3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时） 教学设计 1、 教学目标 1. 掌握双曲线的简单几何性质． 2. 理解双曲线的渐近线及离心率的意义． 3. 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养． 2、 教学重难点 重点：掌握双曲线的简单几何性质． 难点：（1）理解双曲线的渐近线及离心率的意义； （2）根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 学生在进入本节课的学习之前，已经对双曲线的定义和标准方程有了初步的了解。通过前面的学习，学生已经掌握了圆锥曲线的分类以及双曲线与椭圆在定义上的异同点，这为后续学习双曲线的几何性质打下了基础。 然而，双曲线的几何性质相比椭圆来说更为复杂和抽象，需要学生具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力。因此，部分学生在理解和应用这些性质时可能会感到困难。 在教学过程中，我注意到学生的学习兴趣和积极性较高，他们渴望通过具体的例子和图形来加深对双曲线几何性质的理解。同时，学生也表现出了一定的自主学习能力，能够主动查阅资料、思考问题，并提出自己的见解。 为了帮助学生更好地掌握双曲线的几何性质，我将采用直观演示、小组合作、例题讲解等多种教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳和推理等过程，逐步掌握双曲线的简单几何性质，并培养他们的空间想象能力和逻辑推理能力。 2. 教材分析： 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章《圆锥曲线》，本节课主要学习双曲线的简单几何性质 学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学 4、 教学过程 1． 复习回顾，引入新知 教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空。 学生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的准备. 课前活动：类比椭圆的几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 ①的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 提示：范围，对称性、顶点、离心率等 学生：类比学习椭圆时研究方法，进行双曲线的简单结合性质的分析，学生先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲。 设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评。 2． 新课探究 类比：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，你可以发现双曲线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 学生：尝试着观察双曲线的图，以及类比椭圆的探究方法，与同桌讨论分析，得出答案. 预设：范围是，或，纵坐标的范围是. 要求：请尝试着利用双曲线方程证明你的结论. 学生：从双曲线方程入手，借助，即可得出横坐标的范围. 预设：由方程①可得 ， 于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即，． 所以或，． 教师：归纳总结，得出双曲线的第一个几何性质：范围：双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域． 类比：类比研究椭圆对称性的方法，得到什么结论？ 学生：类比椭圆研究对称性的方法，得出结论. 预设：容易得到，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 教师：归纳总结，得出双曲线的第二个几何性质：对称性：双曲线关于轴、轴和原点都是对称的． 类比：类比求椭圆顶点的方法，尝试求双曲线的顶点. 学生：进行知识迁移，类比椭圆求顶点的办法，得出双曲线的顶点坐标. 预设：在方程①中，令，得，因此双曲线和轴有两个交点，；令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和轴没有公共点，但我们也把，两点画在轴上. 两个重要概念： 线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长； 线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长． 教师：归纳总结，得出双曲线的第三个几何性质：顶点，焦点在x轴：，焦点在y轴：. 探究：利用信息技术画出双曲线和两条直线．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？ 教师：通过Geogebra软件进行演示. 学生：通过教师借助信息技术的动态化演示，学生得出结论. 预设：发现点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于0． 思考：经过两点，作轴的平行线，经过两点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，求矩形的两条对角线所在直线的方程. 学生：思考，并尝试着求出该直线方程. 预设：矩形的两条对角线所在直线的方程是．可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交． 渐近线定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 教师：归纳总结，得出双曲线的第四个几何性质：渐进线，双曲线的渐近线方程为，即；双曲线的渐近线方程为，即． 教师：下面学习双曲线的简单几何性质五：离心率，回顾椭圆离心率的定义，得出双曲线离心率的定义. 学生：回顾椭圆离心率的定义，预猜双曲线离心率定义如下： 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率. 教师：肯定同学们的预猜，类比椭圆的离心率范围：，推导双曲线的离心率的范围. 学生：根据的大小关系：可得出， 思考：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 学生：尝试画出不同离心率的双曲线，观察图象得出结论. 预设：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小． 追问：用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？ 学生：继续观察图象，教师借助信息技术演示相关变换.同时，尝试从离心率的公式入手推导出结论. 预设：双曲线离心率 离心率越大，的值越大，渐近线的斜率越大， 双曲线的“张口”越大. 等轴双曲线：在双曲线中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线，围成一个正方形，渐近线方程为，他们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 易知，等轴双曲线的离心率都为. 