特训07 期中必刷解答题50道（江苏最新期中精选，五大模块）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训07 期中必刷解答题50道（江苏最新期中精选，五大模块） 目录： 模块1：实数 模块2：几何解答证明基础 模块3：作图题综合 模块4：勾股定律的验证及实际应用 模块5：几何解答证明题提高 模块1：实数 1．（22-23九年级下·福建泉州·期中）计算：． 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）计算：． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）计算： (1)； (2) ． 4．（2023八年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 5．（21-22八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x． (1)． (2)． 6．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的算术平方根是3，求的立方根． 7．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-9的立方根是2，c是的整数部分，求7a-2b-2c的平方根． 模块2：几何解答证明基础 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．    9．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，，AE＝BE，，点D在AC边上．求证：．    10．（20-21八年级·全国·假期作业）如图，在△ABC中，AC＝20，AD＝16，CD＝12，BC＝15，求AB的长． 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知分别是的边上的高，．试说明的理由． 解：因为分别是边，边上的高（已知）， 所以______（______）． 在和中， ， 所以（______）， 所以（______）． 12．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 13．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC． 求证：∠B=∠D． 14．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，是的平分线，求的度数．    15．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 16．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，的角平分线相交于点P，求证：点P在的角平分线上．    17．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 18．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，，求证：是等腰三角形．    19．（24-25八年级上·江苏南京·期中）证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 已知：如图，点P在内， ． 求证： ． 证明： 20．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C． （1）求证：AB＝AC； （2）连接BC，求证：AD⊥BC． 21．（19-20八年级上·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P． （1）求证：PB＝PC． （2）若PB＝5，PH＝3，求AB． 模块3：作图题综合 22．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与线段关于直线l成轴对称的线段； (2)在直线l上确定一点P，使最短． 23．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在每个小正方形边长为 1 的网格中，A，B， C 为格点，点 P 为线段上一点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深）    (1)的长等于 ； (2)在图1中，画出的角平分线； (3)在图2中， 在线段上画点Q，使得． 24．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图所示是每一个小正格都是边长为1的正方形网格． (1)利用网格线作图： ①在上找一点M使点M到和的距离相等； ②在射线上找一点N，使． (2)在（1）中连接与，直接写出的面积． 25．（22-23七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在每个小正方形的边长均为个单位长度的方格纸中，有和直线，点，，均在小正方形的顶点（网格点）上．    (1)在方格纸中画出，使与关于直线对称； (2)在方格纸的网格点中找一点，使得，连接，，并求出的面积． 26．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，有的正方形网格，按要求操作并计算． (1)写出点A、B的坐标；点，点； (2)连接，并画出关于y轴对称的线段； (3)画出，并求其面积． 27．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）利用网格画四边形任意两边的垂直平分线，设它们相交于点； （2）点 （填“在”或“不在”）另外两条边的垂直平分线上； （3）把顶点向左移动8格，以上结论 （填“成立”或“不成立”）； （4）直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点． 28．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图①，是等边三角形，点D在线段上，且，交于点E， (1)证明：是等边三角形； (2)如图②，已知两条直线，求作等边，使得点A在直线a上，点B与点C在直线b上．（用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 29．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，已知线段a和．在边上作点B，在边上作点C，分别满足下列条件：（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)在图①中，； (2)在图②中，． 模块4：勾股定律的验证及实际应用 30．（第03讲勾股定理应用（知识解读 真题演练 课后巩固）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读题型专练》（苏科版））已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？    31．（14-15八年级上·广东河源·阶段练习）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度． 32．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，一架长10米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙6米 (1)此时梯子顶端A离地面多少米? (2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处? 33．