特训14 期中选填压轴题（江苏最新期中精选，八大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训14 期中选填压轴题（江苏最新期中精选，八大题型） 目录： 题型1：一元二次方程 题型2：圆—传统几何问题 题型3：圆—动点问题 题型4：圆—相切问题 题型5：圆—坐标系中的圆 题型6：圆—最值问题 题型7：圆—以三角形、四边形为载体的圆问题 题型8：二次函数综合 题型1：一元二次方程 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的个数是（    ） （1）当时，方程一定有实数根； （2）当时，方程至少有一个根为； （3）当，方程的两根一定互为相反数； （4）当时，方程的两个根同号，当时，方程的两个根异号． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ） A． B． C． D． 题型2：圆—传统几何问题 4．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（23-24九年级上·江苏南京·期中）在中，，，，则其外接圆的半径是 ． 6．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的高，以O为圆心的两个同心圆，小圆经过点A，D，大圆经过点B，C，若小圆半径为6，大圆半径为10，则 ． 题型3：圆—动点问题 7．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是 ． 8．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，内接于，，，点D为弧上一动点，直线于E，当点D由B点沿弧运动到点C时，点E经过的路线长为（    ） A． B．27 C． D． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间 ． 11．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，E是的直径上一点，，.过点E作弦，P是上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为 ． 12．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 题型4：圆—相切问题 13．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》的第二卷中记载了方程根的图形解法：如图，在⊙O中，为直径，⊙O的切线与的延长线交于点B，切点为A，连接，使，，则该方程的一个正根是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 14．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点是正方形的中心，与相切于点，连接，若，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 15．（2019·湖北武汉·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在边AD，BC上，且EF⊥AD，点B关于EF的对称点为G点，连接EG，若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，则AE的长度为（    ） A．3 B． C．6+ D．6﹣ 题型5：圆—坐标系中的圆 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心13为半径画圆，直线与交于两点，则弦长的最小值为 ． 17．（2019·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为 ． 18．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（　　）． A．6 B．12 C．24 D．36 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，半径为，为圆上一动点，连接，，的最小值为 ． 题型6：圆—最值问题 20．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得，则线段的最小值为 ． 21．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在中，，，，点M是边上的一个动点，以为直径作．连接交于点N，连接，则线段的最小值为 ． 22．（23-24九年级上·江苏常州·期中）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做三角形的“等弦圆”．如图，中，，，当的等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 23．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的内接三角形，，点为线段的中点，连接，则的最大值是 ．    题型7：圆—以三角形、四边形为载体的圆问题 24．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，若点P在线段上，且为直角三角形，则符合要求的点P的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 25．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，是中线，分别为边上的动点，且，直线与相交于点，连接．若，则线段的最小值为 ． 26．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 题型8：二次函数综合 27．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 28．（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，且抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间，下列结论①；②；③；④；⑤．其中正确的有(    )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（21-22九年级上·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过A点、B点，顶点为P，抛物线过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则的值为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有4个实数根．其中正确的结论个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 32．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A．4 B． C． D． 33．（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知点，点都在关于的函数的图象上，且，则的取值范围是 ． 34．（19-20九年级上·江苏·期中）二次函数y＝2x2的图象如图所示，坐标原点O，点B1，B2，B3在y轴的正半轴上，点A1，A2，A3在二次函数y＝2x2位于第一象限的图象上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3都为等腰直角三角形，且点A1，A2，A3均为直角顶点，则点A3的坐标是 ． 35．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图像与轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点的直线将分成两个面积相等的三角形，则a的值为 ． 36．（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）如图，点A、在的图象上.已知A、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有 个.    37．