师生：归纳总结，学生类比焦点在x轴上双曲线几何性质，焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质，完成下表 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 x≤-a，x≥a，y∈R 顶点 (±a，0) (0，______) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 实轴长＝_____，虚轴长＝_____ 焦点 (±c，0) (0，±c) 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴：______，对称中心：____ 渐近线 离心率 e＝ e＝________ 学生：类比，完成以上表格. 预设： 3． 应用新知 例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：把双曲线的方程化为标准方程． 由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是，；离心率；渐近线方程为． 跟踪练习： 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设： 4． 能力提升 题型一：根据几何条件求双曲线的标准方程 例题1 （1）实轴长为，离心率为，求双曲线的标准方程. 预设：（1）设双曲线的标准方程为或， 由题意知，且，∴，，， ∴标准方程为或. 方法总结：待定系数法 待定系数法求a,b,c的值：根据题意建立关于a,b,c的方程组，解方程即可求得双曲线的标准方程. (2) 中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)． 预设：由2a＝2b得a＝b，所以 e＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P(4，－ )，所以 16－10＝λ，即λ＝6. 所以 双曲线方程为x2－y2＝6. 所以 双曲线的标准方程为. 方法总结：巧设等轴双曲线方程为x2−y2=λ(λ≠0)：根据题意建立关于λ的方程组，解方程即可求得双曲线的方程，再将方程标准化处理. 题型二：根据双曲线的有界性求范围或最值 例题2 点是双曲线上一动点，过作圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 . 预设：由题知：设，，则， 由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时， 取得最小值， 则 ，当时，等号成立， 故. 题型三：求双曲线的离心率或离心率的范围 例题3 已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 预设：设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以 故选：B. 方法总结：求离心率的方法： 方法①：定义法：根据题意求出的值，然后利用公式即可求解； 方法②：齐次式法，根据题意建立关于或，的齐次方程式，然后构造离心率的方程，从而得解。 求离心率范围的方法： 齐次式法，根据题意建立关于或，的齐次不等式，然后构造离心率的，从而得解。 5． 课堂小结 6． 随堂限时小练 1．双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．4 【详解】双曲线中，，双曲线的离心率， 所以． 故选：D． 2．已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 3．南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设双曲线的下焦点为，一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离，因为， 联立解得， ∴双曲线方程为：. 故选：B. 4．（多选）以为渐近线的双曲线可以是（ ） A． B． C． D． 【详解】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误， 对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确， 对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误， 对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D正确， 故选：BD. 5．双曲线：的两焦点分别为，，焦距为，为双曲线上一点，且满足，，则双曲线的离心率为 . 【详解】由，可得在双曲线的右支上， 因为，，所以， 所以，所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 6．写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程． 【详解】由题设，， 所以实轴长，虚轴长，焦点坐标，渐近线方程为. 7．焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为,求双曲线的标准方程 【详解】依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 7． 课后作业布置 作业1：完成教材：第124页 练习1,2,3,4 作业2：配套辅导资料对应的《双曲线的简单几何性质 第1课时》 8． 课后作业答案 练习（第124页） 1．求下列双曲线的实轴和虚轴的长，顶点和焦点的坐标即离心率． （1）；（2）；（3）；（4）． 1．解析：（1），，，，， ∴双曲线的实轴的长，虚轴的长，顶点坐标，． 焦点坐标，．离心率． （2），，，，， ∴双曲线的实轴的长、虚轴的长，顶点坐标，． 焦点的坐标，．离心率． （3），，，，， ∴双曲线的实轴的长、虚轴的长，顶点，． 焦点的坐标，，离心率e． （4），，，，， ∴双曲线的实轴的长、虚轴的长，顶点，． 焦点的坐标，，离心率． 2．求符合下列条件的双曲线的标准方程． （1）顶点在轴上，两顶点间的距离是8，； （2）焦点在轴上，焦距是16，． 2．解析：（1）顶点在轴上，两顶点间的距离是，，则，，， ∴双曲线的标准方程为； （2）焦点在y轴上，焦距是16，，则，，， ∴双曲线的标准方程为． 3．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程． 3．解析：因为一个焦点是，所以，且焦点在x轴， 所以设等轴双曲线方程为，所以，解得， 所以双曲线标准方程为，渐近线方程为． 4．双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程． 4．解析：若双曲线焦点在x轴，设方程为，则渐近线方程为， 所以，解得，所以双曲线标准方程为：； 若双曲线焦点在y轴，设方程，则渐近线方程为， 所以，解得，所以双曲线标准方程为：． 所以双曲线标准方程为或. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$