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3） (1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？ (2)现用一根绳子绕圆柱侧面两周，绳子的两个端点分别与点A、点B重合，则绳子长度至少为多少分米？ 34．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，，垂足分别为，，交于点，，． (1)求证； (2)接，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积，验证勾股定理． 35．（17-18八年级下·全国·课后作业）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13, 求证：△ACD是直角三角形． 36．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，折叠长方形纸片，使点落在边上的点处，宽，长，求的长． 37．（20-21八年级上·安徽安庆·期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D． （1）求∠BAD的度数； （2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长． 38．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 39．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是中线，且，是的中点． (1)求证； (2)若，，则的长为 ． 40．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，，，交于点D，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长度． 41．（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，连接AE． (1)求证：△CEA≌△CDB； (2)求证：． 42．（21-22八年级下·山东济南·期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且 AE=AB ． (1)求证：∠B=2∠C； (2)若AC=10，AD=6，求△ABC的周长． 43．（22-23八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，于点，，，．    (1)求的长； (2)求的面积； (3)判断的形状． 44．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点E，与边交于点D． (1)求的度数； (2)求证：为等腰三角形． 45．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，都是等边三角形， 且B、E、C三点在一条直线上.    (1)求.的度数； (2)若点M、N分别是线段和的中点，连接，，，试判断的形状，并说明理由. 46．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 在中，分别是边上的高，点 M 是的中点， 连接.    (1)求证：为等腰三角形； (2)直接写出与之间的数量关系： . 47．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，长方形纸片ABCD的长AD＝8cm，宽AB＝4cm，将其沿着折痕EF折叠，使点D与点B重合． （1）求证：BE＝BF； （2）求折叠后△BEF的面积． 48．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知：如图，为的两条高，点M是的中点，点N是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长： (3)若，则的度数为______． 49．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知： 是等边三角形，点P、Q分别是边上的动点，且．连接交于点M．    (1)如图1，当点P是边的中点时，＝ ； (2)在P、Q运动过程中，的大小是否变化？请利用图2证明你的结论． 50．（江苏省南京市联合体2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）[问题背景] 如图①，将沿折痕翻折，使点落在边上点处，已知，，求的度数； [变式运用] 如图②，在中，，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 期中必刷解答题50道（江苏最新期中精选，五大模块） 目录： 模块1：实数 模块2：几何解答证明基础 模块3：作图题综合 模块4：勾股定律的验证及实际应用 模块5：几何解答证明题提高 模块1：实数 1．（22-23九年级下·福建泉州·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据绝对值，二次根式以及零指数幂的运算，求解即可． 【解析】解： 【点睛】此题考查了实数的有关运算，涉及了绝对值，二次根式以及零指数幂，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）计算：． 【答案】5 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，立方根的意义．利用二次根式的运算性质，立方根的意义解答即可． 【解析】解： = ． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）计算： (1)； (2) ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可． 【解析】（1）解： （2） 4．（2023八年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用平方根求出的值，即可求出； （2）利用立方根求出的值，即可求出． 【解析】（1）解：原方程变形为：， 则或， 解得：或； （2）原方程变形为：， 则， 解得：． 【点睛】本题考查平方根、立方根的求法，熟练平方根和立方根的求法是关键． 5．（21-22八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用平方根的定义：一个数的平方是，则是的平方根，解方程； （2）利用立方根的定义：一个数的立方是，则是的立方根，解方程． 【解析】（1）解：； ； ∵， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查利用平方根和立方根解方程．熟练掌握平方根和立方根的概念是解题的关键． 6．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．利用一个正数的两个平方根互为相反数，求出a的值，再根据正的平方根是算术平方根求出b，即可求出立方根得解． 【解析】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得：， 的算术平方根是3， ， 解得：， ， 的立方根为2． 7．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-9的立方根是2，c是的整数部分，求7a-2b-2c的平方根． 