17-18九年级上·江苏常州·期中）如图，已知△ABC是锐角三角形. ⑴ 利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O.（保留作图痕迹） ⑵ 利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l.（保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【解析】试题分析：（1）作两条边的垂直平分线的交点，就是外接圆圆心，以圆心到顶点距离为半径再画圆. （2）过点B,作垂直于BO的切线. 试题解析： ⑴ △ABC任意两边的垂直平分的交点即为△ABC外接圆的圆心. ⑵ 过点B作垂直于BO的直线l，即为⊙O的切线 30．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）请按下列要求作图．    (1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的性质，过圆外一点作圆的切线（尺规作图）以及方格作图： （1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可； （2）连接，再作线段的垂直平分线，交于一点，即为点，以点为圆心，为半径，相交于点A，点B，连接，，因为为直径，，即为切线，切线，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解析】（1）解：如图，直线即为所求：    （2）解：所有过点Q的切线为切线，切线，如图所示：    31．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知P为外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在上求作一个点M，使； (2)如图②，在上求作一个点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理等知识． （1）连接，以为直径作交于点M，连接，点M即为所求； （2）作等边三角形，作的外接圆交于点N，连接，点N即为所求． 【解析】（1）解：如图①中，点M即为所求； （2）解：如图②中，点N即为所求． 32．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与所在直线相切（不写做法，保留作图痕迹）； (2)若，在（1）中所作的上有一动点，请求出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查作角的平分线，作圆，切线的判定定理，勾股定理，角平分线的性质定理： （1）作的平分线，与边交于点O，以点O为圆心，为半径作圆，此时与所在直线相切； （2）利用勾股定理求出 的长度，减去的半径即可得到线段的最小值． 【解析】（1）解：就是所求作的圆．    过点O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴是的切线， ∴与所在直线相切； （2）如图，设与相切于点，连接，， 由作图可知，， 在Rt中，， ， 设的半径为， 在Rt中， 即，解得，， 在Rt中， ， 线段的最小值为． 33．（19-20九年级上·江苏南京·期末）（1）如图，已知AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点．连接OM，以O为圆心，OM为半径作小圆⊙O．判断CD与小圆⊙O的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O，线段MN，P是⊙O外一点．求作射线PQ，使PQ被⊙O截得的弦长等于MN． （不写作法，但保留作图痕迹）    【答案】（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）过点O作ON⊥CD，连接OA，OC，根据垂径定理及其推论可得∠AMO=∠ONC=90°，AM=CN，从而求证△AOM≌△CON，从而判定CD与小圆O的位置关系；（2）在圆O上任取一点A，以A为圆心，MN为半径画弧，交圆O于点B，过点O做AB的垂线，交AB于点C，然后以点O为圆心，OC为半径画圆，连接PO，取PO的中点D，以点D为圆心，OD为半径画圆，交以OC为半径的圆于点E，连接PE，交以OA为半径的圆于F,H两点，FH即为所求. 【解析】解：（1）过点O作ON⊥CD，连接OA，OC    ∵AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点，ON⊥CD ∴∠AMO=∠ONC=90°，AM=,CN， ∴AM=CN 又∵OA=OC ∴△AOM≌△CON ∴ON=OM ∴CD与小圆O相切 （2）如图FH即为所求    【点睛】本题考查垂径定理及其推论，全等三角形的判定和性质，以及利用垂径定理作图，掌握相关知识灵活应用是本题的解题关键. 题型7：圆提高 34．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在的内接四边形中，，点在上．    (1) ； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案； （2）连接，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，再由圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案． 【解析】（1）解：在的内接四边形中，， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，   ，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 35．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，已知，M是射线上一点，．以点M为圆心、r为半径画． (1)当与射线相切时，求r的值； (2)写出与射线的公共点的个数及对应的r的取值范围． 【答案】(1)r的值为1 (2)见解析 【分析】（1）作于N，根据等腰直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的关系得到当时，与射线相切； （2）根据直线与圆的关系进行分类讨论即可． 【解析】（1）作于N，如图所示： ∵， ∴， ∴当与射线相切时，r的值为1； （2）由（1）可知，根据直线与圆的关系得到： 当时，与射线相切，只有一个公共点； 当时，与射线相离，没有公共点； 当时，与射线相交，有两个公共点； 当时，与射线只有一个公共点． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 36．（2019·江苏泰州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，为的中点，过点作，交的延长线于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【分析】（1）连接，由为的直径，得到，根据，得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到，由圆周角定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）与相切，理由如下： 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）∵的半径为5， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 37．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，是的内接三角形，，经过圆心O交于点E，连接，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）解：直线与相切， 理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 38．（江苏省宿迁市宿迁青华中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，在 中，，，以为直径的与边交于点D．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，再根据切线的判定可证得结论； （2）连接，先根据圆周角定理得到，再利用直角梯形和扇形面积公式求解即可． 【解析】（1）解：直线与相切，理由为： ∵在 中，，， ∴， ∴，则， ∵为的直径， ∴直线与相切； （2）解：连接，则，    ∵直径， ∴，， ∵， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、梯形和扇形面积公式，熟练掌握切线的性质和扇形面积公式是解答的关键． 39．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，、是的弦，，垂足为E，连接并延长，与过点A的直线相交于点P，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)首先证明，根据平行线的性质得到，再根据切线的判定定理证明结论即可； (2)连接，根据勾股定理可求出，证明，再根据相似三角形的性质计算，即可求得 线段的长． 【解析】（1）证明: 由圆周角定理得：， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解: 如图, 连接， 是的直径，， ， ， 是的直径， ，， ， ，， ， ，即， 解得： ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理及推论、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 40．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为的直径，点C在上，延长至点D，使，延长与的另一个交点为E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由为的直径得，通过证明，得到，又由，从而得到； （2）设，则，在中，由勾股定理可得，即，解一元二次方程得到的长，由（1）知，从而得到，又由，得到． 【解析】（1）证明：为的直径， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ， ， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：，（舍去）， ， 由（1）得：， ， ， ， 的长为 【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键． 41．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)试说明：直线为的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明：连接，由，，得，则，所以，即可证明直线为的切线． （2）连接，则，所以是等边三角形，则，所以，，则，，，即可由求得阴影部分的面积是． 【解析】（1）解：如图，连接， ， ， ， ， ． ， ， ， 即，又是的半径， 直线为的切线． （2）如图，连接，作，垂足为，则， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即的半径为4， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 42．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查圆周角的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理． （1）根据，可得，两式相减即得，结论得证； （2）连接并延长交于G点，再连接，可得，再根据已知证明，进而得，从而得即可． 【解析】（1）证明：， ， ， ， 又， ， ，即：， ； （2）证明：连接并延长交于G点，再连接， 为O直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 43．（20-21九年级上·广东珠海·期末）如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（）连接，根据直径所对的圆周角是直角及等腰三角形转换得，即可证明结论； （）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，证明即可证明，结合平行线的性质与圆周角定理可得结论； （）根据垂径定理得到点为的中点，设，则，利用勾股定理列方程计算得出，再利用中位线的性质即可求出的长． 【解析】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图：设交于点H， ∵，， ∴， ∴； 设，则为，根据勾股定理， ， 解得：， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】此题考查了圆的切线的判定定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识，利用同弧或等弧所对的圆周角相等以及勾股定理列出方程，是解决问题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$