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是 ． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训14 期中选填压轴题（江苏最新期中精选，八大题型） 目录： 题型1：一元二次方程 题型2：圆—传统几何问题 题型3：圆—动点问题 题型4：圆—相切问题 题型5：圆—坐标系中的圆 题型6：圆—最值问题 题型7：圆—以三角形、四边形为载体的圆问题 题型8：二次函数综合 题型1：一元二次方程 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的个数是（    ） （1）当时，方程一定有实数根； （2）当时，方程至少有一个根为； （3）当，方程的两根一定互为相反数； （4）当时，方程的两个根同号，当时，方程的两个根异号． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，选项逐项分析判断，即可求解． 【解析】解：A．正确．当时，，则方程一定有实数根； B．正确．当时，则，则方程至少有一个根为0； C．正确．当时，设方程两根为， ，则方程的两根一定互为相反数； D．错误．当时，方程的两个根异号，当时，方程的两个根同号． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【解析】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质，仿照题目中的运算方法，进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：， ， 四个矩形的长为，宽为， 大正方形的面积可以表示为，中间小正方形的面积为， ， 大正方形的面积还可以表示为， ， ， 综上所述，， 故选：D． 题型2：圆—传统几何问题 4．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据菱形的性质得出，根据相同的圆周角所对的弦相等，得出，即可判断①正确； ②根据菱形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，，从而得出，，但不能确定，判断②错误； ③先证明，根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据即可判断③正确． 【解析】解：①∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 不能确定，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ，故③正确； 综上分析可知，①③正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，圆周角定理，圆周角和弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质和菱形的性质． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期中）在中，，，，则其外接圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，关键是构造的外接圆，作，在中，，，求出，由勾股定理求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长即可． 【解析】解：作，垂足为D， ， ，    在中，，， ， ， ， 在中， ， ， 弦在优弧上所对的圆周角为：， ， 在中，，， ， 即． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的高，以O为圆心的两个同心圆，小圆经过点A，D，大圆经过点B，C，若小圆半径为6，大圆半径为10，则 ． 【答案】672 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的运用，过O作，根据垂径定理和勾股定理，用表示出即可得解． 【解析】解：小圆与交于点E，连接，过点O作交于F，如图： ， ∴是小圆的直径，即过点O，由垂径定理可知，， ， 设， ，， ，，， ， ，， ． 故答案为：672． 题型3：圆—动点问题 7．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是 ． 【答案】π 【分析】取的中点，取的中点，连接，，，则，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，根据弧长公式即可得轨迹长. 【解析】解：如图，取的中点，取的中点，连接，，， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧， ∴弧长， 故答案为. 【点睛】本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质.解决动点问题的关键是在运动中，把握不变的等量关系(或函数关系)，通过固定的等量关系(或函数关系)，解决动点的轨迹或坐标问题. 8．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，内接于，，，点D为弧上一动点，直线于E，当点D由B点沿弧运动到点C时，点E经过的路线长为（    ） A． B．27 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轨迹、圆周角定理、解直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质以及长公式等知识，当点在以为直径的圆上当点在点时，此时和重合；当沿运动到点和点重合时，连接，则点经过的路径是以为直径的圆上弦所对的优弧的长，进而求解，求出点的轨迹是解题的关键. 【解析】解：作圆的直径,连接,取的中点,连接,如图所示： ∵为的直径, 为的中点， 故当点在以为直径的圆上当点在点时，此时和重合； 当沿运动到点和点重合时，连接, 由圆周角定理得： 故点经过的路径是以为直径的圆上弦所对的优弧的长， 由弧长公式得：， 故选：. 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出经过的路程长． 【解析】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， 在中，，则， 的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则 当与重合时，；当与重合时，与重合； 走过的路程为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轨迹长度的求解，涉及矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间 ． 【答案】2或8或14 【分析】本题考查平移性质、切线的判定与性质、锐角三角函数，分点E与C重合时和点E与D重合时，半圆与相切；点O与C重合时，半圆与相切时三种情况，利用平移性质和切线的判定与性质，结合数形结合计算求解即可．运用分类讨论思想是解答的关键 【解析】解：∵半圆的直径， ∴半圆的半径, ①如图1，当点E与C重合时，，则半圆与相切， 此时点O运动了， ∴运动时间； ②如图2，当点E与D重合时，则， ∴半圆与相切， 此时点O运动了， ∴运动时间； ③如图3，过C作于F， ∵，， ∴， 当半圆与相切时，O到的距离等于半径， ∴点O与C重合，此时点O运动了， ∴运动时间 综上，当半圆与的边相切时，运动时间2或8或14， 故答案为：2或8或14． 11．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，E是的直径上一点，，.过点E作弦，P是上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接，取中点M，连接，先证明点Q在以为直径的圆上，则当三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出的长即可得到答案． 【解析】解：如图所示，连接，取中点M，连接， ∵， ∴点Q在以为直径的圆上， ∴当三点共线时，有最小值， ∵，，， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，正确确定点Q在以为直径的圆上是解题的关键． 12．