【答案】的平方根是． 【分析】根据2a-1的算术平方根是3，3a+b-9的立方根是2，c是的整数部分可求出a、b、c的值，代入所求代数式求出平方根即可． 【解析】解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵是的整数部分，3＜＜4， ∴， ∴， ∴的平方根是. 【点睛】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；灵活应用“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 模块2：几何解答证明基础 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．    【答案】见详解 【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得． 【解析】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 9．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，，AE＝BE，，点D在AC边上．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用等式的性质可证，然后利用证明即可． 【解析】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 10．（20-21八年级·全国·假期作业）如图，在△ABC中，AC＝20，AD＝16，CD＝12，BC＝15，求AB的长． 【答案】AB＝25． 【分析】先利用勾股定理的逆定理证得∠ADC＝90°，再利用勾股定理求出BD即可． 【解析】∵AC＝20，AD＝16，CD＝12， ∴CD2+AD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△BCD中，BC＝15，CD＝12， ∴BD＝＝9， ∴AB＝AD+BD＝25． 【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，熟记定理的计算方法是解题的关键． 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知分别是的边上的高，．试说明的理由． 解：因为分别是边，边上的高（已知）， 所以______（______）． 在和中， ， 所以（______）， 所以（______）． 【答案】，三角形的高的定义，，全等三角形的对应边相等 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意，证明，即可求解． 【解析】解：∵分别是边，边上的高（已知）， ∴（三角形的高的定义）， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 12．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 【答案】证明见解析. 【分析】由 可得根据全等三角形的判定和性质即可证明结论． 【解析】证明：∵∠1=∠2 即, 在和中， 13．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC． 求证：∠B=∠D． 【答案】见解析 【分析】直接根据SAS可以证明△ABC≌△CDA,从而得到结论. 【解析】证明：在△ADC与△ABC中, ∵AD=AB, ∠DAC=∠BAC, AC=AC, ∴△ADC≌△ABC-, ∴∠B=∠D, 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 14．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，是的平分线，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线定义，等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．根据垂直平分线的性质可知，从而，再根据角平分线的定义可知，根据直角三角形两锐角互余即可得出的度数． 【解析】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 【答案】见详解 【分析】根据得，再根据垂直定义得，进而根据直角三角形的两个锐角互余得，，由此得，则，即可作答．此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质是解决问题的关键． 【解析】解： ， ， ， ， 和是直角三角形， ，， 又有， ， ∵， ， ， 是等腰三角形． 16．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，的角平分线相交于点P，求证：点P在的角平分线上．    【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线性质定理的逆定理，过点P分别作垂足分别为D，F，E，利用角平分线的性质推出，由角平分线性质定理的逆定理，即可证明P点在的角平分线上． 【解析】证明：过点P分别作垂足分别为D，F，E，    ∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴P点在的角平分线上． 17．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和逆定理，连接，先根据勾股定理求出长，然后根据勾股定理的逆定理判断 ，再根据解题即可． 【解析】解：连接， ∵ ，，， ∴ ， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴ ， 即四边形的面积为． 18．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，，求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】根据三角形内角和定理，计算的度数，确定即可得证． 本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【解析】证明：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 19．（24-25八年级上·江苏南京·期中）证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 已知：如图，点P在内， ． 求证： ． 证明： 【答案】，垂足分别为C，D，；平分；证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理的逆定理的证明，根据文字命题写出已知、求证，连接，根据证明，即可得证． 【解析】已知：如图，点P在内，于点C，于点D，． 求证：平分． 证明：连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 即 平分． 20．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C． （1）求证：AB＝AC； （2）连接BC，求证：AD⊥BC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据题意证明△ADB≌△ADC即可证明AB＝AC； （2）连接BC，由中垂线的逆定理证明即可． 【解析】证明：（1）∵在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（AAS）， ∴AB＝AC； （2）连接BC， ∵△ADB≌△ADC， ∴AB＝AC，BD＝CD， ∴A和D都在线段BC的垂直平分线上， ∴AD是线段BC的垂直平分线， 即AD⊥BC． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及中垂线的逆定理，熟记相关定理是解题关键． 21．（19-20八年级上·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P． （1）求证：PB＝PC． （2）若PB＝5，PH＝3，求AB． 【答案】（1）见解析；（2）10. 【分析】（1）根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据三角形内角和定理可得∠MBP=∠HCP，然后可得∠PBC=∠PCB，可证PB＝PC； （2）利用AAS可直接证明△PMB≌△PHC，得到PM=PH=3，BM=CH，然后求出BM，在直角△ABH中利用勾股定理构建方程求出AM即可解决问题. 【解析】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵∠PMB=∠PHC=90°，∠MPB=∠HPC， ∴∠MBP=∠HCP， ∴∠ABC-∠MBP =∠ACB-∠HCP，即∠PBC=∠PCB， ∴PB＝PC； （2）在△PMB和△PHC中，， ∴△PMB≌△PHC（AAS）， ∴PM=PH=3，BM=CH， ∴BM=，AM=AH， 在Rt△ABH中，AB2=AH2+BH2， ∴(4+AM)2= AH2+(5+3)2，即(4+AM)2= AM2+82， 解得：AM=6， ∴AB=AM+BM=6+4=10. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理进行推理计算是解题的关键. 模块3：作图题综合 22．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与线段关于直线l成轴对称的线段； (2)在直线l上确定一点P，使最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，连接，此时最短． 【解析】（1）如图，线段即为所求． （2）如图，连接，交直线于点，连接， 此时最短， 则点即为所求． 23．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在每个小正方形边长为 1 的网格中，A，B， C 为格点，点 P 为线段上一点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深）    (1)的长等于 ； (2)在图1中，画出的角平分线； (3)在图2中， 在线段上画点Q，使得． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与涉及作图，角平分线的判定定理，全等三角形的判定定理等知识． （1）由勾股定理可得； （2）取格点E，连接并延长交于D，即为所求； （3）取格点K，使，连接交于T，连接并延长交于Q，Q即为所求的点． 【解析】（1）； 故答案为：5； （2）取格点E，连接并延长交于D，如图：   即为所求； 理由：由图可知， ∴， ∴， 过E作于F， ∵， ∴， ∴E到的距离等于E到的距离， ∴是的角平分线； （3）取格点K，使，连接交于T，连接并延长交于Q，Q即为所求的点．，如图：    理由：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图所示是每一个小正格都是边长为1的正方形网格． (1)利用网格线作图： ①在上找一点M使点M到和的距离相等； ②在射线上找一点N，使． (2)在（1）中连接与，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据网格特点作出的角平分线与的交点就是M，作的垂直平分线与的交点就是N； （2）首先利用勾股定理计算出，，，然后利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形进而计算出面积即可． 【解析】（1）点M就是所要求作到和的距离相等的点， 点N就是所要求作的使的点， （2）连接与， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了利用网格结构作角的平分线，线段垂直平分线，解决本题的关键是掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 25．（22-23七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在每个小正方形的边长均为个单位长度的方格纸中，有和直线，点，，均在小正方形的顶点（网格点）上．    (1)在方格纸中画出，使与关于直线对称； (2)在方格纸的网格点中找一点，使得，连接，，并求出的面积． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析，． 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点关于的对称点即可； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）如图，为所作；    （2）点的位置如图所示，且， ． 【点睛】此题考查了作图——轴对称变换：先确定图形的关键点，再利用轴对称性质作出关键点的对称点，然后按原图形中的方式顺次连接对称点，也考查了勾股定理，解题的关键是准确找出对应点位置． 26．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，有的正方形网格，按要求操作并计算． (1)写出点A、B的坐标；点，点； (2)连接，并画出关于y轴对称的线段； (3)画出，并求其面积． 【答案】(1)2；4；4；3 (2)图见解析 (3)图见解析，5 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称作图、三角形的面积等知识点，正确作出图形以及割补法成为解题的关键． （1）直接根据直角坐标系可得点A、B的坐标即可； （2）先找到点A、B关于y轴的对称点，继而可得关于y轴对称的线段即可； （3）顺次连接，利用“割补”法，可求出其面积即可． 【解析】（1）解：结合直角坐标系可得：点，点． 故答案为：2；4；4；3． （2）解：如图：线段即为所求． （3）解：如图： ． 27．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）利用网格画四边形任意两边的垂直平分线，设它们相交于点； （2）点 （填“在”或“不在”）另外两条边的垂直平分线上； （3）把顶点向左移动8格，以上结论 （填“成立”或“不成立”）； （4）直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点． 【答案】（1）见解析；（2）在；（3）不成立；（4）当四边形满足对角互补时，四边的垂直平分线交于一点 【分析】本题考查了垂直平分线的性质； （1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）由（1）作图的结果可知在另外两边的垂直平分线上； （3）通过作图可知不在另外两边的垂直平分线上； （4）根据垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质即可得出答案． 【解析】解：（1）如图所示： （2）如图所示，点在另外两条边的垂直平分线上； 故答案为：在； （3）如图所示， 把顶点向左移动8格，以上结论不成立； 故答案为：不成立； （4）观察图形可得点在的公共的斜边中点上，当四边的垂直平分线交于一点时，交点与四个顶点的距离相等， 所以，当四边形满足对角互补时，四边的垂直平分线交于一点． 