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点K，连接，利用勾股定理求出，根据即可解决问题． 【解析】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 题型4：圆—相切问题 13．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》的第二卷中记载了方程根的图形解法：如图，在⊙O中，为直径，⊙O的切线与的延长线交于点B，切点为A，连接，使，，则该方程的一个正根是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】A 【分析】先根据题意得到，，再由勾股定理得到，由和得到等式，然后逆用完全平方公式求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵⊙O的切线与的延长线交于点B，切点为A， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了切线的定理，勾股定理，逆用完全平方公式，求出是解题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点是正方形的中心，与相切于点，连接，若，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，切线的性质，中位线的性质，连接，过点作，交的延长线于点，由切线的性质可以证明，，，最后通过勾股定理即可求解，掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【解析】如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵ 点是正方形的中心， ∴经过点，， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，， ∵，， ∴， ∴  ， ∴  ， ∵，， ∴， ∴正方形的面积是， 故选：． 15．（2019·湖北武汉·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在边AD，BC上，且EF⊥AD，点B关于EF的对称点为G点，连接EG，若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，则AE的长度为（    ） A．3 B． C．6+ D．6﹣ 【答案】D 【分析】设AE＝x，则ED＝8﹣x，易得四边形ABFE为矩形，则BF＝x，利用对称性质得FG＝BF＝x，则CG＝8﹣2x，再根据切线长定理得到EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，所以EG＝16﹣3x，在Rt△EFG中利用勾股定理得到42+x2＝(16﹣3x)2，然后解方程可得到AE的长． 【解析】解：设AE＝x，则ED＝8﹣x， ∵EF⊥AD， ∴四边形ABFE为矩形， ∴BF＝x， ∵点B关于EF的对称点为G点， ∴FG＝BF＝x， ∴CG＝8﹣2x， ∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴AD和BC为⊙O的切线， ∵EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M， ∴EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x， ∴EG＝8﹣x+8﹣2x＝16﹣3x， 在Rt△EFG中，42+x2＝(16﹣3x)2， 整理得x2﹣12x+30＝0， 解得x1＝6﹣，x2＝6+（舍去）， 即AE的长为6﹣． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理、矩形的性质与判定、勾股定理、以及轴对称的知识．经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 题型5：圆—坐标系中的圆 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心13为半径画圆，直线与交于两点，则弦长的最小值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．运用过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短这个经验是解决该题的关键． 【解析】解：对于直线， 当时，， 故直线恒经过点，记为点D， 过点D作轴于点H， 则有， ， 由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短， 连接， ， 因此运用垂径定理及勾股定理可得： 的最小值为， 故答案为：24．    17．（2019·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为 ． 【答案】16 【分析】连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为16． 【解析】解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、， 此时OP最大 ，则AB的长度最大， ∵， ∴， ∵以点为圆心的圆与轴相切． ∴的半径为3， ∴， ∵是直径， ∴， ∴长度的最大值为16， 故答案为16． 【点睛】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最大值是解题的关键． 18．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（　　）． A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据平行线间高相等可得，进而得到，然后根据k值的几何意义即可解答．掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【解析】解：如图，连接，，设的高为h ∵与x轴相切于点B，为的直径， ∴，, ∴、的高为， ∴, ∵， ∴， ∴, ∵，且反比例函数图像在一象限， ∴． 故选：C． 题型6：圆—最值问题 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，半径为，为圆上一动点，连接，，的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了最短路线问题，两点之间线段最短，以及勾股定理的应用，连接，在上取点，使 ，连接，则有，然后 根据相似三角形判定的方法，判断出，即可推导出，再应用勾股定理，求出的最小值即可，正确辅助线并判断出的长度即为所求的最小值是解题的关键． 【解析】解：连接，在上取点，使 ，连接， ∵，， ∴  ， ∴， ∴， ∴, ∴当点在同一条直线时，的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴的值最小为， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】以的中点O为圆心，为半径画圆，可得所画圆是的外接圆，弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦，可得，连接与圆的交点即为的最短距离，作于点H，可得是的中位线，根据勾股定理求出和的值，进而可得的最小值． 【解析】解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆， 在矩形中，，， ∵， ∴所画圆是的外接圆， ∵弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦， ∴， 连接与圆的交点即为的最短距离， 作于点H，则， ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点E． 21．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在中，，，，点M是边上的一个动点，以为直径作．连接交于点N，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查动点问题和圆周角定理，连接，取中点G，作以为直径的，连接，利用勾股定理得到，根据圆周角得到点N的运动轨迹，得到点N在上时，的最小值并求解． 【解析】解：连接，取中点G，作以为直径的，连接，如图， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点N在上， ∴，即点N的轨迹在以为直径的上， 当点N在上时，的最小值，为， 故答案为：． 22．（23-24九年级上·江苏常州·期中）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做三角形的“等弦圆”．如图，中，，，当的等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】先根据圆周角定理说明当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大，再过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M， ，进而得到，然后利用直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．掌握圆周角定理、垂径定理以及正确做出辅助线是解题的关键． 【解析】解：如图所示： ∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∴圆心O就是三角形的内心， ∴当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大， 过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M， ∵， ∴， ∵，， ∴, ∵， ∴ 设，则， ∴，解得，即， 在中， ． 故答案为：． 23．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的内接三角形，，点为线段的中点，连接，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，连接，，，，则是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而得出点在以为直径的圆上运动，以为直径作，连接，，当为的延长线与的交点时，的长取最大值，此时，由勾股定理计算出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：如图，连接，，，，   ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点为线段的中点，， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 以为直径作，连接，，当为的延长线与的交点时，的长取最大值，此时， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 题型7：圆—以三角形、四边形为载体的圆问题 24．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，若点P在线段上，且为直角三角形，则符合要求的点P的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点K，连接，首先证明，推出，以为直径作交于，此时是直角三角形，当时，是直角三角形，所以符合条件的点P有三个． 【解析】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴.， ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴以为直径作交于，此时是直角三角形， 当时，是直角三角形， ∴.符合条件的点P有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型． 25．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，是中线，分别为边上的动点，且，直线与相交于点，连接．若，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】 证明，得出在以为直径的上，从而计算出答案． 【解析】解：在中：，，是中线， ∴,, 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在以为直径的上，取的中点,连接，当三点共线时，线段取得最小值， 在中：,，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在中：， 在中，， 当三点共线时，线段取得最小值，． 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，隐圆求线段最值问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 26．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得出点M在O点为圆心，以为半径的圆上，然后得到当直线过圆心O时，最短，从而利用勾股定理计算出答案． 【解析】设的中点为O，以O点为圆心，为半径画圆， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴点M在O点为圆心，以为半径的圆上， 连接交圆O与点N， ∵点B为圆O外一点， ∴当直线过圆心O时，最短， ∵，， ∴， ∴， ∵． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对　圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 题型8：二次函数综合 27．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，利用勾股定理以及面积法求得的长，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可； 【解析】解：过点作于点， ， ， ， ， 当， ， ， ， ，即， ， ，开口向上的一段抛物线； 当， 同理可证， ，即， ， ，开口向下的一段抛物线； 综上，符合题意的函数关系的图象是D； 故选：D． 【点睛】本题考查了动点函数图象问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的图象，在图象中应注意自变量的取值范围． 28．（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可． 【解析】解：∵抛物线开口向下，交轴的正半轴， ∴， ∴，故选项A错误，不合题意； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴，故选项B错误，不合题意； ∵时，， ∴，故选项C错误，不合题意； ∵， ∴， ∵函数的最大值为， ∴， ∴，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 29．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，且抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间，下列结论①；②；③；④；⑤．其中正确的有(    )    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解析】解：①根据图示知，抛物线开口方向向下，则． 对称轴，则， 抛物线与轴交于正半轴，则， ． 故①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， 故②正确； ③，即时，，对称轴为直线， 当时， 故③不正确； ④顶点坐标为，则抛物线的对称轴直线， ， ． 故④正确； 根据图象，抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间， ∴当时，则，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定． 30．（21-22九年级上·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过A点、B点，顶点为P，抛物线过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，然后把抛物线解析式设为交点式从而求出点P的坐标为（m+1，-a），点Q的坐标为（，），求出直线AQ的解析式为，再由P在直线AQ上，得到，由此即可得到答案． 