28．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图①，是等边三角形，点D在线段上，且，交于点E， (1)证明：是等边三角形； (2)如图②，已知两条直线，求作等边，使得点A在直线a上，点B与点C在直线b上．（用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图−复杂作图、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，即可得出结论． （2）在直线b上任取两点B，D，以点B为圆心，线段的长为半径画弧，再以点D为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧交于点E，作射线，交直线a于点A，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交直线b于点C，连接即可． 【解析】（1）证明：∵为等边三角形 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴为等边三角形． （2）如图②，在直线b上任取两点B，D， 以点B为圆心，线段的长为半径画弧， 再以点D为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧交于点E， 作射线，交直线a于点A， 以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交直线b于点C， 连接 则等边即为所求． 29．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，已知线段a和．在边上作点B，在边上作点C，分别满足下列条件：（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)在图①中，； (2)在图②中，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作，再作的垂直平分线交于C，则B、C即为所求； （2）作的平分线，再作的垂线并截取，再作交于C，过C作交于B，则B、C即为所求． 【解析】（1）解：如图①所示． （2）如图②所示． 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定与性质，三线合一，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 模块4：勾股定律的验证及实际应用 30．（第03讲勾股定理应用（知识解读 真题演练 课后巩固）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（苏科版））已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？    【答案】7200元 【分析】连接，在中，根据勾股定理得到的长为5，根据勾股定理的逆定理得到为一直角三角形，，根据四边形由和构成，即可求解． 【解析】连接， 在中，， 在中，， 而， 即， ∴是直角三角形，， ∴ ． ∴需费用（元）．    【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形． 31．（14-15八年级上·广东河源·阶段练习）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度． 【答案】12米. 【分析】设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可列方程求解. 【解析】设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，则由勾股定理可得： ， 解得x=12， 答：旗杆的高度为12米. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解. 32．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，一架长10米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙6米 (1)此时梯子顶端A离地面多少米? (2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处? 【答案】(1)8米； (2)米． 【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度． （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑3米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案． 【解析】（1）解：∵米，米， 梯子距离地面的高度米， 答：此时梯子顶端离地面8米； （2）解：∵梯子下滑了3米，即梯子距离地面的高度米， ∴米， ∴米，即下端滑行了米． 答：梯子底端将向左滑动了米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键． 33．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3） (1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？ (2)现用一根绳子绕圆柱侧面两周，绳子的两个端点分别与点A、点B重合，则绳子长度至少为多少分米？ 【答案】(1)6分米 (2)分米 【分析】（1）设这个圆柱形容器的底面直径为分米，根据圆柱容积公式得出方程求解即可； （2）由题意将圆柱侧面展开如图所示，则长即为绳子长度，再根据勾股定理求出的长即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，圆锥的体积，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键． 【解析】（1）解：设这个圆柱形容器的底面直径为分米， 圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍， ， ， 这个圆柱形容器的底面直径为6分米； （2）由题意将圆柱侧面展开如图所示，则长即为绳子长度， 圆柱形容器的底面直径为6分米， 圆柱形容器的底面周长为18分米， 高为直径的分米， 绳子长度至少为（分米）． 模块5：几何解答证明题提高 34．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，，垂足分别为，，交于点，，． (1)求证； (2)接，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积，验证勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键． （1）根据证明得出，即可推出结论； （2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论． 【解析】（1）证明：设交于点F，如图， ，， ， 在和中， ． ， ， ． ． ， 即． （2）解：如图，连接、， ， ，，，． ． ， ． ． 即． 35．（17-18八年级下·全国·课后作业）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13, 求证：△ACD是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】试题分析：首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明 可得是直角三角形． 