【解析】解：∵抛物线过A点、B点，，， ∴抛物线的对称轴为直线， 同理可得抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为，抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴点P的坐标为（m+1，-a）， 同理可求出点Q的坐标为（，）， 设直线AQ的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AQ的解析式为， ∵P在直线AQ上， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，正确求出P、Q的坐标是解题的关键． 31．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有4个实数根．其中正确的结论个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先补全函数图象，再根据图象逐项判断即可． 【解析】解：当时，，补全后的函数图象如下图所示： 由图可知，函数图象关于轴对称，故①正确； 函数有最大值，没有最小值，故②错误； 当时，随的增大而增大，故③正确； 当时，直线与函数图象有4个交点，因此关于的方程有4个实数根，故④正确； 综上可知，正确的有①③④，共3个， 故选A． 32．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点O作与E，连接交与点F，连接，利用勾股定理求出，再证明点F是的中点，利用中位线定理和直角三角形的中线的性质分别求出和，从而得到，最后用勾股定理求即可． 【解析】解：过点O作与E，连接交与点F，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴F是的中点， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，垂直平分线的性质，直角三角形中线的性质，中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性较大，利用垂径定理构造辅助线和证明点F是的中点是解题的关键． 33．（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知点，点都在关于的函数的图象上，且，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据抛物线的对称性得到 ，解得，从而得到，代入解析式得到，利用二次函数的性质即可求得，然后根据，得到，从而求得的取值范围是且． 【解析】解：∵点，点都在关于的函数的图象上， ∴， 整理得，， ∴， ∴，代入得， ， ∵时，有最大值3， ∵，所以， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得的值从而得到的坐标为是解题的关键． 34．（19-20九年级上·江苏·期中）二次函数y＝2x2的图象如图所示，坐标原点O，点B1，B2，B3在y轴的正半轴上，点A1，A2，A3在二次函数y＝2x2位于第一象限的图象上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3都为等腰直角三角形，且点A1，A2，A3均为直角顶点，则点A3的坐标是 ． 【答案】（，）． 【分析】过A1，A2，A3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设OB1=a，B1B2=b，B2B3=c，则AA1=a，BA2=b，CA3=c，再根据等腰直角三角形的性质，分别表示A1，A2，A3的纵坐标，逐步代入抛物线y=2x2中，求a、b、c的值，得出点A3的坐标． 【解析】分别过A1，A2，A3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C， 设OB1＝a，B1B2＝b，B2B3＝c，则AA1＝a，BA2＝b，CA3＝c， 在等腰直角△OB1A1中，A1（a，a），代入y＝2x2中，得a＝2（a）2，解得a＝1， ∴A1（，）， 在等腰直角△B1A2B2中，A2（b，1+b），代入y＝2x2中，得1+b＝2•（b）2，解得b＝2， ∴A2（1，2）， 在等腰直角△B2A3B3中，A3（c，3+），代入y＝2x2中，得3+c＝2•（c）2，解得c＝3， ∴A3（，）， 故答案为（，）． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用．解题关键是根据等腰直角三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求A1，A2，A3的坐标． 35．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图像与轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点的直线将分成两个面积相等的三角形，则a的值为 ． 【答案】/0.9 【分析】本题考查了二次函数和一次函数综合，先得出，，再根据过点的直线将分成两个面积相等的三角形，得出过点M的直线为中线，然后进行分类讨论：分别求出各条中线的函数解析式，将点M的坐标代入，求出a的值，即可．①当该直线为边上的中线时，②当该直线为边上的中线时，③当该直线为边上的中线时． 【解析】解：∵， ∴当时，， ∴， 把代入得：， ∴， ∵过点的直线将分成两个面积相等的三角形， ∴过点M的直线为中线， ①当该直线为边上的中线时， 令中点为点D， ∵，， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入的：， 解得：，不符合题意，舍去； ②当该直线为边上的中线时， 令中点为点E， ∵，， ∴， ∵， ∴轴，不符合题意，舍去； ③当该直线为边上的中线时， 令中点为点F， ∵，， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入的：， 解得：； 故答案为：． 36．（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）如图，点A、在的图象上.已知A、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有 个.    【答案】4 【分析】根据的面积都等于的面积的一半，可知，分类讨论，①如图所示，当点在直线的下方；②如图所示，当点在直线的上方，根据几何图形的面积计算方法即可求解． 【解析】解：∵点在的图像上，的横坐标分别为、， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 在中，令，则， ∴的坐标为， ∴， ∴． 点在函数的图像上，设， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， ①如图所示，当点在直线的下方，过点A作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，    ∵，， ∴，，， ∴，，，，，， ∵， ∴，整理得，， ∴，， ∴，， ∴在直线下方有两个点，使得的面积等于的面积的一半； ②如图所示，当点在直线上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，，，      同理，， ∴， 整理得，， ∴，， ∴，， ∴在直线上方有两个点，使得的面积等于的面积的一半； 综上所述，函数的图像上存在点，使的面积等于的面积的一半，这样的点共有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图像上的坐标特征，几何图形的面积的计算方法，运用数形结合思想和分类讨论是解题的关键． 37．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，，且a越大开口越小，开口向下时，，且a越大，开口越大，从而确定a的范围． 【解析】+：如图，      抛物线的对称轴为：直线， 设抛物线与直线l交点（靠近y轴）坐标为， ， ， 当时，若抛物线经过点时，开口最大，此时a值最小， 将点代入，得：， 解得， ； 当时，若抛物线经过点时，开口最大，此时a值最大， 将点代入，得：， 解得， ， 的取值范围是或． 故答案为：或． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$