试题解析：证明： ∴△ACD是直角三角形. 36．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，折叠长方形纸片，使点落在边上的点处，宽，长，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明并且求得是解答本题的关键． 由矩形的性质得BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，∠B＝∠C＝90°，由折叠得，，根据勾股定理得求得，则，由，得，求得，由此得到答案． 【解析】解：四边形是矩形， ，， 由折叠得，， ， ， ， ， 解得， 的长是． 37．（20-21八年级上·安徽安庆·期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D． （1）求∠BAD的度数； （2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长． 【答案】（1）22°；（2）19． 【分析】（1）利用三角形内角和求得∠C＝40°，利用垂直平分线的性质，求得∠DAC＝40°，最后计算∠BAD的度数即可；（2）利用周长的定义，垂直平分线的性质计算即可． 【解析】解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°， ∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠CAD＝∠C＝40°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°； （2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练运用定理和性质是解题的关键． 38．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线是线段的垂直平分线，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定； （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据垂直平分线的判定即可得出证明； 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴， （2）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线． 39．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是中线，且，是的中点． (1)求证； (2)若，，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查直角三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形中位线定理． （1）连接，根据三角形中线的性质和直角三角形的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理解答即可． 【解析】（1）证明：连接， 是的中线， 是的中线． 是高， ， 是的中线． ， ， ， 是的中点， ； （2）解：，是高， 是中线， 是的中点， 是的中位线， ， 是中线， ， 故答案为：8． 40．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，，，交于点D，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的判刑和性质，由平分，可得，可得结论． （2）本题主要考查等边三角形的判定和性质，直接根据，证明，通过证明为等边三角形，可得． 【解析】（1）证明：∵平分； ∴； ∵； ∴； ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 41．（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，连接AE． (1)求证：△CEA≌△CDB； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，CD＝EC，根据等角的余角相等可得∠ACE＝∠BCD，即可证明△CDB≌△CEA（SAS）； （2）根据（1）中的结论以及全等三角形的性质证明∠EAD＝90°，，根据勾股定理可得，等量代换即可得证． 【解析】（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CD＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△CDB与△CEA中， ， ∴△CDB≌△CEA（SAS）； （2）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠BAC＝45°， 由（1）得△CDB≌△CEA， ∴∠EAC＝∠B＝45°， ∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝45°+45°＝90°， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 42．（21-22八年级下·山东济南·期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且 AE=AB ． (1)求证：∠B=2∠C； (2)若AC=10，AD=6，求△ABC的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB=∠B和∠C=∠EAC，再根据外角性质即可得出答案； （2）根据勾股定理求出CD=8，由已知能推出AB+BC=2DE+2EC=2×8=16，即可得出答案． 【解析】（1）∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC， ∴AB=AE=EC， ∴∠C=∠CAE，∠B=∠AEB， ∴∠B=∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C． （2）在直角三角形ACD中， ∵∠ADC=90°， ∴， ∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC， ∴AB=AE=EC，DE=BE， ∴AB+BC=AB+BD+DE+CE=2DE+2CE=2CD=2×8=16， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=16+10=26． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 43．（22-23八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，于点，，，．    (1)求的长； (2)求的面积； (3)判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)直角三角形 【分析】（1）根据垂直的定义及勾股定理即可解答； （2）根据垂直的定义及勾股定理可知，再根据三角形的面积公式即可解答； （3）根据垂直的定义及勾股定理可知，再根据勾股定理的逆定理即可解答． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即的面积为； （3）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了垂直的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键． 44．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点E，与边交于点D． (1)求的度数； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形外角性质求出； （2）求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论． 【解析】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 45．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，都是等边三角形， 且B、E、C三点在一条直线上.    (1)求.的度数； (2)若点M、N分别是线段和的中点，连接，，，试判断的形状，并说明理由. 【答案】(1)60度 (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）利用等边三角形的性质推出即可求出结果； （2）由（1）得出的，得到，，结合已知推出，从而得出，即可得出结论； 根据等边三角形性质推出是解答本题的关键． 【解析】（1）， 是等边三角形， ，，，， ， ， ， ； （2）   ， ，， 为中点，为中点， ，， ， 又， ， ，， ， 是等边三角形． 46．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 在中，分别是边上的高，点 M 是的中点， 连接.    (1)求证：为等腰三角形； (2)直接写出与之间的数量关系： . 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理． （1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的斜边上的中线性质可得，，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论和等腰三角形的性质可得，，从而利用三角形内角和定理可得，，然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得可得，再根据垂直定义可得，从而可得，最后进行计算可得，即可解答． 【解析】（1）∵， ∴， ∵点M是的中点， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形； （2）， 理由：∵， ∴， ∴，， ∴ =2(∠ABC+∠ACB)-180° ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 47．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，长方形纸片ABCD的长AD＝8cm，宽AB＝4cm，将其沿着折痕EF折叠，使点D与点B重合． （1）求证：BE＝BF； （2）求折叠后△BEF的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）10 【分析】（1）根据轴对称的性质，得∠BEF＝∠DEF；根据长方形和平行线性质，得∠BFE＝∠DEF，从而得∠BFE＝∠BEF，结合等腰三角形性质，即可完成证明； （2）结合题意设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x；根据勾股定理的性质，通过列方程并求解，即可得到AE；再结合三角形的性质计算，即可得到答案． 【解析】（1）由折叠的性质得：∠BEF＝∠DEF， ∵ADBC， ∴∠BFE＝∠DEF， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BE＝BF； （2）设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2 解得，x＝3， ∴BE＝BF＝5， ∴△BEF的面积＝×BF×AB＝×5×4＝10． 【点睛】本题考查了轴对称、矩形、平行线、等腰三角形、一元一次方程、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、轴对称、勾股定理的性质，从而完成求解． 48．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知：如图，为的两条高，点M是的中点，点N是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长： (3)若，则的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了“斜中半定理”、“三线合一”、勾股定理等知识点，掌握相关定理的内容是解题关键． （1）根据，，点M是的中点，利用斜中半定理即可求证； （2）由（1）中的结论，利用“三线合一”可得，，根据勾股定理即可求解； （3）由（1）可得，进一步可得；根据即可求解． 【解析】（1）证明：∵为的两条高， ∴， ∴ ∵点M是的中点 ∴， ∴ （2）解：∵N为中点，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）解：由（1）可得：， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 故答案为： 49．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知： 是等边三角形，点P、Q分别是边上的动点，且．连接交于点M．    (1)如图1，当点P是边的中点时，＝ ； (2)在P、Q运动过程中，的大小是否变化？请利用图2证明你的结论． 【答案】(1) (2)不变，证明见详解 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，即可求出； （2）根据等边三角形的性质得到，再证明，得到，利用三角形外角定理进行角的代换即可求解． 【解析】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵点P是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：的大小不变，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角定理等知识，熟知等边三角形的性质并灵活应用，证明三角形全等是解题关键． 50．（江苏省南京市联合体2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）[问题背景] 如图①，将沿折痕翻折，使点落在边上点处，已知，，求的度数； [变式运用] 如图②，在中，，求证：． 【答案】问题背景：；变式运用：证明见解析 【分析】①根据折叠的性质可得，继而得到，再根据三角形外角的性质可得结论； ②利用①的方法，将沿折痕翻折，点的对应点为点，可得，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得证． 【解析】①解：∵沿折痕翻折，，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，沿折痕翻折，点的对应点为点， ∵， ∴点落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查翻折变换，折叠的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质．掌握折叠的性质和全等三角形的性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$